純無網格并行計算在傳熱方程數值模擬中的應用

胥 康,任恒飛,任金蓮,蔣 濤

(揚州大學 數學科學學院,江蘇 揚州 225002)

傳熱方程[1]是偏微分方程[2]的一個重要分支,目前求解傳熱方程的數值解法很多,有限點集法(FPM)[3]是其中重要的數值解法之一.通常這類問題的計算量很大,需要數億次的計算,因此如何提高計算效率,縮短求解時間,成為研究者們急需解決的問題.而高性能并行計算機的出現極大提高了大規模計算問題的計算效率,因此將并行計算運用到傳熱方程數值模擬中有一定的意義.目前,并行計算技術有很多,主要有MPI(massage passing interface)[4-5],OPENMP,CUDA,OPENGL,其中MPI是一種比較成熟高效的并行技術.本文在FPM方法的基礎上,通過引入MPI并行計算,對三維傳熱方程進行數值求解,并分析并行效率,從而驗證研究傳熱方程時施加并行算法的必要性和重要性.

1 問題描述

傳熱方程的一般形式為

(1)

初始條件為

u(x,y,z,0)=φ(x,y,z), (x,y,z)∈Ω,

(2)

邊界條件為

u(x,y,z,t)=φ(x,y,z), (x,y,z,t)∈?Ω×(0,T],

(3)

其中:ki=ki(x)(i=1,2,…,n)為熱傳導系數;函數u=u(x,t)是固體在熱傳導過程中t時刻、x處的溫度;Ω為求解區域.

2 基于FPM方法的并行算法

2.1 FPM方法

有限點集法屬于無網格方法[6],其思想是確定待求點的支持域,將支持域內的每個點通過Taylor展開到三階導數得到關于導數的方程,再用最小二乘法使加權誤差最小,求得待求點處的各階導數,最后迭代求出該點處的數值.設xi為點x附近的點(i=1,2,…,n.),函數u(x,t)，ui(t)表示u(x,t)在xi處、t時刻的函數值,則u(xi,t)在x點的三階Taylor展開式為

其中:ei為誤差;xi1,xi2,xi3是點xi的x,y,z分量;x1,x2,x3是點x的x,y,z分量;導數uk,ukl和uklj(k,l,j=1,2,3)可以通過最小二乘法求出.上述問題可寫成

en×1=Mn×19a19×1-bn×1,

(4)

其中

M中第i行為

Δxki=xik-xk, Δxkli=(xik-xk)(xil-xl),

Δxklji=(xik-xk)(xil-xl)(xij-xj),

a19×1=(u1,u2,u3,u11,u12,u13,u22,u23,u33,u111,u112,u113,u122,u123,u133,u222,u223,u233,u333)T,

bn×1=(u1-u,u2-u,u3-u,…,un-u)T,en×1=(e1,e2,…,en)T.

函數ω為

α為常數……