利用平移對稱性分析帶電粒子在電磁場中的運動問題

楊鈞捷

(江蘇省海門中學,江蘇 南通 226100)

帶電粒子在電磁場中的一些運動問題中,電磁場區域往往具有空間平移或旋轉對稱.在這類問題中,若運動軌跡的幾何分析較為復雜時,可利用對稱性結合動量定理或角動量定理尋找守恒量的方法來分析,往往能使問題得到較為簡潔的處理.

圖1

例1.如圖1所示,xOy平面內有兩個相鄰的帶狀勻強磁場,方向垂直xOy平面向下,磁感應強度大小分別為B1、B2,磁場區域寬度分別為L1、L2,一帶正電的微觀粒子(+q,m)從磁場B1區域左邊界C點以θ1角度進入,從磁場B2區域右邊界D點以θ2角度離開.求粒子的初速度v0.

解析:粒子初速度大小未知,粒子運動的圓心位置和離開磁場B1區域右邊界的位置均不確定,用幾何方法分析較為繁瑣.考慮到磁場區域具有y方向的平移對稱性,可以用動量定理進行分析.

設粒子在B1=-B1k區域右邊界N點出射并進入B2=-B2k區域,由py+qxB守恒得

圖2

解析:本題是一道組合場問題,粒子在磁場和電場中都發生偏轉,運動復雜,若用常規方法將涉及到數列問題,較為繁瑣;若考慮到電磁場區域具有水平方向的平移對稱性,利用動量定理分析將變得簡易.

圖3

電磁場區域具有x水平方向

圖4

例3.如圖4所示,空間存在相互正交的電磁場,勻強電場E沿y軸正向,非均勻磁場B(z)垂直于xy平面,磁感應強度B(z)=αy(α>0),質量為m、電荷量為+q的微觀粒子在坐標原點O靜止釋放,求粒子運動過程中y軸方向的最大位移.

小結:帶電粒子在具有某方向平移對稱的電磁場區域做平面曲線運動時,有兩個自由度,可以選用動能定理和平移對稱方向的動量定理來列出兩個獨立方程進行分析求解,避開了可能較為繁瑣的粒子復雜軌跡的幾何分析．此種方法體現了物理學中的對稱與守恒的思想.