拓撲表面等離激元*

耿逸飛 王鑄寧 馬耀光? 高飛2)?

1) (浙江大學,現代光學儀器國家重點實驗室,杭州 310027)

2) (浙江大學信息與電子工程學院,杭州 310027)

集成電磁器件尺寸的小型化一直都是該領域發展的重要方向,具有亞波長、強束縛模式特性的表面等離激元電磁模式為集成電磁器件小型化提供了有力的解決方案.但是,支持表面等離激元的材料或結構不可避免地會出現雜質或者結構缺陷,從而降低表面電磁波器件的傳輸性能.為了避免表面等離激元器件性能受到雜質或缺陷的影響,具有魯棒傳輸特性的拓撲表面等離激元應運而生.本文首先回顧了光頻段表面等離激元和太赫茲/微波頻段人工表面等離激元的實現方案以及電磁特性,進而重點總結了拓撲表面等離激元的幾種重要設計理論,并展望了拓撲表面等離激元的未來發展方向.

1 引 言

器件尺寸小型化一直以來都是集成電磁學領域發展的重要方向,具有亞波長模場特性的表面等離激元 (surface plasmon polaritons,SPPs)電磁模式為集成電磁器件小型化提供了有利的解決方案.SPPs是一種能將電磁能量束縛在金屬-介質界面附近亞波長區域的表面電磁模式.其起源可以追溯到1902年Wood在衍射光柵覆蓋的鏡子的反射光中發現的異常亮暗帶圖樣[1].1956年Pines從理論上描述了高速電子穿過金屬所經歷的特征能量損失[2],并將這些損失歸因于金屬中自由電子的集體振蕩,并將這些振蕩稱為“等離子體”.此后,Ritchie[3]研究了薄膜中的電子能量損失,并對表面等離子體進行了第一次理論描述.他發現等離子體模式可能存在于金屬表面附近,然后描述了在金屬光柵上激發的表面等離子體共振的異常特性[4].幾年后,Cunningham等[5]引入了術語表面等離子體激元(surface plasmon polaritons,SPPs).由于SPPs來源于金屬-介質界面的電子集群振蕩與光子之間的相互耦合,其常見于光頻段.但是,金屬中電子集群振蕩頻率遠遠高于太赫茲/微波頻率,因而金屬在太赫茲/微波頻段的電磁特性近似于完美電導體(PEC),無法支持SPPs.

為了將SPPs電磁模式的亞波長特性拓展到太赫茲/微波頻段,Pendry[6]在2004年首次提出人工表面等離激元 (Spoof SPPs,SSPPs) 的概念.人工表面等離激元是一種通過在金屬表面設計超材料結構,從而實現的表面電磁模式.金屬表面的結構起到了增強電磁場穿透的作用,而結構的幾何參數決定了等效Drude模型中有效等離子體頻率,從而決定了人工表面等離激元的色散特性[6,7].由此可以通過設計不同結構、不同幾何特征的褶皺狀結構來調節人工表面等離激元的色散性質.

但是,支持表面等離激元的材料或結構不可避免地會出現雜質或者結構缺陷,從而降低表面電磁波器件的傳輸性能.為解決這一挑戰,研究人員把目光投向了拓撲能帶理論,即借用拓撲學的方法對表面等離激元在倒易空間中的能帶特性進行描述.能帶具有拓撲非平庸特性的表面等離激元系統,通常被稱為拓撲表面等離激元.其表現為在無限大拓撲表面等離激元禁帶對應的頻率范圍,有限尺寸系統能帶會出現無帶隙邊界態.這種無帶隙邊界態在實空間體現為表面等離激元在類似雜質或者結構缺陷的微擾之下依舊可以保持優良的傳輸性能,即系統具備魯棒傳輸特性,因此拓撲表面等離激元(如圖1所示)近年來引起了大量關注.

圖1 (a)雜質和結構缺陷對表面等離激元傳輸的影響;(b)拓撲表面等離激元的魯棒傳輸特性Fig.1.(a) Effect of impurity and structural defects on surface plasmon transport;(b) robust propagation characteristics of topological surface plasmons.

2 拓撲表面等離激元

2.1 拓撲電磁學簡介

拓撲學是研究幾何結構的一些特性在連續變化過程中保持不變的一門數學分支.后來,凝聚態物理學家將拓撲概念用于描述絕緣體能帶在布里淵區中絕熱變化過程中保持不變的特性[8,9].這種不變特性可以采用陳數Cn定量表示,

其中 Ωn(k)=?×An為第n個能帶在波矢k處的Berry曲率,An=i〈un|?k|un〉為Berry連接,|un(k)〉為 Bloch 波函數.當 C=0 時,材料為普通絕緣體;當 C ≠ 0 時,材料為拓撲絕緣體.當兩種不同陳數材料形成交界面時,在界面處就會出現無能隙拓撲邊界態.在微擾條件下,這種拓撲邊界態的輸運將出現不會受到雜質或缺陷影響的魯棒特性.

2008年,Haldane和 Raghu[10]將這種凝聚態中的拓撲特性引入電磁學領域,預言了單向拓撲電磁波導的存在,也標志著拓撲電磁學領域的開端.一年后,Wang等[11]從實驗上驗證了這種拓撲電磁波導,他們在采用旋磁材料制成的光子晶體中實現了背向散射免疫的拓撲電磁波導模式.此后,針對各種光子晶體拓撲性質的研究逐漸吸引了科學家的注意,并得到了快速發展[12-29].盡管二維拓撲光子晶體易于采用傳統集成工藝實現,但是其單元結構通常是波長量級,不利于器件小型化.因而利用表面等離激元的亞波長特點,進而研究實現其拓撲傳輸的方法,就成為了當前研究的熱點.

2.2 表面等離激元的拓撲傳輸

值得注意的是,由于石墨烯具有大范圍可調的費米能級,因而其載流子濃度的動態范圍較大;同時石墨烯載流子的有效質量非常小,在高質量的石墨烯中其載流子有長達皮秒量級的弛豫時間,這些特點使得基于單層石墨烯的拓撲表面等離激元具有高頻、短波、長傳播距離及寬帶隙的優勢.該理論方案在超快電子學與紅外拓撲光子學領域邁出了重要一步,為拓撲表面等離激元器件的實現指出了新方向.同年,Abajo等[31]提出在石墨烯上構造六邊形蜂窩狀超晶格,同時施加垂直于石墨烯表面的磁場,可以實現類似基于石墨烯的表面等離激元拓撲邊界態.

圖2 二維拓撲表面等離激元晶體及其邊界態[30] (a)石墨烯中圓孔三角點陣的示意圖,在外加磁場B作用下,有限晶格支持拓撲保護的單向邊緣等離子體;(b)在B ≠ 0的石墨烯中的等離激元色散能帶,當孔徑d ≠ 0,出現完全帶隙;(c)不同磁感應強度下的邊界態及其魯棒性Fig.2.Two-dimensional topological surface plasmon crystals and their boundary states[30]: (a) Schematic diagram of triangular circular hole lattices in graphene,under the action of an applied magnetic field B,finite lattices support a unidirectional edge plasma with topological protection;(b) energy band diagram of plasmon in graphene of B ≠ 0,when d ≠ 0,the complete band gap appears;(c) edge states under different magnetic induction and their robustness.

除量子霍爾拓撲相外,利用石墨烯表面等離子體也可以設計量子谷霍爾相.Shvets等[32]提出利用化學勢的周期性來調制石墨烯表面等離激元的有效折射率,進而可以控制石墨烯能帶結構,與Jin不同的是,這種結構不需要對單層石墨烯表面進行刻蝕,也無需外加磁場.如圖3所示的結構,將一個周期性三角穿孔的金屬柵極放置在單層石墨烯下方,在石墨烯與柵極間加入偏置電壓,通過其晶格與石墨烯晶格產生的夾角變換來實現谷效應.如圖3所示,當夾角為0°時可以在布里淵區的K點觀測到狄拉克簡并點,而夾角不為0°時,原狄拉克點被打開形成完全帶隙,不同夾角對應 ± 1/2陳數.在兩個三角形排列方向相反的陣列構成的邊界可以觀測到表面等離激元的拓撲谷輸運特性.特別地,在垂直于石墨烯平面上是由石墨烯等離子體導致的表面電磁模式,可將電磁波束縛在石墨烯表面的亞波長尺度范圍內.由于實驗挑戰較大,目前對于表面等離激元拓撲傳輸特性的實驗觀測尚未實現.

2.3 人工表面等離激元的拓撲傳輸

將SSPPs與拓撲能帶理論相結合,具有理論和實踐的雙重意義.在理論層面上,SSPPs結構可靈活設計的優良特性為前沿拓撲理論的實驗驗證提供了平臺,尤其是在凝聚態系統中難以實現的物理理論[14].另外,對于經典電磁波或量子系統中微觀尺度難以直接觀測的模場分布或波函數信息,可以在SSPPs平臺中直接觀測[33].在應用層面上,將SSPPs的拓撲保護性質引入THz芯片網絡,可以進一步減小器件尺寸,增強器件對抗缺陷和失調的魯棒性,這是下一代THz器件的重要發展方向.目前,SSPPs的拓撲傳輸特性主要基于以下三種類量子拓撲效應實現.

2.3.1 SSPPs的類量子自旋霍爾效應—整數陳數

在足球比賽中,我們常常能看到香蕉球—由于球的旋轉使周圍空氣產生流速差,進而產生壓強差導致橫向力使足球的運動軌跡彎曲,其彎曲方向取決于球的旋轉方向.這種宏觀的經典Magnus效應對于我們理解自旋霍爾效應(SH(E)很有幫助[34].自旋霍爾效應本質是一種由自旋-軌道相互作用導致的自旋極化電子流在微觀上的偏轉現象.20世紀70年代科研人員在石墨中便發現了自旋軌道效應[35].而在石墨烯中,由于第一布里淵區邊界存在狄拉克點,Kane等人發現通過自旋軌道相互作用可以在狄拉克點周圍打開帶隙.這種新的帶隙相被稱為量子自旋霍爾(QSH)相.與傳統的平凡絕緣體相不同的是,該QSH相的帶隙中存在兩個自旋極化的拓撲邊界態.

圖3 (a)基于石墨烯的能谷等離子激元晶體示意圖: 由偏置電壓V0與相對于石墨烯晶格存在夾角的柵結構;(b)狄拉克點處的能帶;(c) yz(x=0)平面上的電場分布;(d) 兩種類型的邊界;(e)不同夾角對應的谷陳數值;(f)圖 (d) 所示一維結構能帶[32]Fig.3.(a) Schematic diagram of graphene-based energy valley plasmon crystals: a gate structure with a biased voltage V0 and an angle with respect to the graphene lattice;(b) energy band at the Dirac point;(c) electric field distribution on the yz (x=0) plane;(d) two types of boundaries;(e) valley chern numbers corresponding to different angles;and (f) the one-dimensional structural energy band shown in Fig.(d).

該QSH拓撲相是時間反演對稱的.傳統的打破時間反演對稱性得到的非平凡陳數不能用來表征這種拓撲相.但是對于每個自旋模式,QSH模型都可以化簡成兩個相互獨立的Haldane模型[36],即便不存在磁場,也能表現出整數QHE.對于每個自旋,可以用整數 n↑,n↓定義獨立的自旋陳數,其中維持時間反演對稱性需要滿足總的陳數n↑+n↓=0.然而,自旋陳數的差值Δn=n↑-n↓是非零整數,并且可定義出非零 Z2數 Z2=(Δn mod 2)[35].

為了構建光子QSH拓撲相,必須首先將光子“自旋”構建為與電子自旋類似的形式.第一個實現光子QSH相的設想是利用基于電磁波的兩個偏振態的同相和反相疊加得到的光子贗自旋態.調節作為自旋-軌道相互作用的雙各向異性(表征光子介質中磁場和電場之間的反常耦合的參數),能帶結構中可以產生拓撲相變[13,15,20,22].相關性質已經在超材料結構組成的光子晶體中得到證實[15,16].

2015年,Wu等[27]提出了另一種構造光子贗自旋態從而實現光子QSH相的方案,該方案基于晶體對稱性而不是雙各向異性.如圖4(a)所示,他們在三角形晶格上重復陣列六邊形晶胞.這種排布使得布里淵區域產生折疊,并且將K和K′點處的蜂窩晶格的原始狄拉克錐合并成Γ點處的雙重簡并狄拉克錐.求解麥克斯韋方程組可以明確地揭示六邊形簇支持的TM模式顯示出了類原子軌道p波和d波的圖案并擴展形成光子能帶(表現出“人造原子”的特性).通過結合線性麥克斯韋方程和C6晶體所遵循的時間反演對稱性,Wu等構造的贗時間反演對稱性實現了與凝聚態系統中時間反演對稱性相同的作用,在光子體系中成功模擬了Kramers簡并.兩個贗自旋態分別表示為:

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圖4 人工表面等離激元QSH[27,37] (a)基于介質圓柱的光子QSH陣列;(b)圖(a)中結構的能帶;(c)單元胞收縮的SSPPs結構;(d)單元胞擴張的SSPPs結構;(e)SSPPs結構的能帶仿真結果;(f)通過組合(c)和(d)中的結構構建邊界;(g)邊界態的模場分布Fig.4.Spoof plasmonic QSH[27,37]: (a) Photonic QSH with dielectric cylinders,the zoom in figure shows the hexagonal cluster;(b) edge states of photonic QSH;(c) spoof plasmonic structure whose unit cells of hexagonal clusters get shrunk,leading to zero spin Chern number;(d) spoof plasmonic structure whose unit cells of hexagonal clusters get expanded,which generates non vanishing spin Chern number;(e) simulated edge states at a domain wall between structures of (c) and (d);(f) constructed domain wall by combining structures in (c) and (d);(g) field patterns of edge states.

其中p與d是人造原子的軌道.

收縮(擴張)六邊形簇的晶格的自旋陳數分別為0(1).因此,可以通過改變六邊形簇的大小來實現拓撲相變.結合收縮/擴張結構,可以在圖4(b)所示的投影帶圖中觀察到兩個無間隙的邊界態,分別對應沿相反方向傳播的兩個自旋極化拓撲邊界模式.作者指出,由于在組合結構的界面處C6對稱性的破壞,在Γ點處存在微小的帶隙(在圖4(b)中不明顯).

之前光子QSH相的實現均基于波長尺度的光子晶體方案,通常需要將陣列結構放置在平行平板波導中.而人工等離激元能在亞波長尺度[37]實現該方案,如圖4(c),圖4(d),圖4(f)所示,這種局部共振超材料結構由平滑金屬板上的四分之一波長金屬棒陣列構成,類似于原子在原子尺度排列形成晶體.值得注意的是,圖4(e)顯示,邊界態表現出類似于圖4(b)的(不明顯的)小帶隙.相應的拓撲邊界態如圖4(g)所示.這種方法可以將光子拓撲相延伸到深亞波長尺度.

2.3.2 SSPPs的類量子谷霍爾效應—半整數陳數

二維過渡金屬二硫化物(TMDS)具有中心反演對稱破缺的六方晶格結構(如圖5(a)所示).在第一布里淵區(圖5(b))的K和K′ 處存在兩個稱為谷的導帶局部極小值[38].與電子的自旋自由度相似,這兩個谷通過時間反演對稱相互連接,因此稱為谷贗自旋.在物理上,這兩個谷贗自旋來自于電子波包的兩種不同的回旋運動,因此可以利用磁場測量谷贗自旋.與自旋類似,谷贗自旋也可以呈現谷霍爾效應(valley Hall effect,VHE類似于SH(E)和量子谷霍爾效應 (quantum valley hall effect,QVH類似于 QSH).兩種效應都由能谷相應的Berry曲率或半整數Chern數確定.2014年物理學家在MoS2中觀察到VHE,其中谷極化的布洛赫電子在輸運過程中發生分離[39].2015年,人們在門控雙層石墨烯上實現了QVH現象,其晶疇邊界表現出谷極化拓撲邊緣態[40].

盡管在二維材料中進行了廣泛的研究,但到目前為止,谷自由度在光子領域的應用探索還不夠全面.文獻[17,41,42]已經利用不同的光子平臺實現了QVH的設計.特別地,谷邊界態可以近乎完美地耦合到環境空間[17],這為寬帶定向天線或拓撲激光器提供了潛在的應用前景.

圖5 人工表面等離激元VHE和QVH[38,41,42] (a)二維過渡金屬二硫化物(TMDS)的示意圖;(b)第一布里淵區TMDS的能帶結構;(c)用于 VHE 的 SSPPs結構;(d) SSPPs-VHE 的模場掃描結果;(e)用于 QVH 的 SSPPs結構;(f) SSPPs-QVH 的模場測試結果Fig.5.Spoof plasmonic VHE and QVH[38,41,42]: (a) Schematic of TMDS;(b) band structure of TMDS in the first Brillouin zone;(c) spoof-SPP platform for VHE;(d) experimental demonstration of spoof-SPP VHE;(e) spoof-SPP platform for QVH;(f) experimental demonstration of spoof-SPP QVH.

人工表面等離激元可以作為一個靈活的平臺來對諸如VHE,QVH和谷贗自旋等谷物理現象進行觀測.如圖5(c)所示[41],在金屬平臺上構造金屬柱組成的六方蜂窩狀陣列,每個晶格包含兩個金屬柱.當所有金屬柱高度相同時,可以在布里淵區K(K′)點出現狄拉克點.在這里可以通過改變每個晶格中兩個柱之間的高度差來打破反演對稱性,如圖5(c)所示,從而破壞布里淵區K(K')點處的狄拉克簡并,形成完全帶隙.為了實驗觀測 VHE,將一束窄光束經波導-同軸適配器從底部耦合入人工表面等離激元晶體,如圖5(d)所示;基于這個平臺,成功實現了VHE并直接觀察到了谷贗自旋[41].由于SSPPs光子晶體中傳播光束的贗自旋和傳播方向鎖定,因此,進入光子晶體的入射光會分為左右兩束.在實驗中,通過微波掃場系統在晶體最高處上方約1 mm的平面上掃描可以得到相應頻率下的VHE場分布圖.從圖5(d)中可以清楚地看到11.3 GHz頻率下的兩分離導波模式.

SSPPs的谷贗自旋可以通過分別對兩路導波中的電磁場相位分布直接測量得到.如圖5(d)所示,左移 (K valley)和右移 (K′ valley)波束的相位分別對應逆時針和順時針.在這兩個谷的周圍,等頻線呈現為三角形,本質上,正是等頻線這種三角形翹曲效應決定了與谷相關的波束分流.與之前兩個光子自旋(極化)被分離到兩個相反的方向形成光子SHE類似[42],等離激元谷贗自旋的空間分離形成了等離激元VHE.

實現QVH需要構造一個邊界,這個邊界兩邊分別為谷陳數相反的谷人工表面等離激元晶體.界面上谷投影陳數的差是量子化的ΔCK=|CKCK′|=1,這意味著沿著界面傳播的每個谷都應該有一個手性邊緣態.

實驗結果表明拓撲谷邊界態可以沿zigzag路徑傳播而沒有能量耗散與谷間散射[41].值得注意的是,雙層石墨烯的每個谷都有兩個邊界態,而這里只有一個.另一種實現SSPPs QVH的方法是利用由反演對稱破缺贗LSP諧振器組成的三角形晶格,如圖5(e)所示.相應的QVH邊界態如圖5(f)所示[42].

2.3.3 SSPPs的反常 Floquet拓撲相—零陳數

除了模擬凝聚態系統中現有的拓撲相外,人工表面等離激元系統還可以驗證在凝聚態系統中尚未證實的拓撲理論.以具有零陳數的反常Floquet拓撲相為例[43-46],通常根據體邊對應定理,每個帶隙中拓撲邊界態的數量等于該帶隙下所有帶的陳數之和.然而,這一定理并不適用于反常Floquet拓撲相,因為Floquet能帶圖中的周期性角度變量代表著準能量而不是傳統能量.因此Floquet色散帶沒有受基態能帶的限制,換句話說,不能在該帶隙下對無窮多個能帶的陳數進行求和,也不能應用常見的基于陳數的體邊對應定理[21,25,44-46].

人工表面等離激元結構的照片和示意圖分別如圖6(a)和圖6(b)所示.在平面金屬板上周期性地排列亞波長金屬棒(排列方式類似于Hafezi的設計[19],但在拓撲物理學中有根本區別).被稱為“晶格環”的大環被放置在正方形晶格中,每對相鄰的晶格環由一個較小的“耦合環”耦合.可以通過晶格環中的順時針或逆時針循環來模擬表面等離子體波的贗自旋.如圖6(b)所示,利用放置在晶格的角上的U型輸入/輸出波導可以實現對指定的贗自旋模式的精準激發.通過使用一個連接到矢量網絡分析儀的單探針掃場儀獲得具體的電磁場分布.此工作與Hafezi思路[19]的顯著區別在于: Hafezi的設計中耦合環相對于晶格環具有不同的位置,以構建有效的“磁矢量勢”來模擬QHE,而此工作中晶格的耦合環相對于晶格環具有相同的位置.因此,這種晶格處于零等效磁場環境下,不能等價于量子霍爾系統.盡管如此,這種零場系統的能帶結構依然是拓撲非平庸的[21,25,44-46].

這種晶格可以抽象為一種網絡模型[14,21,25],它在形式上等價于Floquet系統.沿著一個晶格環四分之一圈的相位延遲?(如圖6(a)中所示)等價于Floquet準能量[21,25].當相鄰晶格環之間的參數化耦合強度 θ 增加到超過臨界值 (θ=0.25π)時,晶格從拓撲正常相轉變到具有無間隙拓撲邊界態的拓撲反常相(圖6(c)).通過表征拓撲帶隙內的體態 (圖6(d))和 11.3 GHz的傳播邊界態 (圖6(e))中的場束縛程度,可以證明這種人工表面等離激元結構的拓撲特性.這種邊界態在遇到結構轉角時是無反射的.

人工表面等離激元平臺不僅可以實現反常Floquet拓撲相,還具有高度可調特性.這使我們能夠在拓撲邊緣態中制造各種類型缺陷來測試其魯棒性,包括一些由于違反拓撲保護而在凝聚態系統中不存在的缺陷類型[14].在邊界上引入一個不同尺寸的晶格環,例如將桿高度從5.0 mm減小到4.3 mm,進一步證明了拓撲邊界態的魯棒性(圖6(f)).由于不同晶格環的色散特性差別不大,因此該缺陷可以等效為低勢壘.低勢壘允許部分模式能量直接隧穿,而剩余能量仍然繞過勢壘,如圖6(f)所示.此外,人工表面等離激元平臺的靈活性還可以方便地測試各種缺陷,包括電子體系中不存在的缺陷,例如具有完美吸收和自旋翻轉散射的缺陷等.

圖6 基于 SSPPs結構的反常 Floquet拓撲相[14] (a)人工表面等離激元環的照片;(b)實驗中 5×5 點陣;(c) 隨著環間耦合的增加產生的拓撲相變;(d)當激勵源頻率為11.3 GHz時在陣列內觀察到的局域模場;(e)在11.3 GHz頻率觀察到的邊界態;(f)邊界態繞過缺陷晶格傳播Fig.6.Spoof plasmonic demonstration of the anomalous Floquet topological phase[14]: (a) Photo of spoof plasmonic rings;(b) a 5 by 5 lattice inexperiment;(c) topological transition as the inter-ring coupling increases;(d) observed field pattern when the excitation is inside the bulk at frequency11.3 GHz;(e) observed edge state at frequency 11.3 GHz;(f) the edge state circumvents and tunnels through a defect lattice.

3 總結與展望

本文回顧了表面等離激元(含人工表面等離激元)的基本電磁特性,并重點討論了它們的拓撲傳輸特性.在基礎物理層面,能夠基于表面等離激元平臺繼續探索難以直接觀察的各種基本拓撲物理現象,如高維量子霍爾系統[47,48]和量子化電多極絕緣體[49].此外,通過將非線性和非互易性[50]等新元素納入拓撲表面等離激元結構,有望實現孤子的拓撲傳輸[51],嚴格的背向散射免疫邊緣傳輸模式[11],和單向克萊因隧穿[52].

在應用層面上,通過將拓撲表面等離激元擴展到具有拓撲保護的THz信號傳輸可以構建穩定可調的THz電子器件.例如,谷光子晶體[17]中的谷極化邊界態的完美耦合或拓撲保護折射性質可用于設計高性能THz激光器[53],可調諧折射角可用于構造頻分復用器和多路復用器[54,55].穩定可調的THz電磁器件,有望在片上寬帶信號互聯[56]、信號調制[57]等領域均具有廣闊的應用前景.隨著拓撲表面等離激元相關應用潛力的逐漸顯現,我們期待著更多的工程師與科學家密切合作,參與到拓撲表面等離子體的研究中來.