利用空間向量解決立體幾何問題的創新熱點直擊

楊希

利用空間向量解決立體幾何問題在高考中主要有三類：異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角。從這三個角度出發，我們來談談折疊問題、動態問題、探索性問題如何與其交匯，形成創新熱點題型。

創新角度一，折疊背景下探究異面直線所成的角

兩異面直線所成角的范圍是θ∈（0，π/2]，兩向量的夾角a的范圍是[0，π]，當異面直線的方向向量的夾角為銳角或直角時，就是該異面直線的夾角;當異面直線的方向向量的夾角為鈍角時，其補角才是異面直線的夾角。

例1 將正方形ABCD沿對角線AC折起，當以A，B，C，D四點為頂點的三棱錐體積最大時，則異面直線AD與BC所成的角為（ ）。

A.π/6

B. π/4

C.π/3

D.π/2

創新角度點評：通常情況下，我們都是在現成的空間幾何體內求解異面直線所成的角，這就為我們尋找異面直線所成的角創造了現成的觀察平臺。如果幾何圖形需要折疊，而折疊后所得到的是一個空間幾何體，這就需要我們用全新的眼光去定奪一個“新生事物”，判斷是否有暗礁與險灘，我們需要小心為事。

創新角度二、動態狀態下已知線面角求線段的長度

（l）設直線l的方向向量為a，平面a的法向量為n，直線l與平面a所成的角為θ，則sinθ=[cos（a，n）]=|a·n|/|a|·|n|。

（2）利用向量法求線面角的方法：

①分別求出斜線和它在平面內的射影，直線的方向向量，將問題轉化為求兩個方向向量的夾角（或其補角）。

②通過平面的法向量來求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角或鈍角的補角，取其余角就是斜線和平面所成的角。

（3）利用平面的法向量求線面角的兩個注意點：

①求出直線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角（鈍角時取其補角），取其余角即為所求。

創新角度點評：我們平時所見的絕大多數求解線面角問題，都是直接求直線的方向向量與平面的法向量，然后套用公式確定直線與平面所成的角。如果已知直線與平面所成的角（或角的三角函數值）去求解某條線段的長，那么線面角所在的幾何體就是一個“動態”的，是需要我們去“調整”的，這里的“動態”與“調整”指的就是可以去尋找方程，確定所求線段長度。

創新角度三.二面角與探索性問題

（1）利用向量計算二面角大小的常用方法：

①找法向量：分別求出二面角的兩個半平面的法向量，然后通過兩個半平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角的大小。

②找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個半平面內找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小就是二面角的大小。

（2）利用法向量求二面角時的兩個注意點：

①對于某些平面的法向量要注意是隱含在已知條件中，不用單獨求。

②注意判斷二面角的平面角是銳角還是鈍角，可結合圖形進行，以防結論錯誤。

（3）利用空間向量解決探索性問題的這類題型，其考查形式主要是已知二面角的大小逆向探索求解“點”的存在問題。若所探求的“點”存在，則一般情況下是存在于線段的等分點，如二等分點、三等分點等。

創新角度點評：探索性問題一直以來就是一個熱點問題，而把探索性問題與二面角相結合就更是高考的熱點考查角度。一定要明確這類問題的解答思路，比如，該題的探索解決途徑體現在將點E的是否存在轉換為法向量n1=（2m，m-4，2）是否存在，而法向量，n1=（2m，m- 4，2）是否存在又體現于其中的m是否有解。

（責任編輯 王福華）