妙用函數的對稱性

滿秀懿

圖形的對稱關系不僅美化了我們的生活，也體現了數學之美.函數的對稱關系廣泛存在于各種數學問題之中，函數的對稱性是函數的一個基本性質，利用函數對稱性可以簡化數學運算，函數的對稱關系主要有中心對稱和軸對稱，函數的奇偶性就是函數的對稱性的特例.本文從函數的中心對稱和軸對稱等方面來探討函數的對稱性及相關的應用問題.

一、求函數值

例1?已知函數f（x）=（x-1）3+1，

則f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（6）+f（7）=????.

解析：f（x）=（x-1）3+1是由y=x3平移得到的，

由于y=x3是奇函數，圖象關于原點對稱，

因此f（x）的對稱中心為（1，1），f（x）+f（2-x）=2，

所以f（-5）+f（-4）+…+f（0）+…+f（6）+f（7）=[f（-5）+f（7）]+[f（-4）+f（6）]+…+[f（0）+f（2）]+f（1）

=6×2+1=13，

故答案為13.

點評：一般的，此類問題需要判斷出該函數是由什么樣的奇函數或偶函數通過平移變換所得，借助于它們的對稱性解決問題.

二、求函數解析式

例2?已知y=f（x+1）是定義在R上的奇函數.當x>1時，f（x）=x2-4x，則函數f（x）=????.

解法：令g（x）=f（x+1），

因為g（x）=f（x+1）是定義在R上的奇函數，則

所以g（0）=f（1）=0，且g（x）+g（-x）=0，

即f（1+x）+f（1-x）=0，

所以f[1+（x-1）]+f[1-（x-1）]=0，

即f（x）=-f（2-x），

設x<1時，則2-x>1，

f（2-x）=（2-x）2-4（2-x）=x2-4.

因為f（x）=-f（2-x），所以f（x）=4-x2.

故f（x）=x2-4x（x>1）

0（x=0）

4-x2（x<1）.

點評：解析中的方法借助于區間轉移法求解解析式，要注意在理解其結構特征的基礎上，靈活地進行“代換”達到目的，如f（a+x）+f（a-x）=0的結構特征可理解為f（a+?）+f（a-?）=0，?內放置任何代數式都成立;而探究中運用數形結合的思想求解問題，簡潔形象，有助于透徹理解函數的對稱性.

三、中心對稱與函數的奇偶性

例3?已知真命題：“函數y=f（x）的圖象關于點P（a，b）成中心對稱圖形”的等價條件為“函數y=f（x+a）-b是奇函數”.

（1）將函數g（x）=x3-3x2的圖象向左平移1個單位，再向上平移2個單位，求此時圖象對應的函數解析式，并利用題設中的真命題求函數g（x）圖象對稱中心的坐標;

（2）求函數h（x）=log22x4-x圖象對稱中心的坐標.

解析：（1）平移后圖象對應的函數解析式為y=（x+1）3-3（x+1）2+2，整理得y=x3-3x，

由于函數y=x3-3x是奇函數，由題設真命題知，函數g（x）圖象對稱中心的坐標是（1，-2）.

（2）設h（x）=log22x4-x的對稱中心為P（a，b），由題設知函數h（x+a）-b是奇函數.

設f（x）=h（x+a）-b，

則f（x）=log22（x+a）4-（x+a）-b，

即f（x）=log22x+2a4-a-x-b.

由不等式2x+2a4-a-x>0的解集關于原點對稱，得a=2.

此時f（x）=log22（x+2）2-x-b，x∈（-2，2）.

任取x∈（-2，2），由f（-x）+f（x）=0，得b=1，

所以函數h（x）=log22x4-x圖象對稱中心的坐標是（2，1）.

點評：（1）根據函數圖象的平移變換法則，并判斷函數為奇函數，結合題目中已知的真命題，可得答案.（2）設函數h（x）=log22x4-x圖象對稱中心為P（a，b），由題設知函數f（x）=h（x+a）-b是奇函數.進而求出a，b的值，得到對稱中心坐標.本題考查的知識點是函數圖象與圖象變化，奇偶函數圖象的對稱性，熟練掌握函數圖象平移變換法則及奇函數的定義和性質是解答的關鍵.

四、中心對稱與函數的單調性

例4?已知定義域為R的函數f（x）滿足f（-x）=-f（x+4），且函數f（x）在區間（2，+∞）上單調遞增，如果x1<2

A.可正可負??B.恒大于0

C.可能為0??D.恒小于0

解析一：題目中給了單調區間，與自變量不等關系，所求為函數值的關系，從而想到單調性，而x1+x2<4可得x2<4-x1，因為x1<2，所以4-x1>2，進而將x2，4-x1裝入了（2，+∞）中，所以由x2<4-x1可得f（x2）

解析二：本題運用數形結合更便于求解.先從f（-x）=-f（x+4）分析出f（x）關于（2，0）中心對稱，令x=-2代入到f（-x）=-f（x+4）可得f（2）=0.中心對稱的函數對稱區間單調性相同，從而可作出草圖.而x1+x2<4x1+x22<2，即x1，x2的中點位于x=2的左側，所以x1比x2距離x=2更遠，結合圖象便可分析出f（x1）+f（x2）恒小于0.

答案：D.

點評：本題是單調性與對稱性的一個結合，入手點在于發現條件的自變量關系，與所求函數值關系，而連接它們大小關系的“橋梁”是函數的單調性，所以需要將自變量裝入同一單調區間內.而對稱性起到一個將函數值等價轉化的作用，進而與所求產生聯系.

五、利用函數的對稱性與周期性解決函數的零點問題?例5?已知定義域為R的函數y=f（x）在[0，7]上只有1和6兩個零點，且y=f（x+2）與y=f（x+7）都是偶函數，則函數y=f（x）在[0，2013]上的零點個數為????.

解析：∵f（x+2），f（x+7）為偶函數，

∴f（x+2）=f（-x+2），f（x+7）=f（-x+7），∴f（x）關于x=2，x=7軸對稱，

∴f（x）函數的周期為10.

∴將[0，2013]劃分為[0，10）∪[10，20）∪…∪[2000，2010）∪[2010，2013]，

∵f（x）關于x=2，x=7軸對稱，

∴f（x）=f（4-x），f（x）=f（14-x），

∵f（1）=f（6）=0，f（8）=f（14-8）=f（6）=0，f（3）=f（4-3）=f（1）=0，

∴在[0，10）中只含有四個零點，

而[0，10）∪[10，20）∪…∪[2000，2010）共201組，

所以N=201×4=804，

在[2010，2013]中，含有零點f（2011）=f（1）=0，f（2013）=f（3）=0共兩個，

所以一共有806個零點.

點評：（1）處理周期函數的零點個數時，可以考慮先統計一個周期內的零點個數，再看所求區間包含幾個周期，相乘即可.如果有不滿一個周期的區間可單獨統計.當一個周期內含有對稱軸（或對稱中心）時，零點的統計不能僅限于已知條件，而要看是否由于對稱產生新的零點.其方法一是可以通過特殊值的代入，二是可以通過圖象，將零點和對稱軸標在數軸上，看是否有由對稱生成的零點（這個方法更直觀，不易丟解）.

六、兩個函數對稱性的應用

例6?已知y=f（2x-1）為奇函數，y=f（x）與y=g（x）圖象關于y=x對稱，若x1+x2=0，則g（x1）+g（x2）=????.

解析：∵y=f（2x-1）為奇函數，故y=f（2x-1）的圖象關于原點（0，0）對稱，而函數y=f（x）的圖象可由y=f（2x-1）圖象向左平移12個單位，再保持縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的2倍得到，故y=f（x）的圖象關于點（-1，0）對稱，又y=f（x）與y=g（x）圖象關于y=x對稱，故函數y=g（x）的圖象關于點（0，-1）對稱，∵x1+x2=0，即x1=-x2，故點（x1，g（x1）），（x2，g（x2）），關于點（0，-1）對稱，故g（x1）+g（x2）=-2.

點評：本題主要考查函數的奇偶性、函數圖象的平移變換、放縮變換以及函數的對稱性，屬于難題.函數圖象的確定除了可以直接描點畫出外，還常常利用基本初等函數圖象經過“平移變換”“翻折變換”“對稱變換”“伸縮變換”得到，在變換過程中一定要注意變換順序.本題是利用函數的平移變換、放縮變換后根據對稱性解答的.

【素養提升】

函數的對稱性是函數的奇偶性的引伸，函數的奇偶性是函數的對稱性的特例.函數的對稱中心的探求，從某種意義上而言，就是該函數是通過怎樣的代換或者平移變換得到奇函數的問題.

初中學習的一次函數、反比例函數是中心對稱圖形，自然可以借助于常見的基本初等函數來探求齊次分式函數的圖象的對稱中心.遇到抽象函數的對稱中心的探求，從圖象平移變換的角度不易理解，這就需要借助于相關點法靈活地“轉移”，以求解決問題.

探求函數對稱中心的存在性問題，可以應用待定系數法，借助于函數的中心對稱性的結論f（x）+f（2a-x）=2b求解對稱中心，最好采用其等價式f（a+x）+f（a-x）=2b降低運算量.當a=b=0時，y=f（x）就是奇函數.

透徹理解題意是審題能力的體現，也是分析問題，解決問題的關鍵.許多函數或明或隱地蘊含著中心對稱性，我們要善于挖掘其中的函數的中心對稱性，并應用其性質發現問題、解決問題.