圓錐曲線中最值與范圍問題的方法突破

■河南科技大學附屬高級中學 許 哲

圓錐曲線中的最值與范圍問題是高考解答題的重點與難點之一。解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標函數(shù)和不等關系,根據(jù)目標函數(shù)和不等式求最值、范圍,因此這類問題的難點就是如何建立目標函數(shù)和不等關系。下面探究常見題型的破解策略。

一、利用基本不等式求最值與范圍

圖1

例1如圖1,在平面直角坐標系xOy中,橢圓=1(a＞b＞0)的離心率為,過橢圓的右焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD。當直線AB的斜率為0時,

(1)求橢圓的方程；

(2)求以A,B,C,D為頂點的四邊形的面積的取值范圍。

解析：(1)由題意知,則a=c,b=c。

當直線AB的斜率為0 時,|AB|+|CD|=2a+=,則c=1。

(2)①當直線AB與CD中有一條直線的斜率為0時,另一條直線的斜率不存在。

由題意知S四邊形ADBC=|AB|·|CD|=。

②當兩條直線的斜率均存在且不為0時,設A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的方程為y=k(x-1),則直線CD的方程為y=-(x-1)。

將直線AB的方程代入橢圓方程,整理得：

(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0。

感悟：這道題,應用了兩個公式：

1.弦長公式|PQ|==,a是x2的系數(shù)；

可先建立目標函數(shù),再利用基本不等式求目標函數(shù)的最值。

例2已知動點A、B分別在x軸、y軸上,且滿足|AB|=2,點P在線段AB上,且(t是不為零的常數(shù))。設點P的軌跡方程為C。

(1)求點P的軌跡方程C；

(2)若t=2,點M、N是C上關于原點對稱的兩個動點(M、N不在坐標軸上),點Q的坐標為,求△QMN的面積S的最大值。

解析：(1)設A(a,0),B(0,b),P(x,y)。

感悟：本題第二問,先構建面積平方的等式,再由點在曲線上這個條件,利用基本不等式求出積的最大值,從而求出面積的最大值。

例3已知橢圓=1(a＞b＞0),設過點A(0,m)的動直線l與橢圓E相交于P、Q兩點,當△OPQ的面積最大時,求l的方程。

若2m2＜b2,則k2=＜0,S△OPQ取不到最大值,此時不能用基本不等式求最值,而通過用構造函數(shù)法或放縮法可以證明,當k=0時,S△OPQ有最大值。

感悟：利用基本不等式求最值時,一定要注意等號是否能夠取到,如果取不到,要及時轉(zhuǎn)換方法,也可利用函數(shù)法求最值。

二、利用換元法，構建函數(shù)求最值與范圍

例4已知橢圓=1(a＞b＞0)的長軸長與短軸長之和為10,一個焦點為(-,0),A(x1,y1),B(x2,y2)(x1,x2＞0)為橢圓上的兩點,P(0,1)。

(1)求|PA|的最大值；

(2)若直線PA,PB的斜率互為相反數(shù),求△PAB的面積最大時直線AB的方程。

解析：(1)由題意,得2a+2b=10,c=5。

(2)由題知當直線AB的斜率不存在時,不滿足PA,PB的斜率互為相反數(shù),故直線AB的斜率存在。設直線AB的方程為y=kx+m(k≠0),聯(lián)立方程,得：

整理得2k(m2-4)-2km(m-1)=0。

因為k≠0,所以m2-4-m(m-1)=0,解得m=4。

故直線AB的方程為y=kx+4,即AB過定點Q(0,4)。

感悟：解決這類題的關鍵是構造關于所求量的函數(shù),并適當?shù)剡M行換元,轉(zhuǎn)化為一個常見的函數(shù),通過求該函數(shù)的值域來獲得問題的解,利用換元法時要注意所換元的取值范圍；在求函數(shù)的值域時,也可以利用基本不等式求解。