聚焦函數與導數高考命題八熱點

我們知道，函數的觀點和方法既貫穿于高中數學的全過程，又是學習高等數學的基礎，所以函數問題一直是高考命題重點與熱點.而導數是高等數學最為基礎的內容，是中學數學必選的重要知識之一.由于導數應用的廣泛性，可為解決所學過的函數問題提供更有效的工具或更一般性的方法，因此在高考中導數與函數“形影不離”.那么從高考命題角度看，函數與導數主要有哪些熱點呢？

熱點一?函數的性質及應用

例1?（1）（山東省煙臺市2019屆高三3月）若函數f（x）是定義在R上的奇函數，f（14）=1，當x<0時，f（x）=log2（-x）+m，則實數m=????.

（2）（2019年高考天津改編）已知a=log27，b=log38，c=0.30.2，則a，b，c的大小關系為????.

解析：（1）∵f（x）是定義在R上的奇函數，f（14）=1，且x<0時，f（x）=log2（-x）+m，∴f（-14）=log214+m=-2+m=-1，∴m=1.

（2）∵c=0.30.2<0.30=1，a=log27>log24=2，1

說明：函數的性質主要是函數的奇偶性、單調性和周期性以及函數圖象的對稱性，在解題中根據問題的條件通過變換函數的解析式或者已知的函數關系，推證函數的性質，根據函數的性質解決問題.

熱點二?函數的圖象

例2?（1）（2019年高考全國Ⅰ卷文數）函數f（x）=sinx+xcosx+x2在[-π，π]的圖象大致為（??）

（2）（北京市朝陽區2019屆高三5月模擬）已知函數f（x）=2x，x≥a

-x，x

解析：（1）由f（-x）=sin（-x）+（-x）cos（-x）+（-x）2=-sinx-xcosx+x2=-f（x），得f（x）是奇函數，其圖象關于原點對稱.

又f（π2）=1+π2（π2）2=4+2ππ2>1，f（π）=π-1+π2>0，可知應為D選項中的圖象.故選D.

（2）函數f（x）=2x，x≥a

-x，x

若函數f（x）存在零點，則實數a的取值范圍是（0，+∞）.

說明：對于函數圖象同學們要做到以下三點：

（1）會作圖：常用描點法和圖象變換法.圖象變換法常用的有平移變換、伸縮變換和對稱變換.尤其注意y=f（x）與y=f（-x）、y=-f（x）、y=-f（-x）、y=f（|x|）、y=|f（x）|及y=af（x）+b的相互關系.

（2）會識圖：從圖象與軸的交點及左、右、上、下分布范圍、變化趨勢、對稱性等方面找準解析式與圖象的對應關系.

（3）會用圖：圖象形象地顯示了函數的性質，因此，函數性質的確定與應用及一些方程、不等式的求解常與圖象數形結合研究.

熱點三?函數的零點個數問題

例3?（1）函數f（x）=2x+x3-2在區間（0，1）內的零點個數是????.

（2）（2015·江蘇）已知函數f（x）=|lnx|，

g（x）=0，0

|x2-4|-2，x>1，則方程|f（x）+g（x）|=1實根的個數為????.

解析：（1）因為f′（x）=2xln2+3x2>0，所以函數f（x）=2x+x3-2在區間（0，1）上遞增，

且f（0）=1+0-2=-1<0，f（1）=2+1-2=1>0，所以有1個零點.

（2）當0

當x>1時，由|f（x）+g（x）|=1得|lnx|=3-|x2-4|或|lnx|=1-|x2-4|.分別在同一個坐標系中作出函數y=|lnx|與y=3-|x2-4|的圖象（如圖1）和函數y=|lnx|與y=1-|x2-4|的圖象（如圖2）.

當x>1時，它們分別有1個、2個交點，故x>1時，方程有3個實根.

綜上，方程|f（x）+g（x）|=1共有4個不同的實根.

說明：函數零點（即方程的根）的確定問題，常見的有①函數零點值大致存在區間的確定;②零點個數的確定;③兩函數圖象交點的橫坐標或有幾個交點的確定.解決這類問題的常用方法有解方程法、利用零點存在的判定或數形結合法，尤其是方程兩端對應的函數類型不同的方程多以數形結合求解.

熱點四?函數的零點（方程的根）與參數的范圍?例4?（2019年高考江蘇）設f（x），g（x）是定義在R上的兩個周期函數，f（x）的周期為4，g（x）的周期為2，且f（x）是奇函數.當x∈（0，2]時，f（x）=1-（x-1）2，g（x）=k（x+2），0

-12，10.若在區間（0，9]上，關于x的方程f（x）=g（x）有8個不同的實數根，則k的取值范圍是????.

解析：作出函數f（x），g（x）的圖象，如圖所示.由圖可知，函數f（x）=1-（x-1）2的圖象與g（x）=-12（1

要使關于x的方程f（x）=g（x）有8個不同的實數根，則f（x）=1-（x-1）2，x∈（0，1]與g（x）=k（x+2），x∈（0，1]的圖象有2個不同的交點，

由點（1，0）到直線kx-y+2k=0的距離為1，可得|3k|k2+1=1，解得k=24（k>0），

∵兩點（-2，0），（1，1）連線的斜率k=13，

∴13≤k<24，

綜上可知，滿足f（x）=g（x）在（0，9]上有8個不同的實數根的k的取值范圍為[13，24）.

說明：已知函數的零點個數求解參數范圍，可以利用數形結合思想轉為函數圖象交點個數;也可以利用函數方程思想，構造關于參數的方程或不等式進行求解.

熱點五?導數的運算和幾何意義

例5?（1）（2019年高考全國Ⅰ卷）曲線y=3（x2+x）ex在點（0，0）處的切線方程為????.

（2）（2019年高考江蘇）在平面直角坐標系xOy中，點A在曲線y=lnx上，且該曲線在點A處的切線經過點（-e，-1）（e為自然對數的底數），則點A的坐標是????.

解析：（1）因為y′=3（2x+1）ex+3（x2+x）ex=3（x2+3x+1）ex，

所以切線的斜率k=y′|x=0=3，

則曲線y=3（x2+x）ex在點（0，0）處的切線方程為y=3x，即3x-y=0.

（2）設出切點坐標，得到切線方程，然后求解方程得到橫坐標的值，可得切點坐標.

設點A（x0，y0），則y0=lnx0.

又y′=1x，當x=x0時，y′=1x0，

則曲線y=lnx在點A處的切線為

y-y0=1x0（x-x0），即y-lnx0=xx0-1，

將點（-e，-1）代入，得-1-lnx0=-ex0-1，即x0lnx0=e，

考察函數H（x）=xlnx，當x∈（0，1）時，H（x）<0，當x∈（1，+∞）時，H（x）>0，且H′（x）=lnx+1，當x>1時，H′（x）>0，H（x）單調遞增，注意到H（e）=e，

故x0lnx0=e存在唯一的實數根x0=e，此時y0=1，故點A的坐標為（e，1）.

說明：（1）求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異，過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點.

（2）利用導數的幾何意義解題，主要是利用導數、切點坐標、切線斜率之間的關系來進行轉化.以平行、垂直直線斜率間的關系為載體求參數的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關系，進而和導數聯系起來求解.

熱點六?利用導數研究函數的性質

例6?（2019年高考全國Ⅲ卷）已知函數f（x）=2x3-ax2+b.

（1）討論f（x）的單調性;

（2）是否存在a，b，使得f（x）在區間[0，1]的最小值為-1且最大值為1？若存在，求出a，b的所有值;若不存在，說明理由.

解析：（1）f′（x）=6x2-2ax=2x（3x-a）.

令f′（x）=0，得x=0或x=a3.

若a>0，則當x∈（-∞，0）∪（a3，+∞）時，f′（x）>0;當x∈（0，a3）時，f′（x）<0.故f（x）在區間（-∞，0），（a3，+∞）單調遞增，在區間（0，a3）單調遞減;

若a=0，f（x）在區間（-∞，+∞）單調遞增;

若a<0，則當x∈（-∞，a3）∪（0，+∞）時，f′（x）>0;當x∈（a3，0）時，f′（x）<0.故f（x）在區間（-∞，a3），（0，+∞）單調遞增，在區間（a3，0）單調遞減.

（2）滿足題設條件的a，b存在.

（i）當a≤0時，由（1）知，f（x）在[0，1]單調遞增，所以f（x）在區間[0，1]的最小值為f（0）=b，最大值為f（1）=2-a+b.此時a，b滿足題設條件當且僅當b=-1，2-a+b=1，即a=0，b=-1.

（ii）當a≥3時，由（1）知，f（x）在[0，1]單調遞減，所以f（x）在區間[0，1]的最大值為f（0）=b，最小值為f（1）=2-a+b.此時a，b滿足題設條件當且僅當2-a+b=-1，b=1，即a=4，b=1.

（iii）當0

若-a327+b=-1，b=1，則a=332，與0

若-a327+b=-1，2-a+b=1，則a=33或a=-33或a=0，與0

綜上，當且僅當a=0，b=-1或a=4，b=1時，f（x）在[0，1]的最小值為-1，最大值為1.

說明：這是一道常規的函數導數和不等式的綜合題，題目難度比往年降低了不少，考查函數的單調性、最大值、最小值這種基本量的計算.注意：求一個函數在閉區間上的最值和在無窮區間（或開區間）上的最值時，方法是不同的.求函數在無窮區間（或開區間）上的最值，不僅要研究其極值情況，還要研究其單調性，并通過單調性和極值情況，畫出函數的大致圖象，然后借助圖象觀察得到函數的最值.

熱點七?導數與函數零點、不等式的綜合

例7?（2019年高考天津）設函數f（x）=lnx-a（x-1）ex，其中a∈R.

（1）若a≤0，討論f（x）的單調性;

（2）若0

（3）設x0為f（x）的極值點，x1為f（x）的零點，且x1>x0，證明3x0-x1>2.

解析：（1）由已知，f（x）的定義域為（0，+∞），且

f′（x）=1x-[aex+a（x-1）ex]=1-ax2exx.

因此當a≤0時，1-ax2ex>0，從而f′（x）>0，所以f（x）在（0，+∞）內單調遞增.

（2）證明：（i）由（1）知f′（x）=1-ax2exx.

令g（x）=1-ax2ex，由0

可知g（x）在（0，+∞）內單調遞減，

又g（1）=1-ae>0，且

g（ln1a）=1-a（ln1a）21a=1-（ln1a）2<0.

故g（x）=0在（0，+∞）內有唯一解，從而f′（x）=0在（0，+∞）內有唯一解，不妨設為x0，則1g（x0）x=0，所以f（x）在（0，x0）內單調遞增;當x∈（x0，+∞）時，f′（x）=g（x）x

令h（x）=lnx-x+1，則當x>1時，h′（x）=1x-1<0，故h（x）在（1，+∞）內單調遞減，從而當x>1時，h（x）

f（ln1a）=ln（ln1a）-a（ln1a-1）eln1a

=ln（ln1a）-ln1a+1=h（ln1a）<0，

又因為f（x0）>f（1）=0，所以f（x）在（x0，+∞）內有唯一零點.又f（x）在（0，x0）內有唯一零點1，從而，f（x）在（0，+∞）內恰有兩個零點.

（3）由題意，f′（x0）=0，

f（x1）=0，即ax20ex0=1，

lnx1=a（x1-1）ex1，

從而lnx1=x1-1x20ex1-x0，即ex1-x0=x20lnx1x1-1.因為當x>1時，lnxx0>1，故ex1-x02.

說明：研究函數零點及不等式問題，都要運用函數性質，而導數是研究函數性質的一種重要工具.基本思路是構造函數，通過導數的方法研究這個函數的單調性、極值和特殊點的函數值，根據函數的性質推斷不等式成立的情況以及方程實根的個數，必要時畫出函數的草圖輔助思考.

熱點八?函數與導數的實際應用

例8?（江蘇省南京市、鹽城市2019屆高三年級第一次模擬考試數學試卷）鹽城市政府響應習總書記在十九大報告中提出的“綠水青山就是金山銀山”的號召，對環境進行了大力整治.目前鹽城市的空氣質量位列全國前十，吸引了大量的外地游客.某旅行社組織了一個旅游團于近期來到了鹽城市黃海國家森林公園.數據顯示，近期公園中每天空氣質量指數近似滿足函數f（x）=mlnx-x+600xx2+144-6（4≤x≤22，m∈R），其中x為每天的時刻.若在凌晨6點時刻，測得空氣質量指數為29.6.

（1）求實數m的值;

（2）求近期每天在[4，22]時段空氣質量指數最高的時刻.（參考數值：ln6=1.8）

解析：（1）由題f（6）=29.6，代入

f（x）=mlnx-x+600xx2+144-6（4≤x≤22，m∈R），

解得m=12.

（2）由已知函數求導得：

f′（x）=12-xx+600144-x2（x2+144）2

=（12-x）[1x+600（12+x）（x2+144）2]，

令f′（x）=0得x=12，

所以函數在x=12時取極大值也是最大值，即每天空氣質量指數最高的時刻為12時.

答：（1）實數m的值為12;（2）每天空氣質量指數最高的時刻為12時.

說明：（1）關于解決函數的實際應用問題，首先要耐心、細心地審清題意，弄清各量之間的關系，再建立函數關系式，然后借助函數的知識求解，解答后再回到實際問題中去.（2）對函數模型求最值的常用方法：單調性法、基本不等式法及導數法.

（作者：王佩其，太倉市明德高級中學）