光子驅動量子點制冷機*

李唯 符婧 楊贇贇 何濟洲

(南昌大學物理系,南昌 330031)

提出了由兩個二能級量子點、一個光子庫與兩個導體端構成的光子驅動量子點制冷機模型.基于主方程,導出了制冷機的制冷率和制冷系數的表達式,獲得了制冷機處于緊耦合時所滿足的條件.接著,數值模擬出該制冷機處于緊耦合和一般情況下制冷率與制冷系數之間的性能特征圖,確定了制冷機性能的優化范圍.最后,以最大制冷率、最大制冷率下的制冷系數、最大制冷系數和最大制冷系數下的制冷率作為優化目標,分析了光子庫溫度、躍遷系數和溫比對制冷機性能的影響.

1 引 言

相對于傳統的熱機而言,熱電器件具有結構輕便、體積小、無運動部件等優點,在工業和汽車尾氣廢熱回收、太陽能電池開發、計算機芯片散熱與制冷等方面有廣泛的應用前景[1].但是,相對低的熱電轉換效率或輸出功率又限制了熱電器件的商業化應用.因此,人們一直在致力于尋找高熱電優值的熱電材料(高電傳導、低熱傳導),如量子阱、超晶格、量子點、硅納米線、碳納米管、分子結等納米熱電材料[2-4].近年來,三端結構納米熱電效應和熱電裝置性能的研究,在理論[5-24]與實驗[23-28]方面引起了研究人員的極大興趣,成為納米能量轉換器件研究的熱點.

例如Cleuren等[29]提出了一種利用光子直接進行制冷的光子驅動納米制冷機.這種裝置沒有運動部件,也沒有凈電流,制冷是“冷”電子取代“熱”電子的結果.然而,Amikam 等[30]認為 Cleuren 等人在處理量子點間的電子傳輸時,忽略了量子點之間的電子躍遷.Wang等[31]研究了一種光子驅動四能級制冷機裝置,該裝置由兩個玻色庫與一個四能級系統連接而成,由光子驅動進行制冷.基于前人的工作,我們考慮了單量子點內不同能級間的電子躍遷,提出了光子驅動量子點制冷機新模型,分析了該光子驅動納米制冷機的熱力學性能,并討論了主要參數對制冷機的優化性能影響.

2 模型與理論分析

光子驅動量子點制冷機模型如圖1所示.制冷機由兩個導體端,一個光子庫和兩個量子點系統組成.兩個導體庫的溫度分別是TL,TR與光子庫的溫度TS之間的關系滿足TS＞TL＞TR,且兩個導體庫的化學勢相同μl=μr=μ.左邊量子點只與左導體庫耦合,右邊量子點只與右導體庫耦合.每個量子點都具有較低和較高的兩個能級,且兩個量子點的高能級的能級差和低能級的能級差相同.在這個模型中,量子點之間的電子躍遷是由光子驅動的.在高溫光子的影響下,“冷”電子通過兩個量子點的較低能級從左導體庫向右導體庫傳輸,同時“熱”電子通過兩個量子點的較高能級向相反的方向傳輸.對右導體庫來說,“冷”電子替換了“熱”電子,對其起到制冷的效果.這里的“冷”、“熱”電子分別代表著能級低于費米能級(或化學勢)εF=μ,和能級高于費米能級εF的電子.同時,考慮單個量子點不同能級間電子躍遷是由聲子驅動的.左量子點上電子從高能級向低能級躍遷放出熱量給左庫,同時右量子點上電子從低能級向高能級躍遷從右庫吸收熱量,同樣對右庫有制冷的效果.圖中黑色雙向箭頭表示電子的隧穿,棕色波浪線表示由光子驅動引起的電子躍遷,紅色波浪線表示由聲子驅動引起的電子躍遷.

圖1 光子驅動量子點制冷機模型圖Fig.1.A model of a quantum dot refrigerator driven by photon.

在弱耦合的情況下(Γ ?kBT )電子的傳輸過程可以描述為序貫隧穿,系統量子態的占有幾率隨時間的變化可以由主方程表示,即P=MPi(i=0,l1,l2,r1,r2),其中

ki←j(i,j=0,l1,l2,r1,r2)為從j態到i態的傳輸幾率.根據費米黃金定則,傳輸幾率分別為:

其中,比例常數 Γi(i=l1,l2,r1,r2) 是導體庫和量子點間的耦合系數,ki←0表示電子由左(右)導體庫傳輸到左(右)量子點的幾率,而 k0←j表示電子由左(右)量子點傳輸到左(右)導體庫的幾率.

其中,ΓS是兩個量子點之間的耦合系數,而 Γnr是單個量子點內電子在兩個能級間的躍遷系數;(6)和(7)式表示的是電子在兩個量子點之間的傳輸幾率,而(8)和(9)式表示的是電子在單個量子點內兩個能級之間的傳輸幾率;εg=εl2- εr2=εr1- εl1為能級差.

從左量子點低能級向右量子點低能級躍遷的電子流為

從右量子點高能級向左量子點高能級躍遷的電子流為

從左量子點內高能級向低能級躍遷的電子流為

從右量子點內低能級向高能級躍遷的電子流為

J1=Jl1+Jl2表示從左導體庫流出的凈電子流,J2=Jr1+Jr2表示流入右導體庫的凈電子流,系統遵守電子流守恒,則 J1=J2.電子流JS1=Jl1+Jnr1分為兩部分,一部分是來自左導體庫的電子流,另一部分是左量子點高能級向低能級躍遷的電子流.同理電子流之間的關系為JS1=Jl1+Jnr1=

利用上述穩態時電子流的表達式,可以獲得電子在傳輸過程中引起的熱量交換.從左、右導體庫流出的熱流和從光子庫吸收的熱流的具體表達式為:

熱力學力為 FR=1/TL-1/TR,FS=1/TL-1/TS,且其范圍滿足 FR≤0,FS＞0.利用 (21)和 (22)式可以得到制冷系數的表達式為

可以理解為: 式中第一部分是熱機在溫度為 TL和TS的熱源之間工作時,熱機的卡諾效率被熵產生率相關因子降低,這個因子是對所涉及過程的不可逆性的衡量;第二部分是工作在溫度為 TL和TR的熱源之間的制冷機在可逆工作狀態下的制冷系數.當熵產生率為零=0,制冷機達到可逆工作狀態,其制冷系數為可逆值

當兩個熱力學力 FR,FS同時為零時,熵產生率為零=0,制冷機達到可逆狀態,但這個條件意味著系統達到完全平衡 TL=TR=TS,失去了物理意義.另外,通過對參數進行適當的調整,使得制冷機內各個熱流之間互成比例關系,也就是緊耦合條件[32-34].經分析可得以下兩種情況,使制冷機處于緊耦合條件下:

1) 當化學勢滿足 μ=(εr1+εr2)/2 時,根據各個電子流之間的關系,(18)—(20)式可以化簡為

2)調節參數使得 J1=J2=0,此時其他電子流之間還存在的關系,因此同樣成比例關系.

在這兩個條件下制冷系數都為

只與能級(εg,εr1,εr2)有關.熵產生率可以表達為當 η FR+FS=0 時,熵產生率達到=0.因此,只要模型參數滿足關系:制冷機工作在可逆狀態.而緊耦合條件下模型參數的取值范圍為

3 性能特征分析

利用 (26)和 (28)式,通過數值模擬,可以分析制冷機的性能特征.圖2和圖3分別是緊耦合條件下在不同光子庫溫度TS和不同躍遷系數Γnr下,改變能級 εr2得到的制冷率和制冷系數之間的關系特征曲線圖.做圖中,緊耦合條件利用的是μ=(εr1+εr2)/2 的 情況.為方便起見,我們取μ/kB=0K 0 K,則 εr1=-εr2.其他參數的選取為 εg/kB=2K,Γl1=Γl2=Γr1=Γr2=ΓS=Γ,TL=8K,TR=4K.能級 εr2的取值范圍可以利用條件=0 來確定.從圖形來看,特征曲線是類似拋物線的開型曲線,制冷機的性能系數可以達到可逆值 ηr.溫度 TS增大時,最大制冷率和最大制冷系數也增大;增大躍遷 系數 Γnr,最大制 冷率也增大.一般 地,利 用(19)和(21)式,可以做出不同光子庫溫度 TS和不同躍遷系數 Γnr下制冷率與制冷系數的特征曲線,即圖4和5.同樣改變能級 εr2的值,且利用制冷率為零的條件確定它的范圍,化學勢取 μ/kB=0K,能級 εr1/kB=-1K,其他參數不變.從圖形可以看到,特征曲線是封閉的閉合曲線,起點和終點都在原點上,制冷機不能達到可逆工作狀態.躍遷系數Γnr越小,最大制冷率下的制冷系數 ηQR與最大制冷系數 ηmax的值越接近,即可以在得到最大制冷率的同時得到較大的制冷系數.最大制冷率下的制冷系數 ηQR,和最大制冷系數 ηmax下的制冷率都可以通過數值模擬的方法計算.作為制冷機應該盡可能獲得較大的制冷率和制冷系數,因此,制冷機的優化范圍為:

圖2 緊耦合條件下制冷率與制冷系數在不同溫度 TS 下的關系Fig.2.The relation curves of the cooling rate and the coefficient of performance at different temperature TS under the condition of tight coupling.

圖3 緊耦合條件下制冷率與制冷系數在不同躍遷系數Γnr下的關系Fig.3.The relation curves of the cooling rate and the coefficient of performance at different transition coefficientΓnr under the condition of tight coupling.

圖4 一般情況下制冷率與制冷系數在不同溫度 TS 下的關系Fig.4.The relation curves of the cooling rate and the coefficient of performance at different temperature TS in the general case.

圖5 一般情況下制冷率與制冷系數在不同躍遷系數Γnr下的關系Fig.5.The relation curves of the cooling rate and the coefficient of performanceat different transition coefficientΓnr in the general case.

4 優化性能分析

利用(19)—(21)式和極值條件

圖6 在不同溫度 TS 下,兩個優化性能參數 和 ηQR隨溫比的變化Fig.6.The curves of two optimal performance parameters and ηQR changing with the temperature ratio at different temperature TS.

圖7 在不同躍遷系數 Γnr 下,兩個優化性能參數和ηQR隨著溫比的變化Fig.7.The curves of two optimal performance parameters and ηQR changing with the temperature ratio at different transition coefficient Γnr.

圖8 在不同溫度 TS 下,兩個優化性能參數 和 ηQR隨溫比的變化Fig.8.The curves of two optimalperformance parametersand ηQR changing with the temperature ratio at different temperature TS.

圖9 在不同躍遷系數 Γnr 下,兩個優化性能參數和ηQR隨著溫比的變化Fig.9.The curves of two optimal performance parameters and ηQR changing with the temperature ratio at different transition coefficient Γnr.

圖10 在不同溫度TS下,兩個優化性能參數ηmax和隨溫比的變化Fig.10.The curves of two optimal performance parameters ηmaxand changing with the temperature ratio at different temperature TS.

5 結 論

本文主要研究結果如下:

1)通過分析,達到緊耦合的情況有兩種,一是使化學勢μ與能級εr2,εr1滿足μ=(εr1+εr2)/2,但其凈電子流不為零;二是使凈電子流Jl1+Jl2為零;

2)在緊耦合條件下,制冷率和制冷系數之間的性能特征圖為開型,制冷機可以達到可逆狀態;最大制冷率和對應的制冷系數都隨光子庫溫度的增大而增大;最大制冷率隨躍遷系數的增大而增大,而對應的制冷系數隨躍遷系數的增大而減小;因此合理選擇光子庫溫度、躍遷系數和溫比可以提高制冷機的性能;

3)在一般情況下,制冷率和制冷系數之間的性能特征圖為閉型,制冷機不能達到可逆狀態;優化性能參數有類似于緊耦合條件下的結論.