基于隨機相關的電子部件二元加速退化可靠性評估

蓋炳良， 滕克難， 王浩偉， 王文雙， 陳健， 宦婧

(1. 海軍航空大學 煙臺 264001； 2. 中國人民解放軍91115部隊, 舟山 316000； 3. 江蘇科技大學計算機學院, 鎮江 212003)

隨著材料科學與生產制造工藝的發展進步，軍工領域出現了越來越多的高可靠性長壽命電子產品。此類產品在額定工作應力下性能退化緩慢，僅僅依靠性能檢測數據已經難以快速有效地進行可靠性評估。因而加速退化試驗成為可靠性評估的有效途徑。通常認為溫度是導致電子部件退化失效的最主要環境應力類型，溫度對多種失效機理具有較好的加速效果，如電子元器件的二次俘獲、表面電荷擴散、電遷移等，因而常將溫度作為加速應力。

通常認為，由于生產工藝、貯存條件、人員操作等多方面主客觀因素，產品的個體差異性是客觀存在的。目前，考慮個體差異的隨機過程模型在可靠性領域得到了較多研究應用，如最常用的3類隨機過程模型：Wiener過程[1-2]、Gamma過程[3]、Inverse Gaussian過程模型[4-5]等，但以上研究都是在額定應力下的產品可靠性評估。如若考慮溫度加速應力作用下的電子部件二元退化建模，考慮個體差異的隨機過程可靠性評估則需要解決以下2個重要問題：一是如何確定此類模型參數與加速應力的約束關系；二是如何進行相關性建模。

確定模型參數與加速應力的約束關系是基于加速退化數據可靠性評估的前提，也是一個研究難點。目前，采用的模型通常都是隨機過程基本模型，即針對的都是不考慮個體差異的隨機過程模型參數與加速應力的約束關系。此種情況下，解決方法大多是根據經驗假定模型參數與加速應力的關系，比如Wiener過程模型，就存在著2個不同假定：假定漂移參數與應力有關而擴散參數與加速應力無關[6-9]；假定漂移參數和擴散參數都與加速應力相關[10-11]等。顯然，這易導致評估結果可信度不高。另一種解決方法就是通過加速因子不變原則推導模型參數與加速應力的約束關系，加速因子不變原則是指為保證加速因子具有工程應用性，則加速因子應當是一個不隨時間變化的常數，比如文獻[12-13]推導得到了Wiener過程模型漂移參數和擴散參數與加速應力的約束關系。以上，都是加速應力作用下，針對不考慮個體差異的隨機過程模型的，而文獻[14]采用加速因子不變原則推導得到了加速應力下，考慮個體差異的Wiener過程模型參數與應力的約束關系。

二元加速退化建模中，相關性建模通常采用基于Copula函數的建模方法[15]，也有采用基于馬氏距離的二元降維建模方法[16]的。在基于Copula函數的建模方法中，基本都將Copula函數參數視為固定值，即忽略了產品個體之間存在的隨機相關性。文獻[17]提出了隨機相關的建模思想，但只應用在額定應力下，沒有進一步考慮加速應力作用下Copula函數參數與加速應力的關系。

綜上，為解決電子部件二元加速退化可靠性評估難題，建立基于貝葉斯方法的二元隨機相關性能退化可靠性評估框架。采用Wiener RDV(Random Drift-Volatility)模型進行邊緣分布建模，在此基礎上，構建基于Copula函數的多個隨機相關模型，采用兩階段貝葉斯參數估計方法進行參數估計(通過OpenBUGS軟件實現基于MCMC(Markov Chain Monte Carlo)的參數估計)，進行相關性模型選擇，最后基于蒙特卡羅方法進行可靠度計算，并應用實例驗證了所提方法有效性。

1 二元隨機相關可靠性分析框架

基于Wiener過程的二元加速性能退化可靠性分析，以邊緣退化建模為基礎，利用Copula函數實現二元相關關系建模。主要包括3部分內容：①邊緣分布建模和相關性建模；②兩階段貝葉斯參數估計；③基于蒙特卡羅方法的可靠性評估。首先，利用樣本性能退化數據，采用RDV模型建立邊緣分布模型，并考慮產品間具有隨機相關性，建立基于Copula函數的相關性模型；然后，采用兩階段貝葉斯參數估計方法對邊緣分布模型進行參數估計，在此基礎上得到邊緣分布退化增量的累積概率分布值，將其作為Copula函數的輸入值，并通過Copula函數模型選擇，確定相對最優的相關模型；最后，在參數估計和模型選擇基礎上，采用蒙特卡羅方法建立可靠度函數曲線，完成產品的可靠性評估。基本框架如圖1所示。

圖1 二元相關退化建模框架Fig.1 Framework of bivariate correlation degradation modeling

本文采用如下3個假定。

假定1同型產品，不僅在性能退化階段具有個體差異，而且在產品之間的相關關系上也可能具有個體差異性。

假定2同型產品相關關系的差異性，是指Copula函數參數的差異性，即同型產品具有相同類型的Copula函數，但Copula函數的參數值不同。

假定3加速應力可能會影響相關關系，但是應力不改變Copula函數類型，只改變Copula函數參數值。

2 Wiener RDV模型

文獻[14]給出了一種考慮個體差異的Wiener RDV模型，該模型將性能退化過程的均值和方差都確定為隨機變量，該模型描述為

(1)

式中：X(t)為退化量;B(·)為標準Brown運動函數;μ為漂移參數;σ為擴散參數;Λ(t)=tc為時間函數；a、b、e、h為超參數；N(h,e/?)表示均值為h，方差為e/?的正態分布。模型的累積分布函數為

(2)

其中：D為閾值；F2a(·)為自由度為2a的t分布函數。文獻[14]采用加速因子不變原則推導得到了該模型參數與加速應力的約束關系：

(3)

式中：ak、bk、ck、ek和hk為應力sk的模型參數；al、bl、cl、el和hl為應力sl的模型參數；AF為應力sk相對于應力sl的加速因子。由式(3)可采用Arrhenius模型將溫度應力s下參數表示為

(4)

式中：γRDV(1)、γRDV(2)、γRDV(3)和γRDV(4)為待定參數。

3 二元隨機相關加速退化數據建模

假定產品具有2個壽命表征參數X1和X2，邊緣性能退化過程都服從Wiener RDV模型。tijk為第i個樣本第k個參數第j次測量時刻，Xijk為tijk時刻測量值，k=1,2；i=1,2,…,N；j=1,2,…,M；N為樣本數量，M為測量次數。對所有樣本進行了相同次數的測量，不同性能參數在相同時刻進行測量。則易得性能退化數據結構為

(5)

1) 模型A

不考慮相關關系個體差異性，Copula函數參數θ是一個固定參數，這是目前通常采用的模型，即

(6)

模型B～模型F的性能退化模型部分與模型A相同，因而以下內容只描述相關性模型部分。

2) 模型B

(7)

3) 模型C

考慮相關關系存在個體差異性，Copula函數參數是服從正態分布的隨機變量，即

(8)

4) 模型D

(9)

5) 模型E

(10)

6) 模型F

(11)

4 參數估計及模型選擇

本文采用常用的Gaussian、Frank、Gumbel 和Clayton Copula函數進行模型選擇，其分布函數及參數如表1所示。這4類Copula函數描述了不同的相關關系結構，Gaussian Copula和Frank Copula描述的是對稱相關結構，Gumbel Copula函數描述較強上尾相關特征的變量間的相關關系，Clayton Copula函數則描述具有較強下尾相關特征的變量相關關系。

Copula函數模型選擇方法，可以采用散點圖，偏差信息準則(DIC)值以及Kendallτ的非參數估計值等方法。

表1 Copula 函數Table 1 Copula function

(12)

DIC值是常用的用于模型選擇的一種定量方法，定義為

(13)

5 基于蒙特卡羅的可靠度計算

根據文獻[17]思路，為避免可靠度計算對模型方差值的依賴性，采用蒙特卡羅方法進行可靠度計算。仿真生成足夠數量的樣本退化數據，在任一時刻，定義該時刻未失效樣本數V與總樣本數N的比值為該時刻可靠度值。V是指t時刻所有邊緣退化過程的退化量都小于閾值的樣本數量。

步驟1生成N個二元性能退化過程仿真樣本。

③計算Xijk=Xi(j-1)k+ΔXijk。

④重復步驟①～步驟③N次，得到N個二元性能退化過程。

步驟2計算tj時刻可靠度值。

①比較第i個樣本退化量Xij1與D1，Xij2與D2大小。若Xij1

②對N個樣本逐次進行步驟①，得到V最終的累加值。

③計算tj時刻可靠度值為V/N。

④重復步驟①～步驟③M次，得到所有測量時刻的可靠度值。

步驟3重復步驟1和步驟2L次，得到L個性能退化過程的可靠度曲線。

步驟4由L個可靠度曲線，進一步可求取可靠度曲線的100(1-α)%置信區間。

6 實例應用

電子部件通常隨導彈、魚水雷等裝備長期貯存，在長貯期間一個顯著特點就是產品個體經歷了不同條件的貯存環境、不等次數的檢測監測、不同時長的戰備值班等，這些差異使得同批次電子部件在性能退化和多元相關關系等方面都呈現出個體差異性。此外，盡管裝備型號較多、結構組成差異較大，但是較多的電子器件在不同電子部件的共用程度也較高，本文基于數據擬合的可靠性評估方法有較廣的適用性，因而下文將以某型裝備滾控電路板為例驗證所提方法。

滾控電路板屬于板級電子部件，具有多個關鍵性能參數，是較為典型的多元性能退化產品。文獻[18]通過對滾控電路板失效模式分析指出負脈寬與正脈寬之差ΔT和周期T是其2個關鍵性能參數，并且由預試驗分析結果得到加速應力下電路板失效機理不改變的最高應力為130℃。因而文獻[18]選擇9個樣本進行恒定加速退化試驗，確定3個加速應力為S1=90℃，S2=103℃，S3=120℃，每個加速應力下3個樣本。限于篇幅，詳細數據見文獻[18]。

6.1 邊緣分布參數估計

采用OpenBUGS軟件實現貝葉斯參數估計，所得結果如表2所示。利用邊緣退化過程隨機參數的后驗分布樣本值，繪制箱線圖，如圖2所示，2個邊緣退化過程參數都具有很明顯的個體差異性，表明采用RDV模型是合理的。

表2 邊緣分布參數估計值Table 2 Parameter estimations of marginal distribution

圖2 X1和X2的隨機參數箱線圖Fig.2 Boxplots of random parameters of X1 and X2

6.2 隨機相關模型參數估計與模型選擇

圖3 3個加速應力下的邊緣退化增量累積分布函數取值的散點圖Fig.3 Scatter plots of CDFs of degradation increments under three accelerated stresses

圖4 邊緣退化增量累積分布函數取值的散點圖Fig.4 Scatter plot of CDFs of degradation increments

進一步地，分別采用Gaussian模型A，Frank模型A，Clayton模型A和Gumbel模型A進行相關性建模和參數估計，參數估計值如表3所示，結果表明Frank Copula函數的DIC值最小。采用式(12)估計得到Kendallτ的非參數估計值為0.272 2，而表3同時給出了各模型τ值，可見Frank Copula函數τ值最為接近τ的非參數估計值。因而，不論是DIC值還是τ的非參數估計值， Frank Copula函數都是相對最優的。

確定采用Frank Copula函數后，進而考慮隨機相關模型。采用模型A～模型F進行建模、參數估計，估計值如表4所示。由DIC值可以看出，模型C的DIC值最小，但是6個模型的DIC值相差都在5以內，不宜做出判斷。采用箱線圖進一步判斷。圖5(a)表明，無論是模型C、模型D、模型E或者模型F，Copula函數參數都具有明顯的個體差異性；而圖5(b)～圖5(d)表明模型B、模型D、模型E和模型F，應力變化對模型參數值影響很小。綜上，模型C是6個模型中相對最優的模型。

表3 Copula函數參數估計值Table 3 Parameter estimations of Copula function

表4 隨機相關模型參數估計值Table 4 Parameter estimations of random correlation models

6.3 可靠性評估

額定應力為25℃。將表2中RDV模型參數代入式(3)和式(4)，并由式(2)得到邊緣退化過程的可靠度函數R1(t)=1-FWrdv1(t)，R2(t)=1-FWrdv2(t)。將R1(t)、R2(t)及表4模型C中參數估計值代入式(8)，可得可靠度函數的解析結果Ra(t)為

圖5 隨機相關性模型參數的箱線圖Fig.5 Boxplots of parameters of random correlation model

(14)

式中：

按照第5節基于蒙特卡羅的算法計算可靠度值：采用模型C的參數估計值，并在區間[0,2×107]上設置測量時刻數M=4 000，單次仿真樣本數量N=200，循環次數L=200，得到仿真結果如圖6所示。圖6(a)中Rs(t)是仿真所得L條可靠度曲線，R(t)則是所有仿真結果Rs(t)各個時刻的可靠度均值曲線，Ru(t)和Rl(t)分別是仿真結果Rs(t)各個時刻的可靠度值的95%置信區間的上下限。Ra(t)是解析結果的可靠度曲線。盡管各個測量時刻的置信區間上下限值連線并不嚴格降低，但整體呈明顯下降趨勢。

圖6(a)表明，雖然解析結果在仿真結果置信區間范圍內，但相比于仿真結果均值曲線，明顯低估可靠度值。對于板級電路板等高可靠性長壽命產品的基礎組成部件，對其可靠度往往要求保持在0.99，甚至更高，因而計算得到了R(t)和Ra(t)可靠度值降至0.99時的壽命值分別約為194 214 h(約22年)，69 972 h(約8年),如圖6(b)所示。文獻[18]以測試值通常都應服從正態分布為依據，采用了二元聯合正態分布進行可靠性評估。可見文獻[18]對加速退化數據模型分析過于主觀，其計算得到該產品可靠度為0.95時的可靠壽命約為22.69年，相比于本文結果，相對保守。

圖6 可靠度曲線Fig.6 Reliability curves

7 結 論

本文研究了加速應力下電子部件二元隨機相關性能退化可靠性評估，結論如下：

1) 采用考慮隨機影響的Wiener過程模型進行邊緣分布建模，能描述性能退化過程的個體差異性，提高性能退化建模精度。Wiener過程模型隨機參數的箱線圖，能較好地反映性能退化過程的個體差異性，是判斷產品是否具有個體差異性的有效方法。

2) 產品個體差異性不僅僅體現在性能退化過程中，而且體現在產品間相關關系的差異。隨機相關模型能較好地描述相關關系的差異性，是對考慮隨機影響的隨機過程可靠性建模地進一步完善。

3) 采用散點圖、DIC值和Kendallτ的非參數估計值能較好地實現基于Copula函數的隨機相關模型選擇。

4) 基于蒙特卡羅的可靠度計算方法，能避免可靠度計算對模型方差值的依賴，具有更好的適用性和準確性。