例談導數在處理含參數函數三大性質中的運用

熊輝 范習昱

函數的單調性、極值和最值是函數的三大性質，對于解析式明確的函數，運用導數處理不是難點，但是當函數中引入參數后，問題就顯得復雜，很多同學就難以下手.

筆者結合教學實踐，以案例的形式對導數在處理含參數函數性質中的運用進行分類剖析，總結出對參數處理的常見規律，希望對同學們有所幫助.

一、利用導數研究含參函數的單調性

例1?已知函數g（x）=lnx+ax2+bx，函數g（x）的圖象在點（1，g（1））處的切線平行于x軸.

（1）確定a與b的關系;

（2）若a≥0，試討論函數g（x）的單調性.

解：（1）b=-2a-1.（過程略）

g′（x）=1x+2ax+b=2ax2-（2a+1）x+1x

=（2ax-1）（x-1）x.

函數g（x）的定義域為（0，+∞）.

①當a=0時，g′（x）=-x-1x.

由g′（x）>0，得01，

②當a>0時，令g′（x）=0，得x=1或x=12a，

若12a<1，即a>12，

由g′（x）>0，得x>1或0

若12a>1，即0

由g′（x）>0，得x>12a或0

若12a=1，即a=12在區間（0，+∞）上恒有g′（x）≥0.

綜上可得：當a=0時，函數g（x）在區間（0，1）上單調遞增，在區間（1，+∞）上單調遞減;

當0

當a=12時，函數g（x）在區間（0，+∞）上單調遞增，

當a>12時，函數g（x）在區間（0，12a）上單調遞增，在區間（12a，1）上單調遞減，在區間（1，+∞）上單調遞增.

方法提煉：

（1）研究含參數的函數的單調性，要依據參數對不等式解集的影響進行分類討論.

（2）劃分函數的單調區間時，要在函數定義域內討論，還要確定導數為0的點和函數的間斷點.

（3）本題（2）求解應先分a=0或a>0兩種情況，再比較12a和1的大小.一般情況下，討論的層次是：首先是導函數最高次系數的正負，然后是導函數是否有零點，最后是導函數零點的大小.

練一練：

已知函數f（x）=x-alnx（a∈R）.

（1）當a=2時，求曲線y=f（x）在x=1處的切線方程;

（2）設函數h（x）=f（x）+1+ax，求函數h（x）的單調區間.

解：（1）x+y-2=0.（過程略）

（2）由題意知，h（x）=x-alnx+1+ax（x>0），

則h′（x）=1-ax-1+ax2=x2-ax-（1+a）x2

=（x+1）[x-（1+a）]x2，

①當a+1>0，即a>-1時，

令h′（x）>0，∵x>0，∴x>1+a，

令h′（x）<0，∵x>0，∴0

②當a+1≤0，即a≤-1時，h′（x）>0恒成立，

綜上，當a>-1時，h（x）的單調遞減區間是（0，a+1），單調遞增區間是（a+1，+∞）;當a≤-1時，h（x）的單調遞增區間是（0，+∞），無單調遞減區間.

二、利用導數研究含參函數的極值

例2?設a>0，函數f（x）=12x2-（a+1）x+a（1+lnx）.

（1）若曲線y=f（x）在（2，f（2））處的切線與直線y=-x+1垂直，求切線方程.

（2）求函數f（x）的極值.

解：（1）切線方程為y=x-2.（過程略）

（2）f′（x）=x-（a+1）+ax=x2-（a+1）x+ax

=（x-1）（x-a）x（x>0）.

①當0

若x∈（0，a），則f′（x）>0，函數f（x）單調遞增;

若x∈（a，1），則f′（x）<0，函數f（x）單調遞減;

若x∈（1，+∞），則f′（x）>0，函數f（x）單調遞增.

此時x=a是f（x）的極大值點，x=1是f（x）的極小值點，

函數f（x）的極大值是f（a）=-12a2+alna，極小值是f（1）=-12.

②當a=1時，f′（x）=（x-1）2x≥0，

故函數f（x）在定義域（0，+∞）內單調遞增，此時f（x）沒有極值點，故無極值.

③當a>1時，

若x∈（0，1），則f′（x）>0，函數f（x）單調遞增;

若x∈（1，a），則f′（x）<0，函數f（x）單調遞減;

若x∈（a，+∞），則f′（x）>0，函數f（x）單調遞增.

此時x=1是f（x）的極大值點，x=a是f（x）的極小值點，函數f（x）的極大值是f（1）=-12，極小值是f（a）=-12a2+alna.

綜上，當01時f（x）的極大值是-12，極小值是-12a2+alna.

方法提煉：

對于解析式中含有參數的函數求極值，有時需要分類討論后解決問題.討論的思路主要有：

（1）參數是否影響f′（x）零點的存在;

（2）參數是否影響f′（x）不同零點（或零點與函數定義域中的間斷點）的大小;

（3）參數是否影響f′（x）在零點左右的符號（如果有影響，需要分類討論）.

練一練：

（2016·山東高考）設f（x）=xlnx-ax2+（2a-1）x，a∈R.

（1）令g（x）=f′（x），求g（x）的單調區間;

（2）已知f（x）在x=1處取得極大值，求實數a的取值范圍.

解：（1）由f′（x）=lnx-2ax+2a，

可得g（x）=lnx-2ax+2a，x∈（0，+∞）.

所以g′（x）=1x-2a=1-2axx.

當a≤0，x∈（0，+∞）時，g′（x）>0，函數g（x）單調遞增;

當a>0，x∈（0，12a）時，g′（x）>0，函數g（x）單調遞增，

x∈（12a，+∞）時，g′（x）<0，函數g（x）單調遞減.

所以當a≤0時，函數g（x）的單調增區間為（0，+∞）;

當a>0時，函數g（x）的單調增區間為（0，12a），單調減區間為（12a，+∞）.

（2）由（1）知，f′（1）=0.①當a≤0時，f′（x）單調遞增，

所以當x∈（0，1）時，f′（x）<0，函數f（x）單調遞減;

當x∈（1，+∞）時，f′（x）>0，函數f（x）單調遞增.

所以f（x）在x=1處取得極小值，不合題意.

②當01，

由（1）知f′（x）在區間（0，12a）內單調遞增，

可得當x∈（0，1）時，f′（x）<0，當x∈（1，12a）時，f′（x）>0.

所以f（x）在區間（0，1）內單調遞減，在區間（1，12a）內單調遞增，

所以f（x）在x=1處取得極小值，不合題意.

③當a=12時，12a=1，

f′（x）在區間（0，1）內單調遞增，在區間（1，+∞）內單調遞減，

所以當x∈（0，+∞）時，f′（x）≤0，函數f（x）單調遞減，不合題意.

④當a>12時，0<12a<1，

當x∈（12a，1）時，f′（x）>0，函數f（x）單調遞增，

當x∈（1，+∞）時，f′（x）<0，函數f（x）單調遞減.

所以f（x）在x=1處取極大值，符合題意.

綜上可知，實數a的取值范圍為（12，+∞）.

三、利用導數研究含參函數的最值

例3?已知函數f（x）=lnx-ax（a∈R）.

（1）求函數f（x）的單調區間;

（2）當a>0時，求函數f（x）在區間[1，2]上的最小值.

解：（1）由題意，f′（x）=1x-a（x>0），

①當a≤0時，f′（x）=1x-a>0，即函數f（x）的單調遞增區間為（0，+∞）.

②當a>0時，令f′（x）=1x-a=0，可得x=1a，

當00;當x>1a時，f′（x）=1-axx<0，

故函數f（x）的單調遞增區間為（0，1a]，單調遞減區間為[1a，+∞）.

綜上可知，當a≤0時，函數f（x）的單調遞增區間為（0，+∞）;

當a>0時，函數f（x）的單調遞增區間為（0，1a]，單調遞減區間為[1a，+∞）.

（2）①當1a≤1，即a≥1時，f（x）在區間[1，2]上是減函數，故f（x）的最小值是f（2）=ln2-2a.

②當1a≥2，即0

③當1<1a<2，即12

又f（2）-f（1）=ln2-a，

所以當12

綜上可知，當0

方法提煉：

（1）在閉區間上圖象連續的函數一定存在最大值和最小值，在不是閉區間的情況下，函數在這個區間上的最大值和最小值可能都存在，也可能只存在一個，或既無最大值也無最小值;

（2）在一個區間上，如果函數只有一個極值，則這個極值就是最值.

練一練：

已知函數f（x）=xlnx，g（x）=（-x2+ax-3）ex（a為實數）.

（1）當a=5時，求函數y=g（x）在x=1處的切線方程;

（2）求f（x）在區間[t，t+2]（t>0）上的最小值.

解：（1）當a=5時，g（x）=（-x2+5x-3）ex，

g（1）=e.

又g′（x）=（-x2+3x+2）ex，

故切線的斜率為g′（1）=4e.

所以切線方程為y-e=4e（x-1），

即y=4ex-3e.

（2）函數f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=lnx+1，

當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

①當t≥1e時，在區間[t，t+2]上f（x）為增函數，

所以f（x）min=f（t）=tlnt.

②當0

所以f（x）min=f（1e）=-1e.

綜上，f（x）min=tlnt，t≥1e，

-1e，0

反思與總結：

導數在處理含參數函數三大性質中的運用是導數內容的重點、難點，也是高考的熱點，對學生要求較高，我們有必要加以突破.在突破這些難點中，最為關鍵的一環是對參數的分類處理，首先注意討論參數的先后層次，然后要注意討論參數的具體分類，還要兼顧定義域，不可遺漏和重復，不然就顯得邏輯混亂不清.

在面對多個參數時，根據參數的主次邏輯，先后討論，考慮到難度較大，本文不易論述.

同學們，下面是精選的練習題，不妨試一試.

強化訓練

1.已知函數f（x）=x-12ax2-ln（1+x）（a>0）.

（1）若x=2是函數f（x）的極值點，求a的值;

（2）求函數f（x）的單調區間.

2.已知函數f（x）=-x3+x2，x<1，

alnx，x≥1.

（1）求函數f（x）在區間（-∞，1）上的極小值和極大值點;

（2）求函數f（x）在[-1，e]（e為自然對數的底數）上的最大值.

強化訓練答案

1.解：f′（x）=x（1-a-ax）x+1，x∈（-1，+∞）.

（1）依題意，得f′（2）=0，即2（1-a-2a）2+1=0，解得a=13.

經檢驗，a=13符合題意，故a的值為13.

（2）令f′（x）=0，得x1=0，x2=1a-1.

①當0

∴函數f（x）的單調增區間是（0，1a-1），單調減區間是（-1，0）和（1a-1，+∞）.

②當a=1時，函數f（x）的單調減區間是（-1，+∞）.

③當a>1時，-1

∴函數f（x）的單調增區間是（1a-1，0），單調減區間是（-1，1a-1）和（0，+∞）.

綜上，當0

單調減區間是（-1，0）和（1a-1，+∞）;

當a=1時，函數f（x）的單調減區間是（-1，+∞）;

當a>1時，函數f（x）的單調增區間是（1a-1，0），單調減區間是（-1，1a-1）和（0，+∞）.

2.解：（1）當x<1時，f′（x）=-3x2+2x=-x（3x-2），

令f′（x）=0，解得x=0或x=23.

當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

故當x=0時，函數f（x）取得極小值為f（0）=0，函數f（x）的極大值點為x=23.

（2）①當-1≤x<1時，由（1）知，函數f（x）在區間[-1，0]和[23，1）上單調遞減，在區間[0，23]上單調遞增.

因為f（-1）=2，f（23）=427，f（0）=0，所以f（x）在區間[-1，1）上的最大值為2.

②當1≤x≤e時，f（x）=alnx，當a≤0時，f（x）≤0;

當a>0時，f（x）在區間[1，e]上單調遞增，則f（x）在區間[1，e]上的最大值為f（e）=a.

綜上所述，當a≥2時，f（x）在區間[-1，e]上的最大值為a;當a<2時，f（x）在區間[-1，e]上的最大值為2.

（作者：熊輝，江蘇省無錫市運河實驗中學;范習昱，江蘇省鎮江市丹徒高級中學）