高慧明老師講數學(2)

高慧明

高考數學試題中以網錐曲線的幾何性質為背景的壓軸選擇題主要涉及以下幾種類型問題：求網錐曲線的離心率，求特定字母的取值范圍，求網錐曲線中的最值，以及平面圖形與網錐曲線相結合的問題。

評注：在求解有關離心率的問題時，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特征，建立關于參數c，a，b）的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍。一般來說，求離心率的取值范圍，通常可以從兩個方面來研究：一是考慮幾何關系，例如根據線段的大小關系或者角的大小關系列不等式;二是考慮代數關系，通過設點，將所給問題坐標化，結合圓錐曲線方程和本身的范圍來確定。

評注：拋物線的定義是轉化拋物線上的點到焦點距離和到準線距離的橋梁，通過設點的坐標并結合拋物線的定義，將待求對象坐標化，同時結合拋物線的方程消元，利用函數思想求解最值問題是常見的求最值的方法，有時還可以用幾何平面幾何知識求解。

評注：求離心率問題實質上是根據已知條件，挖掘題中a，b，c、的等量關系或者不等關系，可以借助平面圖形自身滿足的條件或者點的坐標所滿足的方程或者范圍等，本題利用平行四邊形的性質并結合雙曲線方程和平行四邊形的面積公式得到關于a，b，c的方程，進而確定離心率的值。

相關鏈接4.已知橢網和雙曲線有共同

2.求解特定字母取值范圍問題的常用方法

（1）構造不等式法。根據題設條件及曲線的幾何性質（如：曲線的范圍、對稱性、位置關系等），建立關于特定字母的不等式或不等式組，然后解不等式或不等式組，從而求得特定字母的取值范圍。

（2）構造函數法。根據題設條件，用其他的變量或參數表示欲求范圍的特定字母，即建立關于特定字母的目標函數，然后研究該函數的值域或最值情況，從而得到特定字母的取值范圍。

（3）數形結合法。研究特定字母所對應的幾何意義，然后根據相關曲線的定義、幾何性質，結合數形結合的方法求解。

3.求解圓錐曲線中的最值問題的常用方法

（l）幾何方法。利用曲線的定義、幾何性質，以及平面幾何中的定理、性質等進行求解。

（2）代數方法。把要求最值的幾何量或代數表達式表示為某個（些）參數的函數（解析式），然后利用函數方法、不等式方法等進行求解。

常見的幾何方法有：①直線外一定點P到直線上各點距離的最小值為點P到直線的垂線段的長度;②圓C外一定點P到網上各點距離的最大值為| PC|+r，最小值為|PC|- r（r為網C半徑）;③過網C內一定點P的網的最長的弦即為經過P點的直徑，最短的弦為過P點且與經過P點的直徑垂直的弦;④網錐曲線上本身存在最值問題，如：橢網上兩點間最大距離為2a（長軸長）;雙曲線上兩點間最小距離為2a（實軸長）;橢網上的點到焦點的距離的取值范圍為[a-c，a+c]，a-c與a+c分別表示橢網的焦點到橢網上點的最小與最大距離;拋物線上的點中頂點與拋物線的準線距離最近。

常用的代數方法有：①利用二次函數求最值;②通過三角換元，利用正、余弦函數的有界性求最值;③利用基本不等式求最值;④利用導數法求最值;⑤利用函數單調性求最值。

（責任編輯 王福華）