基于緊束縛模型的拓撲物理微波實驗驗證平臺的開發

梅宇涵 邵越 杭志宏?

1) (蘇州大學物理科學與技術學院,蘇州 215006)

2) (南京大學現代工程與應用科學學院,南京 210093)

拓撲光子學、拓撲物理與光學的結合,為凝聚態理論的驗證以及新型光學器件的構建提供了新的視角.緊束縛模型是凝聚態物理的重要研究手段.我們發現,將傳統光子晶體的背景材料由通常的空氣改為有效介電常數為負數的材料之后,這樣的光子晶體和緊束縛模型有一一對應的關系,可以用于相關理論的驗證.通過數值仿真實驗,在蜂巢晶格負背景光子晶體結構中驗證了之字形(zigzag)、胡須型(bearded)等界面態的存在性.我們提出了兩種實驗構想,以期在微波頻段開發相應的凝聚態理論驗證平臺,為拓撲物理的研究提供全新的工具.我們也希望,這些新理論的驗證能為今后光學儀器的設計提供嶄新思路.

1 引 言

拓撲絕緣體是一種特殊的量子材料,其內部可看作是絕緣體,但是材料表面卻是導電的.這種拓撲性質是受時間反演對稱性保護的,這使拓撲絕緣體區別于有普通表面態的材料.電子在材料表面中的背散射被強烈抑制,做無損耗傳輸.Haldane和Raghu[1]在2008年發現在二維三角晶格光子晶體的光子能帶中同樣具有狄拉克點,并提出將之用于光學單向傳輸波導的設計.而在2011年Poo等[2]的實驗驗證了Haldane的理論.他們將鐵電材料柱擺放成蜂巢晶格并外加磁場來打破時間反演對稱性,在其之字形(zigzag)邊界,觀測到了沿著邊緣柱子和空氣之間單向傳輸的表面態[3].并發現在此表面態的頻率,微波甚至能繞過在界面上的障礙物繼續傳輸.

緊束縛模型是固體物理中非常重要的近似計算非金屬晶體能帶方法,使用基于孤立原子的波函數的線性疊加的一組近似波函數來計算電子能帶結構[4].在不考慮電子自旋的情況下,電子系統的哈密頓量可以表示為

其中 ?0是位能,代表了孤立原子的性質,tij是耦合系數,決定了原子之間的相互作用,是產生/消滅算符.對于非金屬晶體,原子之間的長程作用非常小,幾乎可以忽略,因此緊束縛模型在很多時候僅需考慮最近鄰原子之間的相互作用,就能夠得到和真實體系非常類似的結果.僅考慮最近鄰原子相互作用來寫就拓撲絕緣體的哈密頓量的方法,對于拓撲絕緣體的理論發展是非常具有價值的[5].

Thouless,Haldane和 Kosterlitz因為對物質拓撲相的研究獲得了2016年的諾貝爾物理學獎.拓撲是研究物質幾何不變情況下的性質,與具體的物態方程無關.將拓撲的概念引入麥克斯韋方程,拓撲光子學[6]應運而生.在很多凝聚態系統中,有限尺寸材料的邊界特性,可以被緊束縛模型很好地描述;但加工過程中不可避免地存在的位錯等缺陷使得相應的實驗觀測非常困難,影響了相關理論的驗證和進一步發展.而在光學系統里,幾何尺寸和光波/電磁波波長可比擬,在加工制備的精度上,光學材料比電子材料有著天然的優勢.而且近年光學實驗技術的進步,已經允許我們在微波實驗中實現更精準的近場觀測實驗[7-9].所以,如果能夠基于緊束縛模型打造一一對應的電磁波類比實驗平臺,對可以用緊束縛模型描述的理論進行實驗驗證,相信這個平臺能夠幫助推動相關理論的發展.同時,這些新理論也有可能為全新光學元件的開發打下基礎.

2 負背景的引入

2.1 負背景的定義

將介電材料做周期性排列,可以讓和晶格常數可比擬的特定波長的光無法通過.光子晶體[10],或人工帶隙材料,在發現的伊始就是電子晶體的光學類比.早在 1998年,Lidorikis等[11]就提出可以利用緊束縛模型來對光子晶體能帶進行描述,并計算了四方晶格和蜂巢晶格光子晶體,用緊束縛模型進行參數標定.然而相關的研究并沒有激發更多的緊束縛光子晶體的科研工作.

仔細分析傳統光子晶體和緊束縛模型描述的電子體系,可以發現一個很明顯的區別.真空對于電子而言明顯是一個絕緣體;而光和電磁波是能夠在真空中傳播的.在緊束縛模型描述的電子體系中,電子的波函數快速衰減,原子之間是以倏逝波形式耦合的.但對傳統在空氣/真空背景中插入柱子等的光子晶體,同文獻[10]一樣,電磁波顯然在這些柱子之間并不是以倏逝波形式進行耦合的.對于傳統光子晶體,因為光可自由在背景材料中傳播,只討論最近鄰的相互作用是不夠的,這就意味著很難用最近鄰近似相互作用的緊束縛模型對傳統光子晶體能帶進行準確的描述.而且如果想要描述拓撲絕緣體,拓撲平庸的絕緣體也是一個重要的存在.對光而言,絕緣體并不是一個顯然的材料(光子晶體在設計伊始就是嘗試設計一個光的絕緣體),這也給拓撲光子學的研究造成了一定的困難.

我們考慮采取的解決辦法是將原有的真空背景更換為負材料,即介電常數或磁導率為負的材料,從而阻止光的正常傳播.本文因為僅考慮電場垂直于傳播平面的偏振,所以選用了介電系數為負值的材料.這樣,因為有效折射率為虛數,電磁波在這樣的背景材料中只能處于倏逝波的模式.這樣的背景材料對光來說,可以被認為是絕緣體.同時,在負背景介質光子晶體中,電磁波主要會局域在內部插入的介質柱上,以倏逝波耦合的形式影響介質柱的相互作用.由于背景的有效介電常數是一個可以調節的參數,它會極大地影響耦合的性質,也為開展緊束縛模型理論相關的研究提供了便利.

本文主要研究具有六角蜂巢晶格的類石墨烯體系.在 2014年,Plotnik 等[12]研究人員利用光誘導晶體構造了類石墨烯的二維光纖陣列,在實驗上首次觀測到了胡須形(bearded)的表面態,并發現實驗得到的真實光子能帶和緊束縛模型的預測是一致的.

2.2 負背景和緊束縛模型的對應

圖1展示了我們的研究對象,寬度為11個介質柱的蜂巢晶格類石墨烯光子晶體帶.每一個圓代表一根沿z方向無限高的介質柱.考慮電場沿z軸的 Transverse Magnetic(TM)偏振,并沿 x 方向為無限延伸.我們同時研究胡須形和之字形的界面態.背景材料為相對介電常數 ε=x,相對磁導率μ=1 的材料 (x＜0).

圖1 二維類石墨烯光子晶體結構示意圖,其蜂巢晶格原胞用紅線標記.y軸方向上11個介質柱構成一個超原胞,沿著x軸無限周期排列.介質柱陣列的S1邊界為之字形(zigzag)界面,S2 為胡須形 (bearded)界面,介質柱半徑 r=0.2a,a是蜂巢晶格的晶格常數Fig.1.The structure of a honeycomb-lattice graphene-like photonic crystal.Its honeycomb unit cell is indicated in red.A ribbon of 11 dielectric cylinders along the y direction is considered and it is periodically arranged in the x direction.The photonic crystal ribbon has zigzag (S1),bearded (S2)edges.The radius of cylinders shown here is r=0.2a,where a is the lattice constant.

利用有限元數值仿真元件COMSOL Multiphysics仿真了這種具有負背景材料的類石墨烯光子晶體原胞的體能帶.由于該體系具有大量的變量,我們重點關注背景介電常數x,介質柱的尺寸y=r/a,介質柱本身的材料介電常數z這三者,并對比其中某一參數改變對光子晶體能帶的影響.在圖2(a)中對比了四組不同的參數下,第一布里淵區內的頻率最低兩條能帶的能帶結構.

圖2 (a)六角光子晶體最低的兩條能帶,在布里淵區邊界 K 點因為蜂巢晶格對稱性具有狄拉克點.Band 0 對應了 x=—10,y=0.2,z=8.5 的能帶,即初始條件.Band x,y,z 在保持另兩個初始值不變時,改變了 x=—5 (band x),y=0.18 (band y),z=10(band z);(b) 左側 band (x=—20,y=0.2,z=8.5)和右側 band (x=—15,y=0.18,z=8.5) 對比了 COMSOL 計算的能帶(點)以及用(5)式和(6)式擬合的緊束縛模型計算得到的能帶(三角形)Fig.2.(a) A Dirac cone dispersion appears at K point for the lowest two photonic bands of the honeycomb photonic crystal structure we studied.Band 0 represents the band diagram when x=—10,y=0.2,z=8.5;Band x,y and z correspond to the situations that only one parameter from that of band 0 is changed: x=—5 (band x),y=0.18 (band y),z=10 (band z);(b) the comparison between calculated lowest two photonic bulk bands of band left (x=—20,y=0.2,z=8.5) and band right (x=—15,y=0.18,z=8.5) (in red dots) and corresponding bands calculated with tight-binding model with fitted parameters using equations (5) and (6)(in hollow blue triangles).

顯然,x,y,z 中任何一個參數的改變都會影響狄拉克點頻率.同時,這兩條能帶在M點的頻率間隔(能量差),也隨著參量在發生變化.

PBL教學模式已成為國際上較為流行的一種教學方法，也逐漸推廣成為我國醫學教育改革的一種主流模式[10-11]，其優勢也被國內許多的醫學院校教學實踐所證實。研究表明，運用PBL 教學模式的學生在進入臨床工作后其臨床思辨能力、解決實際問題的能力以及與患者的溝通能力均有顯著提升 [10]。

僅考慮最近鄰的緊束縛模型來研究六角原胞,這樣的緊束縛模型是用位能 ?0和耦合強度t來進行描述的.根據(1)式的哈密頓量,可以解得六角晶體的第一和第二能帶的解析值為

可以發現,一階緊束縛能帶要求,這兩條能帶應相對位能 ?0上下對稱.

也就是說,從緊束縛模型,我們找到了能帶特性以及位能 ?0和耦合強度t兩個參數的關系: 第一個狄拉克點的能量(頻率)對應了位能 ?0,而最低能量的兩條能帶第一布里淵區M點對應的能量差δ和t成線性關系 δ=2t.

通過這兩個參數在能帶的對應關系,就很容易通過計算來發現光子晶體中的參數與緊束縛模型的對應關系,結果如表1所列.

表1定性地總結了背景介電常數(x),晶體柱占空比(y),晶體柱材料介電常數(z)和(1)式哈密頓量中的位能 ?0,耦合強度t的單調性.

表1 參數和位能以及耦合系數的關系Table 1.Relationship between onsite energy,coupling ratio and parameters.

為進一步簡化問題,我們固定光子晶體柱的材料為氧化鋁(?=8.5 ),將TB模型中位能和耦合強度擬合為背景介電常數x和晶體柱占空比y的函數.利用剛才分析得到的能帶特性和緊束縛模型的關系,可以數據擬合得出位能 ?0以及耦合強度t與背景介電常數x,晶體柱占空比y的關系:

其中位能 ?0的擬合中調用了arccot函數,是受到Soukoulis的擬合中根據函數變化趨勢選擇調用了tanh函數作為rescaling函數的一部分的啟發[11],我們也根據函數的變化趨勢選擇了具有特殊單調性質的arccot函數.t中選用了exp函數主要是考慮在負背景下的倏逝波的電磁耦合.系數對應了負背景介電常數下的虛數折射率的影響,(1-y)對應的兩個介質柱之間的距離,也就是倏逝波需要作用的距離.至于位能 ?0對應了電磁波的頻率,自然也會影響衰減的波矢.我們發現,這樣的函數在一定范圍(x ∈(-30,-15),y ∈(0.15,0.24) )內可以較準確地預測能帶,如圖2(b)所示.

可以發現在圖2(a)中,對于band x的結果,能帶上下完全不對稱,這并不符合(2)式得出的“能帶相對位能上下應當對稱”的結論,主要原因是當x的絕對值比較小的時候,在負背景材料中的電磁波衰減較慢,次緊鄰乃至更遠的相互作用不能完全被忽略,所以這就不符合僅考慮最近鄰的緊束縛模型.同樣的情況發生在介質柱比較粗(y比較大)的時候,因為柱子間距比較小會導致之間的耦合很強.但這也意味著我們的實驗模型更接近真實體系,并且具備能模擬考慮高階近鄰耦合的緊束縛模型的能力.換句話說,如果能夠調控背景的介電常數,那么我們的實驗平臺具有更多的調制性.

3 新系統的運用

既然負背景光子晶體體系完全能夠和緊束縛模型對應,從而計算類石墨烯結構的體能帶,那我們就進一步開展有限石墨烯帶特別是其界面態的研究(見圖1的示意圖).圖3中對比了利用緊束縛模型和負背景光子晶體計算的類石墨烯光子晶體帶的能帶結構,其超原胞見圖3右下角.可以看到,中間存在一條平坦的界面態能帶.從本征場分析可以發現,靠近布里淵區中心的部分對應局域界面態,出現在胡須狀表面附近(位于超原胞的右側),靠近布里淵區邊緣的部分局域界面態,出現在靠近之字形表面(位于超原胞的左側).因此該負背景光子晶體也可以得到緊束縛模型預言的界面態信息.

圖3 寬度為11且有一個之字形邊界和一個胡須形邊界的光子晶體類石墨烯帶超原胞,利用(1)式,(5)式和(6)式的緊束縛模型得到的能帶圖像(紅色)和仿真結果(藍色)的對比;其中背景常數 x=—20,占空比 y=0.2,超原胞如圖右下角所示Fig.3.The energy bands for a honeycomb-graphene-like photonic crystal ribbon (the background constant x=—20,filling ratio y=0.2).Here we used the equations (1),(5)and (6) to derive the TB solution(red),as simulation results are marked blue.The supercell is depicted in the rightlower corner.

2014年Plotnik等[12]的工作的有趣之處是發現在胡須狀表面附近還存在一些新的Tamm表面態.這不能通過直接緊束縛模型直接預言,而是需要更改緊束縛模型的哈密頓矩陣中下邊界上對應的位能值,Tamm界面態才會出現在理論能帶中.Rechtsman等的解釋是: 位能的大小也受到周圍原子的影響,邊界上原子位能與內部原子不同.利用我們負背景光子晶體結構直接COMSOL仿真的結果,也觀察到了一樣的結論.如圖4所示,在布里淵區邊緣,靠近體帶的位置,上下各存在一個局域在胡須狀界面附近的Tamm界面態,介質柱上電磁波的分布情況也與光纖陣列的實驗結果完全相同.

圖4 利用負背景光子晶體系統數值計算得到的局域在胡須界面上的兩個Tamm態,界面態的色散用紅色和體帶(藍色)區分.此時負背景介電常數為—10,上體帶和下體帶各有一Tamm態;其對應的本征場在下方顯示 (a) 下體帶;(b) 上體帶Fig.4.Band dispersion (in red dots) of Tamm-like bearded edge states calculated using photonic crystal system with background permittivity ?=—10.The bulk bands are in blue dots.Their corresponding eigenfield distributions localized on bearded edge are shown in the lower panels: (a) Lower bands;(b) upper bands.

4 負背景的實現

在本文前述的數值仿真中,使用了常數負背景介電常數來描述背景材料.這僅僅是為了能更快地了解光子晶體系統與緊束縛模型的關系,但實際實驗中,所有負介電常數的材料都是色散的.另外,因為我們主要研究了界面態的存在與否,而界面態通常在一個較窄的頻率范圍存在,所以如果主要關心界面態性質的話,常數負背景不失為一個合理的模型.我們提出了以下兩個實驗實現負背景的構型.

4.1 金屬柱陣列

金屬在光學波段具有負的介電常數,但我們希望背景材料的介電常數可控,也不能有很強的損耗.另外考慮到本課題組具備成熟的微波光子晶體相關的實驗條件,我們擬在微波波段開展相關實驗.而微波波段的有效負介電常數最早就是由Pendry等[13]在1996年提出通過金屬網線陣列加以實現的,并由 Simovski等[14]和 Belov 等[15]對該理論進行了發展.金屬中電子的集體行為可以用等離子體來描述,電子的負電荷和晶格上的正電荷是相互抵消的,但在受到外力作用時,電子會產生位移,導致局部出現正負電荷的堆積,進而產生回復力,這種情況就會導致電子群體的簡諧振動.此時用以下公式來描述其振動頻率,即等離子頻率:

等離子與電磁波的相互作用對金屬產生了重要的影響,其介電常數可用以下公式描述:

對于晶格常數在毫米量級、金屬柱半徑在微米量級的金屬柱陣列,它的等離子頻率恰好在微波的范圍,這剛好滿足了我們的需要.

圖5 金屬柱背景下,氧化鋁蜂窩結構的光子能帶 (紅色),和其對應的背景替換為有效介質(藍色)后得到的能帶結果符合,但用緊束縛模型(綠色)計算得到的能帶略有差別.原胞內的大圓代表介質柱,小圓代表密集插入的細金屬柱Fig.5.In the metallic background,photonic energy bands match well with the bands (Red) calculated with effective background constant (Blue).However,Tight Binding model’s result (Green) shows small variance compared to the real bands.In the schematic cell structure,bigger circle represents dielectric cylinder,while smaller circle represents thin metallic rod inserted.

通過仿真計算,當晶格常數 a=17.045 m,氧化鋁柱半徑 r=3.75 mm,當插入一個晶格常數為 4.9205 mm,金屬柱半徑為 0.0375 mm 的三角晶格金屬陣列時,體系的等離子頻率為13.9 GHz.當插入介質柱以后,該結構的有效介電常數和磁導率經修正后為 ε=1-(17.03GHz)2/ω2,μ=1.如圖5所示,我們比較了COMSOL計算的實際插滿金屬柱的六角原胞(見圖5插圖)的體能帶.這個結果和用負有效背景材料的結果符合.而利用緊束縛模型,符合程度并沒有那么高,這是因為此結構中的介質柱間的耦合依舊相對較大,使用第一近鄰的緊束縛模型仍會有誤差.

4.2 等離子體

除了使用金屬線網格,在微波波段,依然可以使用等離子體材料放電來實現負介電常數[16,17].通過外加電壓來控制等離子體的濃度,甚至可以進一步連續地控制介電常數的大小,這樣連續調控負背景的技術將給系統帶來更大的便利.我們也相信進一步將等離子體和光子晶體進行結合能實現更多創新實驗.

5 討論和結論

拓撲光子學在過去的幾年為拓撲物理和光學帶來了重大的發展.因為結構容易實現,拓撲光子晶體被用于驗證很多拓撲物理的相關理論[18,19],同樣基于拓撲絕緣體的理論發展的光學單向傳輸器件[20-22]也希望能為未來光通信提供新的思路.因為電磁波和晶體中的電子不同,在真空也可以傳播,因此光子晶體,特別是空氣/真空背景的光子晶體,和緊束縛模型并沒有良好的一一對應關系.我們發現將背景材料改為具有負的介電常數的材料,讓電磁波在背景材料中以倏逝波存在,這樣具有負背景的光子晶體和緊束縛模型在一定參數空間下有一一對應的關系.我們的數值模擬結果也驗證了,在類石墨烯光子晶體的之字形和胡須形界面上,有界面態存在.這些現象之前只能在光誘導光纖陣列的實驗中才能被觀測到.同時,我們提出了兩種在微波實現負背景光子晶體系統的方法,仿真和初步實驗結果(未在本文發表)也證實了方法的有效性.

雖然本文的數值模擬僅僅研究了一個偏振下的二維情況,但原則上沒有任何難度就可以推廣到三維,在現有三維的光子晶體體系下緊束縛模型依舊是適用的.而兩個實驗構想也都可以實現各向同性的有效三維負介電常數.和光誘導光纖陣列不同,光子晶體系統無需使用光纖空間傳播方向來代替時間軸來表達能量大小,所以它完全可以對三維結構的拓撲性質進行研究.同時,如果采用等離子體放電的方式來構建背景負介電常數,還可以通過對放電電壓的調控來實現介電常數的連續可調,為可調制拓撲光子學提供一個解決方案.希望我們提出的微波實驗驗證平臺,能為研究拓撲物理提供全新的工具.結合光學和拓撲物理學的新平臺在凝聚態理論驗證和新光學工具設計方面都有著非常大的潛力.