高考中的分段函數

楊金林

分段函數問題是高中數學中分類討論思想的典型體現.近年來，高考對折線函數的命題常與絕對值綜合考查，既考查對絕對值定義、含絕對值函數圖象變換的理解，又考查與函數、方程、不等式等綜合的運用，著重考查分類討論思想在解題中運用.

一、一次函數中分段函數問題

例1?（2018年高考理新課標I卷）已知f（x）=|x+1|-|ax-1|.

（1）當a=1時，求不等式f（x）>1的解集;

（2）若x∈（0，1）時，不等式f（x）>x成立，求a的取值范圍.

分析：（1）將a=1代入函數解析式，求得f（x）=|x+1|-|x-1|，利用零點分段將解析式化為f（x）=-2，x≤-1

2x，-1

2，x≥1，然后利用分段函數，分情況討論求得不等式f（x）>1的解集為{x|x>12};

（2）根據題中所給的x∈（0，1），其中一個絕對值符號可以去掉，不等式f（x）>x可以化為x∈（0，1）時|ax-1|<1，分情況討論即可求得結果.

解析：（1）當a=1時，f（x）=|x+1|-|x-1|，

即f（x）=-2，x≤-1

2x，-1

2，x≥1，

故不等式f（x）>1的解集為{x|x>12};

（2）當x∈（0，1）時|x+1|-|ax-1|>x成立等價于當x∈（0，1）時|ax-1|<1成立.

若a≤0，則當x∈（0，1）時|ax-1|≥1;若a>0，|ax-1|<1的解集為0

綜上，a的取值范圍為（0，2].

點睛：該題考查的是有關絕對值不等式的解法，以及含參的絕對值的式子在某個區間上恒成立求參數的取值范圍的問題，在解題的過程中，需要會用零點分段法將其化為分段函數，從而將不等式轉化為多個不等式組來解決，關于第二問求參數的取值范圍時，可以應用題中所給的自變量的范圍，去掉一個絕對值符號，之后進行分類討論，求得結果.

二、二次函數中分段函數問題

例2?已知函數f（x）=|x2+3x|，x∈R.若方程f（x）-a|x-1|=0恰有4個互異的實數根，則實數a的取值范圍為????.

解析：在同一坐標系中畫f（x）=|x2+3x|和g（x）=a|x-1|的圖象（如圖），問題轉化為f（x）與g（x）圖象恰有四個交點.

當y=a（x-1）與y=x2+3x（或y=-a（x-1）與y=-x2-3x）相切時，f（x）與g（x）圖象恰有三個交點.把y=a（x-1）代入y=x2+3x，得x2+3x=a（x-1），即x2+（3-a）x+a=0，由Δ=0，得（3-a）2-4a=0，解得a=1或a=9.又當a=0時，f（x）與g（x）僅兩個交點，∴09.

三、高次函數中分段函數問題

例3?已知函數f（x）=-|x3-2x2+x|，x<1

lnx，x≥1

若對于t∈R，f（t）≤kt恒成立，則實數k的取值范圍是????.

解析：①當t≥1時，f（t）=lnt，即lnt≤kt對于t∈[1，+∞）恒成立，所以k≥lntt，t∈[1，+∞）.令g（t）=lntt，則g′（t）=1-lntt2，當t∈（1，e）時，g′（t）>0，則g（t）=lntt在t∈（1，e）時為增函數;當t∈（e，+∞）時，g′（t）<0，則g（t）=lntt在t∈（e，+∞）時為減函數.所以g（t）max=g（e）=1e，所以k≥1e.

②當0

③當t≤0時，f（t）=t（t-1）2，即t（t-1）2≤kt對于t∈（-∞，0]恒成立，所以k≤（t-1）2，t∈（-∞，0]，所以k≤1.

綜上，1e≤k≤1.

點睛：本題考查了分段函數、利用導數求最值，以及恒成立問題等內容，借助分類討論使問題得到解決.本題屬于難題.

四、超越函數中分段函數問題

例4?設函數f（x）=1，x=1

loga|x-1|+1，x≠1，若函數g（x）=[f（x）]2+bf（x）+c有三個零點x1，x2，x3，則x1x2+x2x3+x1x3等于????.

解析：由圖可得關于x的方程f（x）=t的解有兩個或三個（t=1時有三個，t≠1時有兩個），所以關于t的方程t2+bt+c=0只能有一個根t=1（若有兩個根，則關于x的方程[f（x）]2+bf（x）+c=0有四個或五個根），由f（x）=1，可得x1，x2，x3的值分別為0，1，2，x1x2+x2x3+x1x3=0×1+1×2+0×2=2，故答案為2.

點睛：1.本題主要考查分段函數的圖象和解析式;2.函數零點與方程根之間的關系及數形結合思想的應用，屬于難題.判斷方程y=f（x）零點個數的常用方法：①直接法：可利用判別式的正負直接判定一元二次方程根的個數;②轉化法：函數y=f（x）零點個數就是方程f（x）=0根的個數，結合函數的圖象與性質（如單調性、奇偶性、周期性、對稱性）可確定函數的零點個數;③數形結合法：一是轉化為兩個函數y=g（x），y=h（x）的圖象的交點個數問題，畫出兩個函數的圖象，其交點的個數就是函數零點的個數，二是轉化為y=a，y=g（x）的交點個數的圖象的交點個數問題.本題判定方程f（x）=t的根的個數就是利用了方法③.

例5?（2016年高考天津理數）已知函數f（x）=x2+（4a-3）x+3a，x<0，

loga（x+1）+1，x≥0（a>0，且a≠1）在R上單調遞減，且關于x的方程|f（x）|=2-x恰好有兩個不相等的實數解，則a的取值范圍是（??）

A.（0，23]?B.[23，34]

C.[13，23]∪{34}D.[13，23）∪{34}

解析：法一：由y=loga（x+1）+1在[0，+∞）上遞減，得0

又由f（x）在R上單調遞減，

則02+（4a-3）·0+3a≥1

3-4a2≥0，解得13≤a≤34.

如圖所示，在同一坐標系中

作出函數y=|f（x）|和y=2-x的圖象.

由圖象可知，在[0，+∞）上|f（x）|=2-x有且僅有一個解，故在（-∞，0）上|f（x）|=2-x同樣有且僅有一個解.

當3a>2，即a>23時，由x2+（4a-3）x+3a=2-x（其中x<0），得x2+（4a-2）x+3a-2=0（其中x<0），則Δ=（4a-2）2-4（3a-2）=0，解得a=34或a=1（舍去）;

當1≤3a≤2，即13≤a≤23時，由圖象可知，符合條件.

綜上所述，a∈[13，23]∪{34}.故選C.

法二：通過比較四個選項可知，只需驗證a=13，23，34是否滿足即可.

當a=13時，f（x）=x2-53x+1，x<0

log13（x+1）+1，x≥0

其圖象如圖.顯然a=13滿足條件.

故排除B，用同樣的方法驗證a=23，a=34.故選C.

點睛：數形結合法是解題中廣泛使用的一種方法，一是直接使用數形結合的方法得出問題的答案，二是根據數形結合思想得出問題滿足的條件，在解答題中一般是后一種情況，在客觀題中一般是前一種情況或兩種情況的綜合.數形結合解題的關鍵是把“數式”轉化為“圖形”，通過“圖形”得出問題的答案或者找到解決問題的思路.

五、混合型分段函數問題

例6?（2017天津，文8）已知函數f（x）=|x|+2，x<1，

x+2x，x≥1.設a∈R，若關于x的不等式f（x）≥|x2+a|在R上恒成立，則a的取值范圍是（??）

A.[-2，2]?B.[-23，2]

C.[-2，23]?D.[-23，23]

解析：首先畫出函數f（x）的圖象（如下圖），當a>0時，g（x）=|x2+a|的零點是x=-2a<0，零點左邊直線的斜率為-12>-1，不會和函數f（x）有交點，滿足不等式恒成立，零點右邊g（x）=x2+a，函數的斜率k=12，根據圖象分析，當x=0時，a≤2，即00，零點右邊g（x）=x2+a

點睛：一般不等式恒成立求參數：1.可以選擇參變分離的方法，轉化為求函數最值的問題;2.也可以畫出兩邊的函數圖象，根據臨界值求參數取值范圍;3.也可轉化為F（x）>0的問題，轉化討論求函數的最值求參數的取值范圍.