高階拓撲絕緣體和高階拓撲超導體簡介

嚴忠波

(中山大學物理學院,廣州 510275)

近期,高階拓撲絕緣體和高階拓撲超導體的概念激發了廣泛關注和研究興趣.由于新的體-邊對應關系,在同一維度高階拓撲絕緣體和高階拓撲超導體的邊界態的維度要低于一階(或稱傳統)拓撲絕緣體和拓撲超導體的邊界態.本文闡述了高階拓撲物態和一階拓撲物態的聯系.具體展示了在同一維度上如何利用對稱性的破缺從一階拓撲物態轉變為高階拓撲物態,以及如何利用低維的一階拓撲物態構造高維的高階拓撲物態;回顧了高階拓撲絕緣體和高階拓撲超導體的研究進展.通過對近期的研究進展的回顧,可以看出這一新興領域雖然研究進展迅速,但對電子型的高階拓撲絕緣體和高階拓撲超導體的性質的理論研究和實驗研究均處在非常初級的階段,要對這一新興領域有更深更全面的理解認識還有待更多的研究投入.

1 引 言

尋找和理解新奇的物態并對它們進行分類是凝聚態物理發展的核心方向之一.在二十世紀,對物態的認識和理解的一大重要成就是朗道的相與相變理論.根據此理論,不同的物相由不同的局域序參數刻畫,而不同的序參數對應著不同的對稱性破缺.此理論的廣泛適用性在很長一段時間內讓物理學家以為所有的物態均可以由局域的序參數刻畫,而不同物態間的相變對應著不同的對稱性破缺.然而,隨著二維Kosterlitz-Thoulss相變理論[1]的提出和強磁場下二維電子氣中的整數和分數量子霍爾效應的發現[2,3],大家逐漸認識到存在新的物態,且對這些物態的描述超越了朗道的相與相變理論[4].此類新的物態即所謂的拓撲物態.與對稱破缺有序相不同(如鐵磁相),拓撲物態無法由局域的序參數完美刻畫,而需要利用數學中的拓撲不變量的概念.拓撲不變量刻畫的是封閉流形的全局性質,它最重要的特征是它只能取離散的數值而不能連續變化.這意味著只要流形的幾何沒有發生突變,如空洞的數目,那么即使流形的幾何性質在局域上發生了變化,拓撲不變量也不會發生改變.反映在物理上,這對應拓撲物態存在非常穩定的物理性質.在這方面最具代表性的例子是二維整數量子霍爾效應[2,5].根據半經典理論,二維電子氣的霍爾電阻應隨著磁場線性增加,然而在實驗上卻觀察到一系列的平臺[2].在低溫下這些平臺是如此地不依賴于樣品的細節,以至于現在它們被作為電阻的標準單位[6].

拓撲物態的發現激發了廣泛的關注和研究.這一方面是由于發現拓撲物態具有非常豐富的物理,如分數化現象,分數統計等[7];另一方面則是由于拓撲物態呈現出誘人的應用前景.在對拓撲物態的研究中,人們發現拓撲物態存在一個普遍的特征,即所謂的“體-邊對應”.它指如果刻畫“體”的拓撲不變量非平凡,那么在邊界上將存在無能隙模式.由于受拓撲保護,這些無能隙模式具有無耗散或者低耗散的特征,因而一個直接的應用就是電子器件.整數量子霍爾效應呈現的霍爾平臺即是由于邊界上存在無能隙的手征模式.這些手征模式由于無法被向后散射,因而它們的傳輸沒有耗散,是理想的導電通道.

繼整數和分數量子霍爾效應發現之后,拓撲物態研究的一個重要突破來自于二維量子自旋霍爾效應(又稱為二維拓撲絕緣體)的理論預言[8-11]和實驗證實[12].二維量子自旋霍爾效應是全新的拓撲物態.由于具有時間反演對稱性,它對應的無能隙邊界態總是成對出現,且每一對的兩支模式總是沿著相反方向傳輸[8-11],非常不同于整數量子霍爾效應的手征邊界態.二維量子自旋霍爾效應開啟了拓撲能帶理論的研究.根據能帶理論,二維的量子自旋霍爾效應很快被推廣到三維,產生了三維拓撲絕緣體的概念[13-15].理論研究發現在只要求時間反演對稱性的條件下,二維和三維拓撲絕緣體能帶的拓撲性質均可以用Z2不變量刻畫[9,13-15],這也和整數量子霍爾效應的整數分類完全不同.另外,在對二維拓撲絕緣體的研究中,已認識到能帶反轉和自旋軌道耦合對實現拓撲絕緣體的重要性[11].能帶反轉提供了一個判斷真實材料是否為拓撲絕緣體的簡單判據.在拓撲材料的預言和實驗探測上,這一簡單的判據起到了非常重要的指導作用.

由于在哈密頓量的描述形式上,絕緣體和超導體并無差異,因此在拓撲絕緣體的概念出現之后,拓撲超導體的概念也隨之被提出.相似地,當超導體具有非平凡的拓撲性質時,它的邊界上也將存在無能隙模式.不過,一個重要的區別是拓撲絕緣體的邊界態是帶電的,而拓撲超導體的邊界態是電中性的.這一區別具有重要的物理后果.在對一維的p-波超導體的研究中,Kitaev[16]發現當超導體處于拓撲相時,其每一端均存在一個穩定的Majorana零模,即反粒子是自身的模式.由于兩個Majorana零模等價于一個狄拉克費米子,而一個狄拉克費米子的占據和非占據兩種狀態可以構建一個量子比特,這意味著一個量子比特的信息可以存儲在兩個分隔很遠的Majorana零模上.這種非局域的信息存儲方式可以保證信息能夠對抗環境的噪聲.另外,研究發現Majorana零模具有非阿貝爾的統計[17].當存在多個Majorana零模時,對它們進行編織操作等效于對量子比特做邏輯門操作,因而可用于拓撲量子計算[18-20].正是由于在拓撲量子計算方面的潛在應用,近年來實現拓撲超導體和探測其中的Majorana零模一直是凝聚態領域最活躍的研究方向之一[21-24].

由于哈密頓量形式上的相似,拓撲絕緣體和拓撲超導體可以放在同一框架下進行分類.早期的拓撲分類是根據哈密頓量是否具有時間反演對稱性、粒子-空穴對稱性和手征對稱性(或子格對稱性)[25,26].根據這三個對稱性,一共存在十個對稱類[25,26].在任意維度,十個對稱類中有五個對稱類允許存在非平凡的拓撲相.后來晶體對稱性的重要性被認識到,相應地產生了拓撲晶體絕緣體和拓撲晶體超導體的概念[27].由于晶體對稱性的豐富,拓撲物態的種類相應地也變得非常豐富.在最新的研究中,人們發現已知的幾萬種材料中有超過百分之二十是拓撲非平凡的材料[28-30],展現出拓撲物態的普遍.

近年來對拓撲物態的研究進一步產生了高階拓撲絕緣體和高階拓撲超導體的概念[31-35].高階拓撲物態的“高階”體現在其體-邊對應關系上.對d維的傳統拓撲絕緣體和拓撲超導體,我們知道其具有(d-1)維的無能隙邊界態[21,36].如三維的拓撲絕緣體具有二維的狄拉克表面態,二維的拓撲絕緣體具有一維的螺旋邊界態.而對一個d維的n階拓撲物態,其具有(d-n)維的無能隙邊界態,其中1≤n≤d,如圖1 所示.例如,二維二階拓撲絕緣體具有零維的邊界態,而三維二階拓撲絕緣體具有一維的無能隙邊界態.根據這個定義,傳統的拓撲絕緣體和拓撲超導體也被稱為一階拓撲絕緣體和一階拓撲超導體.

由于高階拓撲物態新的體-邊對應關系允許無能隙邊界態以新的方式出現,高階拓撲物態的概念出現之后即吸引了廣泛的注意,并在理論和實驗兩方面都迅速取得進展.不過,對高階拓撲物態的研究目前還處在比較初級的階段.本文的目的即是回顧高階拓撲絕緣體和高階拓撲超導體截至目前的研究進展,希望能對此前沿方向尚無深入了解的讀者有所幫助.本文第2節分析一階拓撲物態和高階拓撲物態的聯系;第3節回顧高階拓撲絕緣體的研究進展;第4節回顧高階拓撲超導體的研究進展;第5節給出總結和展望.受限于作者的個人能力和偏好,此綜述不可避免地會遺漏掉對一些重要的研究工作的介紹和引用.讀者如果想獲得更全面的認識,可參閱參考文獻和其中相關的文獻.

圖1 拓撲物態的邊界態示意圖 n=1 的行對應傳統的拓撲物態,其具有比系統維度低一維的無能隙邊界態;n≥2的行對應高階拓撲物態,其具有比維度低n維的無能隙邊界態Fig.1.A schematic diagram of the boundary modes of topological matter.The line with n=1 corresponds to conventional topological matters which host gapless modes whose dimensions are one-dimensional lower than the system dimension.The lines with n ≥2 correspond to higherorder topological matters which host gapless modes whose dimensions are n-dimensional lower than the system dimension.

2 一階拓撲物態到高階拓撲物態

2.1 一階拓撲絕緣體的體-邊對應

為了方便理解高階拓撲物態與一階拓撲物態的聯系,先簡單回顧一下一階拓撲物態的體-邊對應.以 Bernevig-Hughes-Zhang (BHZ)模型為例[11],先考慮格點哈密頓量:

其中,σx,y,z和sx,y,z為泡利矩陣,分別作用在子能帶(subbands)自由度和自旋自由度上;為了簡化表達式,晶格長度在本文中將自始至終設置為1;A,B和M 為常數.不失一般性,我們考慮 A和B均為正數.刻畫此哈密頓量的 Z2不變量[37]具有下面的形式:

其中 Γi表示布里淵區中的時間反演不變動量點,即(0,0),(0 ,π),(π ,0) 和 (π ,π) ;ξΓi表示在 Γi處占據態的 宇 稱.從 Z2不變量的表達式可以看出,當0＜M＜8B 且 M =4B 時,v=1,對應拓撲相;而當 M ＜0 或 M ＞8B 時,均對應平凡相.我們在引言中提及,當系統處于拓撲相時,由于體-邊對應,將存在穩定的無能隙邊界態.而當系統處于平凡相時,不存在穩定的無能隙邊緣態.為了直觀地看出這一點,我們現在考慮 M →0 的情況,此時導帶與價帶的能隙極小值出現在高對稱動量點 (0 ,0) 處.圍繞此動量點做低能展開到動量的二階,我們得到連續哈密頓量

接下來我們考慮半無限系統.具體地,我們考慮系統占據整個x≥0區域.由于沿著x方向的平移對稱性被破壞,kx需要替換為- i?x,相應地,(3)式變為

Hp當作為微擾.在這里為了進一步地簡化分析,忽略掉了不重要的項.對局域在 x=0 附近的邊界態,其波函數應滿足邊界條件ψ(x=0)=ψ(x=+∞)=0.在此邊界條件下,解本征方程H0(-i?x)ψ(x)=Eψ(x)可發現存在兩個零能量解:

簡單計算可發現

此哈密頓量反映在邊界上存在一對相向傳輸、自旋相反的無能隙模式,即所謂的螺旋模式(helical modes).

2.2 同維度一階拓撲絕緣體到高階拓撲絕緣體

根據(8)式,可以發現要保持邊界態的無能隙特征,需要保證時間反演對稱性不被破壞和沒有超導關聯.我們先考慮單純地破壞時間反演對稱性.具體地,考慮如下的模型:

此模型和BHZ模型相比只是多了第三行的項.根據自旋1/2系統的時間反演算符 T=isyK (K表示復共軛操作),容易看出 Λ (coskx-cosky)σxsx這一項破壞了時間反演對稱性.由于新引入的這一項和BHZ模型原有的所有項均反對易,這保證了只要BHZ模型描述一個絕緣體,此模型的能譜就一定具有非零能隙.

為了解析地看出這一項對邊界態的影響,我們仍然考慮 M →0 的情況,然后圍繞高對稱動量點(0,0)做低能展開到動量的二階,得到連續模型

采用和先前求解BHZ模型的邊界態相似的步驟: 考慮系統占據 x ≥0 的半無限區域,并把哈密頓量分解成兩部分,H(-i?x,ky)=H0(-i?x)+Hp(-i?x,ky),其中

計算可得

要看出(9)式中的哈密頓量實質上實現了一個二階拓撲絕緣體,我們在x和y方向上同時取開邊界條件.此時存在四條邊,邊與邊兩兩相交形成一個角(如圖1中的 d=2 列所示).為了討論的方便,我們把最左端的邊界記為I,然后沿著逆時針方向依次標記另外三條邊界為 II,III,IV.邊界I上的有效哈密頓量的形式我們已經知道,即(13)式.相似的分析我們可以得到另外三條邊界上的有效哈密頓量[38],分別為

x和y方向上同時取開邊界條件時kx和ky均不再是好量子數.我們引入一個邊界坐標?,它刻畫此處的一維邊界,其正方向約定為沿逆時針方向.由于一維邊界是封閉的,因此?的定義隱含了?+2Lx+2Ly=?,其中Lx和Ly分別表示系統沿著x和y方向的尺寸.利用邊界坐標,四個邊界上的有效哈密頓量可以統一地寫為

其中A(?)=A,而m(?)在I,II,III,IV四個邊界上的取值分別為-ΛM/2B,ΛM/2B,-ΛM/2B,ΛM/2B.由此可以看出,在角的地方A(?)保持不變,而m(?)的符號將發生改變.這意味著在角的地方正好形成了一個狄拉克質量的疇壁.根據Jackiw-Rebbi理論[39],這樣的疇壁將束縛一個零維的零能量束縛態.由于四個角都形成了疇壁,因此一共存在四個零能量束縛態.由于這些零能量束縛態存在于系統的角上,因此它們也被稱為角模(corner modes).

利用邊界態理論,可以清晰地看出如何從一階拓撲物態轉變為高階拓撲物態.簡言之,如果從一個d維的一階拓撲物態出發,要實現一個d維的高階拓撲物態,首先需要破壞保護一階拓撲物態無能隙邊界態的對稱性,如保護一階拓撲絕緣體的時間反演對稱性;其次,破壞對稱性的方式需要具有各向異性的特點.

雖然利用邊界態理論時為了分析上的簡單,我們假設了新引入的項可以當作微擾,但這并不意味著上面的圖像和結論只有當Λ很小時成立.為了顯示這一事實,直接根據(9)式中的格點哈密頓量數值計算Λ項對邊界態的影響.計算結果確定了即使Λ項不能當作微擾,上述的圖像依然成立,如圖2所示.

由于超導體和絕緣體在哈密頓量描述上的相似,上面對絕緣體的分析可以自然地推廣到超導體,在此不再贅述.

圖2 從一階拓撲絕緣體到二階拓撲絕緣體 (a) 沿 x 方向取開放邊界條件 (Lx=100 ),沿 y 方向取周期邊界條件,參數為M=B=A=1,Λ=0,對應BHZ模型,能譜反映出無能隙邊界態的存在;(b) 插圖中紅點對應的能量本征態的波函數分布,參數同(a),但沿x和y兩個方向均取開放邊界條件;紅色的深淺對應波函數分布概率的大小,可以看出對一階拓撲絕緣體,波函數分布在整個邊界上;(c) 邊界條件和參數同(a),除了此處 Λ=0.5,可看出 Λ項的出現讓邊界態打開了能隙;(d) 零模的波函數分布,參數同(c),但沿x和y兩個方向均取開放邊界條件;從插圖中可發現存在四個零模,這四個零模的波函數局域在四個角上Fig.2.From first-order topological insulator to second-order topological insulator.(a) Energy spectra for a sample with open boundary condition in the x direction (the system size Lx=100 ) and periodic boundary condition in the y direction.Parameters are M=B=A=1,Λ=0,which corresponds to the original BHZ model.The energy spectra reflect the existence of gapless boundary modes.(b) the density profile of a boundary mode.The parameters are the same as in (a),but now open boundary conditions are taken both in the x and y directions.One can see that the density profile of the boundary mode distributes over the whole boundary.(c) the boundary conditions and parameters are the same as in (a),except now Λ=0.5.One can see that the presence of the Λ term opens a gap for the boundary modes.(d) the density profiles of zero modes.The parameters are the same as in (c),but now open boundary conditions are taken both in the x and y directions.One can see that there are four zero-energy modes in the inset.Their wave functions are found to be localized around the corners.

2.3 低維一階拓撲物態到高維高階拓撲物態

上一節中利用邊界態理論和數值計算展示了當以恰當的方式打開邊界態的能隙時,可以從一階拓撲物態轉變到高階拓撲物態.對這種情況,一階拓撲物態和高階拓撲物態處于同一維度.本節介紹另一種實現高階拓撲物態的方式: 利用低維一階拓撲物態實現高維高階拓撲物態.簡單起見,以一維的 Su-Schrieffer-Heeger(SSH)模型為例[40].SSH模型的哈密頓量為

圖3 從一維一階拓撲絕緣體到二維二階拓撲絕緣體(a) 一維SSH鏈的示意圖;(b) 利用一維SSH鏈構造二維二階拓撲絕緣體,每個單位元胞中有一個 π 磁通Fig.3.Constructing two-dimensional second-order topological insulator by using one-dimensional topological insulator: (a) A schematic diagram of the SSH chain;(b) using the one-dimensional SSH chains to construct a two-dimensional second-order topological insulator,within each small square,there is a π-flux.

其中 τx,y,z也為泡利矩陣,其作用在鏈自由度上;τ0和σ0為 相應的2 × 2單位矩陣,因此最后一項的物理意義為一勢能.如果 δ=0,此哈密頓量具有手征對稱性,相應的手征算符為 σzτz.由于此哈密頓量的前四項均反對易,簡單分析可知只要和不同時滿足,此哈密頓量的能譜都存在能隙,即描述一個絕緣體.為了簡單地顯示此哈密頓量可實現二階拓撲相,考慮一個極限情況,即tx=ty=0.根據圖3(b),可發現此時四個角上的格子和其他的格子沒有耦合,因而它們將束縛一個局域模式.當 δ=0 時,由于具有手征對稱性,此局域模式的能量將釘扎在零上,即存在零能量的角模.當 δ =0 時,由于 δ σ0τ0項的效應是能量平移,所以角模仍然存在,只是能量不再釘扎在零上,但對此模型仍然處在能隙之中.如果 δ 在邊界上呈現一定強度的無序性,角模的能量也可以出現在能隙之外.

對更一般的參數情況,此哈密頓量的拓撲性質可以利用嵌套威爾遜圈(nested Wilson loop)[31,35]或者直接在實空間里對角化哈密頓量分析,結果是只要同時滿足,即存在角模,對應二階拓撲絕緣體;而當不再存在角模,對應平凡絕緣體.

這種利用低維拓撲物態構造高維拓撲物態的方案通常稱為線構造(wire construction)或者面構造(layer construction).這種方法在構造高階拓撲物態的模型上非常有用[33,41].

3 高階拓撲絕緣體

接下來我們回顧一下高階拓撲絕緣體的研究進展.在2.2節中,我們展示了如果引入合適的破壞時間反演對稱性的項,那么一階拓撲絕緣體可以轉變為高階拓撲絕緣體.在 2012年,Sitte 等[42]發現對三維拓撲絕緣體施加外磁場,如果磁場不沿著晶體的主軸方向,那么磁場在破壞二維無能隙的狄拉克表面態的同時,會在晶體的棱上保留一支一維的手征無能隙模式.這意味著加外磁場可以讓三維的一階拓撲絕緣體轉變為三維的二階拓撲絕緣體.類似地,Zhang等[43]發現如果一階拓撲絕緣體的表面發生磁化,也可以讓二維的狄拉克表面態打開能隙,而只在晶體的棱上保留一維的手征無能隙模式.回頭來看,這兩個研究工作中實現的物態都屬于二階拓撲絕緣體,不過高階拓撲絕緣體的概念在此未被提及.

2016年,Benalcazar,Bernevig 和 Hughes提出了量子多極矩絕緣體的概念[31].(18)式即是他們提出的實現量子四極矩絕緣體(屬于二維二階拓撲絕緣體)的模型.量子四極矩絕緣體的偶極矩為零,但具有量子化的四極矩,這要求四個角上交錯分布正負e/2的電荷.另外,他們還提出量子八極矩絕緣體(屬于三維三階拓撲絕緣體)的概念.量子八極矩絕緣體的偶極矩和四極矩均為零,但具有量子化的八極矩.由于量子化的物理量在凝聚態領域總是備受關注,這篇文章迅速吸引了廣泛的關注.

2017年,Schindler等[32]提出了一個新的實現三維二階拓撲絕緣體的模型,即在實現三維拓撲絕緣體的模型基礎上引入同時破壞四度旋轉對稱性和時間反演對稱性、但保持它們的組合對稱性的項(如(9)式中的Λ項).這篇文章的標題里正式出現了高階拓撲絕緣體的概念.這篇文章也預言了幾種電子材料為具有時間反演對稱性的二階拓撲絕緣體,如 SnTe 和 BiSe.幾乎同時,其他兩個研究組研究了其他對稱性的情況[33,34],而Benalcazar等[35]對量子多極矩絕緣體的性質給出了更系統的研究.隨后,對高階拓撲物態的理論研究工作迅速增長[44-53].

高階拓撲絕緣體的實驗研究進展也非常迅速.(9)式中的二維模型很快在超材料和電路中實現,角模也相應地被觀察到[54-56].以微波共鳴器的實驗為例[54],實驗上利用四個相同的共鳴器組成一個元胞,這樣就如圖3(b)所示一個元胞中等效地存在四個子格.然后共鳴器間的耦合也可以調節成圖3(b)所示的結構.再利用人造磁場產生 π 磁通,即實現了(9)式中的二階拓撲絕緣體模型.相應地,角模的存在與否可以簡單地通過吸收譜來反映.

(9)式中的二維模型對應的晶格是四方晶格.高階拓撲絕緣體自然也可以在其他晶格上實現,比如kagome晶格[47,56,57].在此類晶格上實現高階拓撲物態的一個優勢是不需要 π 磁通,但機理仍然可以理解為是對一維SSH模型的推廣.由于SSH模型本身的邊界態實質上非常依賴于兩端的子格類型,因而此類方案實現的高階拓撲絕緣相的邊界態本質上非常依賴于邊界的構型,這種邊界依賴性已在實驗上觀察到[56].

到目前為止,高階拓撲絕緣相已經在多種聲學和光學超材料中實現[54-63].相較而言,電子型高階拓撲絕緣體材料目前的實驗研究還非常之少.這一方面是目前預言的材料還相對較少[64-69],另一方面是電子型材料的生長以及拓撲性質的確定在實驗上也要困難很多.目前,實驗上報道的高階拓撲絕緣體材料還只有鉍[64]和人工設計的電子材料[70].其中,在三維的鉍的棱上利用掃描隧道顯微鏡和約瑟夫森干涉發現存在一維的螺旋型無能隙模式,表明此材料為具有時間反演對稱性的二階拓撲絕緣體[64].我們知道電子型的材料的一個獨特特征是具有多種多樣的相互作用.由于維度的變化對相互作用的影響非常之大,可以預見電子型的高階拓撲絕緣體的邊界態將呈現諸多獨特的性質.因此,尋找更多的電子型高階拓撲絕緣體材料以進行更深入的實驗和理論研究具有重要的意義.

4 高階拓撲超導體

高階拓撲絕緣體的概念被提出后,高階拓撲超導體的概念也順其自然地被提出.根據拓撲絕緣體的經驗,我們知道對具有時間反演對稱性的拓撲超導體施加外磁場以破壞對稱性也可實現二階拓撲超導體[34,71].從模型的角度考慮,最簡單的具有時間反演對稱性的拓撲超導體是考慮自旋的p-波超導體[72].然而由于目前實驗上還沒有確定的p-波超導體,這個方案很難在實驗上實現和研究.

為了避開先實現具有時間反演對稱性的拓撲超導體這一苛刻要求,本文作者和合作者提出一個新的實現方案: 在高溫超導體上生長二維一階拓撲絕緣體[38].我們在前面曾提及要保持二維一階拓撲絕緣體的無能隙邊界態,需要保持時間反演對稱性不被破壞和沒有超導關聯.當二維一階拓撲絕緣體生長在高溫超導體上時,由于超導近鄰效應,無能隙邊界態會由于超導配對而打開能隙.具體地,如果考慮高溫超導體的超導配對形式為d波(如利用銅基超導體),那么這個異質結構可以由如下的哈密頓量描述[38],

其中最后一項表示 d-波超導配對.可以發現(19)式和(9)式在形式上很像,利用邊界態理論可發現當沿著x和y方向均取開邊界條件時,每個角上都將存在一對Majorana零模.之所以每個角上存在兩個Majorana零模是由于超導配對項并未破壞時間反演對稱性.進一步地,我們發現此方案也適用于 s±波的高溫超導體(如鐵基超導體).基于s±波的高溫超導體和二維拓撲絕緣體的方案也被Wang等[73]提出.此方案推廣到三維也可實現具有時間反演對稱性的的二階拓撲超導體[74].和二維不同,此時的邊界態為一維無能隙的Majorana螺旋模式.如果要實現不具有時間反演對稱性的二階拓撲超導體,可以引入磁場或者磁性,此時二維二階拓撲超導體的角上將只出現一個Majorana零模[75-79],三維二階拓撲超導體的棱上將出現手征Majorana模式[76,80].近期,本文作者發現在超導體上生長不具有時間反演對稱性的二階拓撲絕緣體可以自然地實現二階拓撲超導體[81].這一方案相比于先前的方案有兩點優勢: 一是適用于任意的超導配對形式,二是不需要外磁場.如果二階拓撲絕緣體具有時間反演對稱性,研究發現在合適的相互作用條件下或者加入磁場也可實現Majorana零模[82]或手征Majorana模式[83].

高階拓撲超導體也可以利用混合超導配對來實現.已提出的方案包括: p+id超導配對[84],p+is超導配對[85],以及Rashba自旋軌道耦合+(s+id)超導配對[86].另外一個實現高階拓撲超導體的重要機制是拓撲半金屬內發生奇宇稱的超導配對[84,87-89].例如,研究發現如果狄拉克半金屬發生超導轉變且超導配對為p-波配對,那么在二維可實現二階拓撲超導體[84,89].而在三維,如果節線半金屬中發生超導轉變且奇宇稱超導配對合適的話,那么既可實現二階拓撲超導體[86,87],也可實現三階拓撲超導體[88,89].當然,即使正常態是普通的金屬且只有奇宇稱的超導配對,也可以實現高階拓撲超導[88].值得強調的是,利用奇宇稱的超導配對可實現單能帶的高階拓撲超導[88].

目前,雖然已經有了一系列實現高階拓撲超導體的理論方案,但是相關的實驗研究工作還處在非常初步的階段.截止目前,實驗方面的研究工作包括: Burch組在鐵基超導FeTe0.55Se0.45的棱上觀察到了一維無能隙的Majorana模式[90].由于FeTe0.55Se0.45在超導轉變溫度上能帶存在反轉[91],而超導轉變后配對形式認為是 s±波,因此此實驗觀察到的結果非常符合三維拓撲絕緣體和 s±波超導配對結合實現時間反演對稱的二階拓撲超導體的理論[74].另外,Yazdani組在二階拓撲絕緣體鉍+超導體+鐵原子團簇的結構上觀察到了Majorana零模的信號[92].此方案由于鐵原子團簇具有磁性,所以不具有時間反演對稱性.相應地,Majorana零模以單個的形式出現在鐵原子團簇的端點.

5 結 論

本文簡要地介紹了傳統拓撲物態和高階拓撲物態的聯系,并回顧了高階拓撲絕緣體和高階拓撲超導體的研究進展,從中可以看出高階拓撲絕緣體和高階拓撲超導體極大地豐富了拓撲物態的類型.高階拓撲物態的體-邊對應也極大地豐富了和邊界態相關的物理.從本文也可以看出高階拓撲絕緣體和高階拓撲超導體的研究都還處在比較初級的階段.對高階拓撲絕緣體,對電子型的材料的實驗研究還太少.理論方面,雖然現在對高階拓撲絕緣體的拓撲性質和分類等已取得了很好的進展,但高階拓撲絕緣體存在什么樣的獨特響應性質尚不清楚.另外,電子型的高階拓撲絕緣體材料的實現也可以推動高階拓撲超導體的實現[81-83],而挖掘高階拓撲超導體的獨特性質也是一個重要的研究方向.這一方面可以提供探測Majorana模式的新思路,另一方面也可能催生利用Majorana模式的新方向.

最后,需要強調的是在高階拓撲絕緣體和高階拓撲超導體的概念產生之后,高階拓撲物態的概念也被推廣到了拓撲半金屬系統[93,94],本文限于篇幅沒有介紹和這一部分相關的研究工作.