全國名校雙曲線測試卷

■河南科技大學附屬高級中學 李景榮

一、選擇題

2.“ab＜0”是“方程ax2+by2=1表示雙曲線”的( )。

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

3.若雙曲線8kx2-ky2=8 的一個焦點坐標是(3,0),則k=( )。

7.實軸長為2,虛軸長為4的雙曲線的標準方程是( )。

8.兩個正數a、b的等差中項是,一個等比中項是,且a＞b,則雙曲線=1的離心率為( )。

9.若雙曲線mx2+y2=1的虛軸長是實軸長的2倍,則m的值為( )。

14.設△ABC是等腰三角形,∠ABC=120°,則以A,B為焦點且過點C的雙曲線的離心率為( )。

15.已知0＜θ＜,則雙曲線=1與=1的( )。

A.實軸長相等 B.虛軸長相等

C.離心率相等 D.焦距相等

16.雙曲線x2-y2=1的頂點到其漸近線的距離等于( )。

A.24 B.36 C.48 D.96

21.設F1、F2是雙曲線=1 的左、右兩個焦點,若雙曲線右支上存在一點P,使PF1⊥PF2,且|PF1|=λ|PF2|,則λ的值為( )。

22.直線l：y=k(x-)與雙曲線x2-y2=1 僅有一個公共點,則實數k的值為( )。

A.1 B.-1

C.1或-1 D.1或-1或0

二、填空題

28.焦點在x軸上的雙曲線經過點P(4,-3),且Q(0,5)與兩焦點的連線互相垂直,則此雙曲線的標準方程為_____。

29.已知雙曲線x2-y2=1,點F1、F2為其兩個焦點,點P為雙曲線上一點,若PF1⊥PF2,則|PF1|+|PF2|的值為____。

32.雙曲線x2-y2=1的右支上到直線y=x的距離為的點的坐標是____。

33.已知P是雙曲線=1右支上的一點,雙曲線的一條漸近線方程為3x-y=0。設F1、F2分別為雙曲線的左、右焦點。若|PF2|=3,則|PF1|=____。

34.在平面直角坐標系xOy中,P為雙曲線x2-y2=1右支上的一個動點。若點P到直線x-y+1=0的距離大于c恒成立,則是實數c的最大值為____。

三、解答題

36.已知雙曲線的中心在原點,焦點F1,F2在坐標軸上,離心率為,且過點(4,-)。

(1)求雙曲線的方程。

(2)若點M(3,m)在雙曲線上,求證：點M在以F1F2為直徑的圓上。

(1)求雙曲線C的方程。

(2)記O為坐標原點,過點Q(0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點M、N,若△OMN的面積為,求直線l的方程。

38.已知雙曲線C∶-y2=1,P是C上的任意一點。

(1)求證：點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數。

(2)設點A的坐標為(3,0),求|PA|的最小值。

39.雙曲線的中心為原點O,焦點在x軸上,兩條漸近線分別為l1,l2,經過右焦點F垂直于l1的直線分別交l1,l2于A,B兩點。已知成等差數列,且與同向。

(1)求雙曲線的離心率。

(2)設線段AB的長為4,求雙曲線的方程。

(1)求雙曲線C的漸近線方程。

(2)已知點M的坐標為(0,1),設P是雙曲線C上的點,Q是點P關于原點的對稱點,記,求λ的取值范圍。

(3)已知點D,E,M的坐標分別為(-2,-1),(2,-1),(0,1),P為雙曲線C上在第一象限內的點。記l為經過原點與點P的直線,s為△DEM截直線l所得線段的長,試將s表示為直線的斜率k的函數。

41.已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是F1(-3,0),一條漸近線的方程是5x-2y=0。

(1)求雙曲線C的方程。

(2)若以k(k≠0)為斜率的直線l與雙曲線C相交于兩個不同的點M,N,線段MN的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為,求k的取值范圍。