辨析橢圓易錯(cuò)題型

■河南科技大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué) 馬歡歡

橢圓是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主要知識(shí)模塊,又是高考考查的重點(diǎn)知識(shí)之一,也是聯(lián)系初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的紐帶,它側(cè)重于形象思維,推理運(yùn)算和數(shù)形結(jié)合,綜合了代數(shù)、三角、幾何等知識(shí),涉及的知識(shí)點(diǎn)較多,對(duì)解題能力考查的層次較高。同學(xué)們?cè)诮獯饡r(shí),常常表現(xiàn)為無(wú)從下手,或者半途而廢,解決這一類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵在于：通觀(guān)全局,局部入手,整體思維,運(yùn)算縝密。在掌握和解題思路的整體設(shè)計(jì)上下工夫,不斷克服解題中的運(yùn)算難關(guān),在解題時(shí)統(tǒng)籌運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想、參數(shù)思想、分類(lèi)討論思想等,以達(dá)到優(yōu)化解題的目的。同學(xué)們?cè)诮鈾E圓問(wèn)題時(shí)也會(huì)經(jīng)常出錯(cuò),本文從多個(gè)方面舉例剖析在解答有關(guān)橢圓問(wèn)題的過(guò)程中易混易錯(cuò)的原因,并提出正確的解題方法。

一、橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程

例1若x2+ky2=1 表示橢圓,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是多少?

解析：因?yàn)榉匠蘹2+ky=1表示橢圓,所以則k取值范圍是(0,1)∪(1,+∞)。

易錯(cuò)點(diǎn)：本題容易忽略k≠1而致錯(cuò),圓不是橢圓的特殊情形,因此,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中二次項(xiàng)系數(shù)不能相等。

變式：若直線(xiàn)y=kx+1(k∈R)與橢圓恒有公共點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是多少?

解析：由于直線(xiàn)y=kx+1(k∈R)恒過(guò)定點(diǎn)(0,1),故點(diǎn)(0,1)在橢圓內(nèi)部或者橢圓上,所以m∈[1,+∞)。又因?yàn)閙≠5,所以m的取值范圍是[1,5)∪(5,+∞)。

易錯(cuò)點(diǎn)：本題容易忽略m≠5而致錯(cuò),橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程中二次項(xiàng)系數(shù)不能相等。

例2已知橢圓的中心在原點(diǎn),且經(jīng)過(guò)P(3,0),a=3b,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

解析：(法一)當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),設(shè)其方程為=1(a＞b＞0)。由橢圓過(guò)點(diǎn)P(3,0),a=3b,解得b2=1,a2=9,故橢圓的方程為。當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),設(shè)其方程為=1(a＞b＞0)。由橢圓過(guò)點(diǎn)P(3,0),且a=3b,解得b2=9,a2=81,故橢圓的方程為。綜上,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或者

(法二)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為mx2+ny2=1(m＞0,n＞0),由于橢圓經(jīng)過(guò)P(3,0),代入得m=。當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),n=1,故橢圓的方程為。當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),故橢圓的方程為綜上,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1 或者

易錯(cuò)點(diǎn)：容易忽視先判斷焦點(diǎn)位置,直接認(rèn)為橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,漏掉在y軸上的情況,當(dāng)題目中焦點(diǎn)位置不確定時(shí),要注意討論焦點(diǎn)的位置。

變式：橢圓兩焦點(diǎn)間的距離是16,且橢圓上某一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離分別是9和15,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

解析：由題意知,2a=9+15=24,2c=16,a=12,c=8,b2=80。因?yàn)榻裹c(diǎn)可能在x軸上,也可能在y軸上,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為或者。

二、軌跡問(wèn)題

例3若動(dòng)點(diǎn)P到兩定點(diǎn)A(0,-2)和B(0,2)的距離之和為4,則點(diǎn)P的軌跡是( )。

A.橢圓 B.線(xiàn)段

C.直線(xiàn) D.不存在

解析：由題意知|PA|+|PB|=4=|AB|,所以P點(diǎn)在A(yíng)、B之間運(yùn)動(dòng),其軌跡是線(xiàn)段AB,答案為B。

易錯(cuò)點(diǎn)：做題時(shí)易忘記動(dòng)點(diǎn)P軌跡是橢圓有三個(gè)要點(diǎn)：

①在平面內(nèi)|PA|+|PB|=2a,A、B是定點(diǎn)；

②2a為定長(zhǎng)；

③2a＞|AB|。

變式：設(shè)定點(diǎn)F1(0,-3)和F2(0,3),動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PF1|+|PF2|=a+(a＞0),則P點(diǎn)的軌跡是( )。

A.橢圓或線(xiàn)段 B.線(xiàn)段

C.直線(xiàn) D.不存在

解析：由題意知|PF1|+|PF2|=a+(a＞0),所以當(dāng)a=3時(shí),|PF1|+|PF2|=a+=6=|F1F2|,此時(shí)P點(diǎn)在F1、F2之間運(yùn)動(dòng),其軌跡是線(xiàn)段F1F2；當(dāng)a≠3 時(shí),|PF1|+|PF2|=a+＞6=|F1F2|,此時(shí)P點(diǎn)的軌跡是橢圓。答案為A。

易錯(cuò)點(diǎn)：求軌跡要注意隱含條件對(duì)軌跡的影響。

例4已知A、B是兩個(gè)定點(diǎn),頂點(diǎn)M為動(dòng)點(diǎn),|AB|=6,且△ABM周長(zhǎng)為16,求頂點(diǎn)M的軌跡方程。

圖1

解析：如圖1 所示,以線(xiàn)段AB所在直線(xiàn)為x軸,線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)為y軸,建立直角坐標(biāo)系。設(shè)M(x,y),由題意知,A(-3,0),B(3,0),|AB|+|AM|+|BM|=16。因?yàn)閨AB|=6,所以|AM|+|BM|=10＞|AB|,M點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓。由題意可知點(diǎn)A、B、M不共線(xiàn),即x≠±5。易知橢圓中a=5,c=3,b=4,則點(diǎn)M的軌跡方程為=1(x≠±5)。

易錯(cuò)點(diǎn)：利用橢圓的定義求方程,應(yīng)先根據(jù)動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的條件驗(yàn)證是否符合橢圓的定義,求出軌跡方程之后,要檢驗(yàn)方程上的點(diǎn)是否都符合題意,如有不符合的點(diǎn)應(yīng)在方程后注明。

變式：在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)B與點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng),P是動(dòng)點(diǎn),且直線(xiàn)AP與BP的斜率之積等于,求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。

解析：因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)A(-1,1)關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng),所以點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,-1)。設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則kAP·kBP=,即=1。因?yàn)橹本€(xiàn)AP與直線(xiàn)BP的斜率存在,所以x≠±1,點(diǎn)P的軌跡方程為=1(x≠±1)。

三、橢圓的幾何性質(zhì)

例5已知F2是橢圓=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn),其右準(zhǔn)線(xiàn)與x軸交點(diǎn)為A,在橢圓上存在一點(diǎn)P滿(mǎn)足線(xiàn)段AP的垂直平分線(xiàn)過(guò)點(diǎn)F2,則橢圓的離心率的取值范圍是( )。

圖2

解析：橢圓上存在一點(diǎn)P滿(mǎn)足線(xiàn)段AP的垂直平分線(xiàn)過(guò)點(diǎn)F2,則|PF2|=|AF2|,|PF2|。于是(a-c,a+c],即ac-c2＜b2≤ac+c2,則于是,所 以e∈,選D。

易錯(cuò)點(diǎn)：PF2是橢圓的焦半徑,最小值為a-c,不是當(dāng)PF2垂直于x軸時(shí)的長(zhǎng)度。

知識(shí)點(diǎn)：焦半徑與離心率是密不可分的兩個(gè)概念,而無(wú)論在橢圓還是雙曲線(xiàn)中,焦半徑本身是有取值范圍的,于是利用這一點(diǎn)也可以解決一些離心率的取值范圍的問(wèn)題。橢圓離心率(0,1),且橢圓焦半徑的最大值為a+c,最小值為a-c。

變式：已知F1、F2是橢圓=1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn),滿(mǎn)足=0的點(diǎn)M總在橢圓的內(nèi)部,則橢圓的離心率e的取值范圍是( )。

圖3

解析：由于滿(mǎn)足的點(diǎn)M總在橢圓1(a＞b＞0)的內(nèi)部,故對(duì)于橢圓上任一點(diǎn)P,∠F1PF2均為銳角。事實(shí)上只需頂點(diǎn)位置的頂角為銳角即可,如圖3,即0＜∠F1BO＜,則e=sin ∠F1BO＜,答案為C。

知識(shí)點(diǎn)：①F1、F2是橢圓=1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn),P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),則∠F1PF2最大時(shí),P是橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)。

②A(yíng)、B是橢圓=1(a＞b＞0)的左、右頂點(diǎn),P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn),則∠APB最大時(shí),P是橢圓的上頂點(diǎn)或下頂點(diǎn)。

例6設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)M是橢圓上任意一點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,1),求|MF1|+|MA|的最大值。

圖4

解 析：如 圖4 所示,因?yàn)辄c(diǎn)M在橢圓上,所 以|MF1|+|MF2|=2a=10。令|MF1|+|MA|=z,則z=10+|MA|-|MF2|。當(dāng)點(diǎn)M落在F2A的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),可得|MA|-|MF2|=-|AF2|；當(dāng)點(diǎn)M落在A(yíng)F2的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí),可得|MA|-|MF2|=|AF2|；當(dāng)M、F2、A不共線(xiàn)時(shí),可得-|AF2|＜|MA|-|MF2|＜|AF2|。所以zmax=10+,zmin=10-,|MF1|+|MA|的最大值為10+。

易錯(cuò)點(diǎn)：沒(méi)有分析點(diǎn)A的位置,認(rèn)為當(dāng)M、F1、A三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí),|MF1|+|MA|取到最大值|AF1|=。

知識(shí)點(diǎn)：這里利用橢圓的定義將與曲線(xiàn)有關(guān)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段的最值,對(duì)于上述類(lèi)型的最值有如下結(jié)論：

已知F1、F2是橢圓=1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn),Q(x0,y0)為平面上一定點(diǎn),M為橢圓上任意一點(diǎn)。

①若Q(x0,y0)在橢圓的內(nèi)部,則2a-|QF1|≤|MQ|+|MF2|≤2a+|QF1|；

②若Q(x0,y0)在橢圓的外部,則|QF2|≤|MQ|+|MF2|≤2a+|QF1|。

變式：設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2,點(diǎn)M是橢圓上任意一點(diǎn),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,6),求|MF2|+|MQ|的最值。

圖5

解析：如圖5 所示,|MF2|+|MQ|≥|QF2|=,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M為線(xiàn)段QF2與橢圓的交點(diǎn)時(shí)不等式取到等號(hào)。又因?yàn)閨MF1|+|MF2|=2a=10,所以|MF2|=10-|MF1|。于是,|MF2|+|MQ|=10+|MQ|-|MF1|≤10+|QF1|=10+,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M為線(xiàn)段QF1的延長(zhǎng)線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)時(shí)不等式取到等號(hào)。故|MF2|+|MQ|的最小值為,最大值為10+。

四、直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系

例7已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,且過(guò)點(diǎn),離心率是

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)E(-1,0),且與橢圓交于A(yíng)、B兩點(diǎn),若|EA|=2|EB|,求直線(xiàn)l的方程。

解析：(1)設(shè)橢圓方程為=1(a＞b＞0),由已知得

解得a2=4,b2=1。

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+y2=1。

(2)(i)若直線(xiàn)l的斜率不存在,則過(guò)點(diǎn)E(-1,0)的直線(xiàn)方程為x=-1,此時(shí),顯然|EA|=2|EB|不成立。

(ⅱ)若直線(xiàn)l的斜率存在,則設(shè)直線(xiàn)l的方程為y=k(x+1)。

(1+4k2)x2+8k2x+4k2-4=0。

方程Δ=(8k2)2-4(4k2+1)(4k2-4)=48k2+16＞0。

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),故x1+x2=,①x1x2=。②

因?yàn)閨EA|=2|EB|,所 以,則x1+2x2=-3。③

易錯(cuò)點(diǎn)：求直線(xiàn)方程時(shí),不討論斜率是否存在。

變式：橢圓方程為=1(a＞b＞0),中心為原點(diǎn)O,過(guò)O作兩條垂直的射線(xiàn)與橢圓交于P、Q兩點(diǎn),求證：

解析：(1)若OP、OQ在坐標(biāo)軸上,顯然

圖6

(2)若直線(xiàn)OP、OQ斜率存在,設(shè)直線(xiàn)OP的方程為y=kx,直線(xiàn)OQ的方程為y=。

數(shù)學(xué)是一個(gè)熟能生巧的過(guò)程,但是“熟”怎樣才能生“巧”? 要學(xué)會(huì)剖析問(wèn)題,找出問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn)和切入點(diǎn),把一類(lèi)題型所具有的共性總結(jié)出來(lái),提煉后形成數(shù)學(xué)的思維方法,在不斷的反思和探究中,掌握解決一類(lèi)問(wèn)題的通法,達(dá)到舉一反三的目的。