關于不等式問題的方法與技巧

宋玉連+++周景芝

【摘要】不等式是解決大學數學問題不可缺少的工具之一，但同時也是一個學習的難點。介紹了利用中值定理、函數單調性、函數的凹凸性等技巧來證明有關不等式的方法，并通過例子，具體說明各方法之間的區別。

【關鍵詞】不等式 中值定理 函數性質

【中圖分類號】O171 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）08-0129-01

一、 利用中值定理證明不等式

1.利用Lagrange 中值定理證明不等式

在大學數學中，我們經常用來解決不等式有關問題的方法與技巧之一就是利用Lagrange 中值定理。通過 Lagrange 中值定理來處理和解決不等關系式的相關問題的基本步驟：

（1）分析題目，依據題目所給內容來尋找不等式，并另設一個恰當的輔助函數f（x）和區間[a，b]，來幫助我們對題目所給不等式進行變換；

（2）當函數f（x）在區間[a，b]已能夠運用 Lagrange 中值定理的情況下，計算出Lagrange中值定理f'（？孜）= 或f（b）-f（a）=f'（？孜）（b-a）（a<？孜

（3）在滿足由（a<？孜

例1 當x>1時， 證明：

證明：選取函數f（t）=ln t，則對于？坌x>1，函數f（t）=ln t在區間[x，x+1]上的時候符合 Lagrange 中值定理的使用條件， 所以有ln（x+1）-ln x= [（x+1）-x]，

2.利用 Cauchy 中值定理證明不等式

當我們需要研究兩個函數變量關系的時候，我們可以考慮通過Cauchy中值定理來進行比較分析。Cauchy中值定理與Lagrange中值定理在一定條件下是可以互相推導出的，當一個函數f（x）視為自變量本身的時候，整個公式便可以轉化為Lagrange中值定理，當題目中的不等式能夠使用Lagrange中值定理證明的時候，我們必然能用Cauchy中值定理來證，反之亦然。

二、利用函數的各種性質證明不等式

1.利用函數的單調性證明不等式

在大學數學中，經常會遇到需要對函數值的大小進行比較，我們會常常利用函數的單調性的有關知識來證明不等式的有關問題。在證明不等式的時候，實質上便是通過對不等式兩端數值進行比較來確定大小。

例3 已知e （b-a）。

證明：作輔助函數p（x）=ln2x- x，顯然，p'（x）= - ，p″（x）= ，

當x>e時，p″（x）<0，故p'（x）單調減少；從而當ep'（e2）=0。

則p（x）在區間（e，e2）內單調增加，則有當e

即ln2b- b>ln2a- a，故ln2b-ln2a> （b-a）。

2.利用函數的凹凸性證明不等式

如果在所要證明的結論中包括形如f（x）的項，那我們常常可以考慮尋找適合的函數，利用函數的凹凸性來證明不等式。

例4 已知x>0，y>0且x≠y，求證x lnx+ylny>（x+y）ln 。

證明：構造函數F（x）=x ln x，（x>0），則有F'（x）=1+ln x，F″（x）= >0，因此可以知道當x>0的時候，函數F（x）的圖像是凸的，所以通過分析函數的凹凸性可以得到，當x>0，y>0且x≠y時，有x lnx+y lny>（x+y）ln（x+y）2恒成立。

參考文獻：

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