基于解析幾何思想的高中物理解題策略初探

王仁泉

(江蘇省南通市天星湖中學,江蘇 南通 226010)

數學是物理研究的工具和手段．物理學的一些研究方法有很強的數學思想,所以學習物理的過程也能對數學認知進行提高．在很多物理問題中,往往是物理提供了一定的解題思路,更多的后續操作需要用數學知識來完成,有時導致一道題目解不出最終結果或者解答起來比較繁瑣,根本原因是數學知識或數學方法運用不當．

根據國內學者的研究,高中數學中主要有以下幾種思想:方程的思想,函數的思想,分類與整合的思想,化歸與整合的思想,或然與必然的思想．本文將著眼于方程的思想在高中物理解題中的典型案例應用,主要針對運動學公式,或者是研究動力學問題時,對于研究對象進行受力分析、運動過程分析后,運用牛頓運動學定律、能量觀點、動量觀點分析列出表達式,如果有兩個未知量,就列出與之相關的兩個方程,聯立方程組,求解未知數,也就是應用最簡單二元一次方程組或二元二次方程組的簡單數學應用題的物理情境分析．

其中,帶電粒子在勻強磁場中運動問題,一般會涉及到一個最基本的圖形:圓．有些涉及圓弧的問題具有一定的難度,常規處理起來會有較大困難,甚至難以入手.

例1.如圖1所示,在第二象限和第四象限的正方形區域內分別存在著兩勻強磁場,磁感應強度均為B,方向相反,且都垂直于xOy平面．一電子由P(-d,d)點,沿x軸正方向射入磁場區域Ⅰ．(電子質量為m,電荷量為e,sin53°=4/5)

圖1

(1) 求電子能從第三象限射出的入射速度的范圍;

(2) 若電子從(0,d/2)位置射出,求電子在磁場Ⅰ中運動的時間t;

(3) 求第(2)問中電子離開磁場Ⅱ時的位置坐標．

入射速度的范圍為

(2) 設電子在磁場中運動的軌道半徑為R,如圖3所示,得

圖2

圖3

圖4

圖5

通過上面的解答,我們不難發現,對于(3)中縱坐標的求取難度比較大,對畫輔助線的要求比較高,且此情形不是常見問題中關于弓形高的求取,而是必須利用作差法才能解答,能夠將所有輔助線畫出來就已經不容易,還會遇到△O2MN不是常見三角形的三角形,需要用勾股定理來解答,尤其很復雜的數字必定會給考生的解答帶來副作用,這么多的障礙疊在一起,甚至會讓考生產生畏懼心理,不敢繼續解答下去．

如果我們換一種思維,離開磁場Ⅱ時位置的縱坐標可以理解為軌道圓與直線x=d的交點坐標,就可以避免利用差值來求取,不僅可以簡化運算,還可以因為運算方便,讓學生即使看到繁雜數字也不至于對解答過程過分害怕．

圖6

例2.如圖6所示,AB為固定斜面,傾角為30°,可視為質點的小球從A點以初速度v0水平拋出,求從拋出開始,經過多長時間小球與斜面間的距離最大,最大距離為多少?

圖7

圖8

常規解法2:如圖8所示,把初速度v0,重力加速度g都分解成沿斜面和垂直斜面的兩個分量,在垂直斜面方向上,小球做的是以v0y為初速度、gy為加速度的“豎直上拋”運動．

小球到達離斜面最遠處時,速度vy=0,

由vy=v0y-gyt可得

小球離斜面的最大距離

顯然,上述兩種解法過程都比較復雜,思維量也比較大,要想正確解答并非易事．但是如果能夠與數學結合起來,將距離理解為 “點到直線的最小距離”就比較簡單了．

圖9

可見,這個解法無需轉彎抹角,對學生來講非常的直接,而且也是常見的數學題型,也更容易被學生所接受．

在上面例題的啟發下,筆者設計了關于拋物線方程與磁場結合的一種題型．

圖10

如圖10所示,虛線與x軸負方向夾角為45°(根據具體數據可以是其他角度),橫截距為l,以虛線為界,左下方為豎直向上的勻強電場,右上方為垂直紙面向外的勻強磁場,不計重力的帶正電的粒子從O點以初速度v0沿x軸正方向進入勻強電場,求到達界線位置的坐標.

圖11

進一步拓展開來,如果磁場右側也有直線邊界(不一定垂直于x軸),利用軌道圓方程和界線方程,亦可求出離開磁場的位置.這樣一來,那就是一道可以多次利用數理結合來簡化運算的綜合性題目了．

學習遷移一般指一種學習中習得的經驗對其他學習的影響．學習遷移并不是自動發生的,它要受某些條件的限制,其中最主要的影響因素有學習對象的共同因素、原有經驗的概括水平、遷移的認知技能水平．

奧蘇伯爾將這些因素表述如下.

(1) 學習對象的共同因素．遷移都要通過新舊學習中的經驗進行分析進而概括出其共同的經驗成分才能實現．因此,在進行遷移時,學習對象在客觀上要有共同因素．就本文涉及的案例而言,其中都蘊含著學生熟知的數學模型,從而為學習遷移的發生提供了必要基礎．

(2) 原有經驗的概括水平．這里的遷移不是相同經驗的遷移,而是概念原理的遷移,尤其是指下位學習的遷移．心理學的研究和實驗表明,經驗的概括水平越高,遷移的可能性就越大,效果也就越好．就本文而言,教師應當引導學生透過具體案例,發現其背后都是利用解析幾何解決問題的思想．只有掌握其中本質的規律,才能促進學生發生廣泛的遷移,做到以不變應萬變．

在當前全民重視數學的背景下,尋找更多物理的解答與數學方法有效結合點,讓學生深刻體驗到學以致用的樂趣,也就不再感覺到數學的枯燥和物理的繁雜,從而可以更好地激發學生學習數學和物理的興趣．在處理某些物理問題中,如果能夠巧妙地跟數學結合起來,會使問題的解答得以簡化．當然,并不是所有的問題都必須借助方程關系來解答,而應該是根據實際情況進行方法選擇．正如莫爾斯所說:“數學是數學,物理是物理,但物理可以通過數學的抽象而受益,而數學則可通過物理的見識而受益．”