矩陣形式的不變本征算符方法以及幾種介觀電路的本征頻率*

吳澤 范洪義

1) (中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)近代物理系,合肥 230026)

2) (中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)材料科學(xué)與工程系,合肥 230026)

本文把不變本征算符方法(invariant eigen-operator,IEO方法)推廣到了基于拉格朗日量的矩陣形式,將以往計(jì)算的思路和過程用簡約的矩陣形式表示出來,這對大規(guī)模復(fù)雜多回路的介觀電路的計(jì)算有著重要的意義.此外用該方法計(jì)算了三個L-C介觀電路的本征頻率,包括存在互感和不存在互感的兩種情形.通過計(jì)算結(jié)果得出了這些電路的相關(guān)性質(zhì),說明了本征頻率只與介觀電路本身的元件性質(zhì)有關(guān).

1 引 言

介觀電路的量子化是量子電路領(lǐng)域的重要課題之一.眾所周知,經(jīng)典 L-C 耦合電路的頻率可以通過Kirchhoff定律寫出久期方程求解得到;盡管量子電路的頻率往往跟對應(yīng)的經(jīng)典電路頻率無異,但是將經(jīng)典電路的方法直接推廣到量子介觀電路是要十分謹(jǐn)慎的.其中一個重要的原因是量子化后的介觀電路所有的觀測量都是算符,而不再是普通的C-數(shù),算符的非對易性質(zhì)會導(dǎo)致一些與經(jīng)典電路不一樣的結(jié)論.所以處理介觀量子電路應(yīng)該使用量子力學(xué)的方法,不變本征算符(invariant eigenoperator,IEO)方法就是此類方法之一[1-5].

原始的IEO方法要先寫出介觀電路的拉式量、確定廣義坐標(biāo),再計(jì)算共軛動量和哈密頓量;接著假設(shè)一個參數(shù)待定的不變本征算符,代入二階對易關(guān)系求解出參數(shù)并確定不變本征算符的具體形式,最后再利用IEO方程求解出介觀電路的本征頻率[6-8].我們發(fā)現(xiàn)每次求解頻率都要經(jīng)歷這一系列程式化的流程,而且隨著電路規(guī)模的增大,該過程將會變得愈加復(fù)雜[9].于是本文利用指標(biāo)表示的方法將這一系列過程收束為簡單而優(yōu)雅的矩陣表示,即提出了基于拉格朗日量的IEO方法的矩陣形式,該形式能夠在很大程度上簡化IEO方法的計(jì)算過程.基于該形式計(jì)算了三種 L-C 電路的本征頻率.

2 基于拉格朗日量的IEO方法的矩陣表示

假設(shè)多回路介觀電路的回路電荷為 Qi,電流為 Ii,下標(biāo)代表不同的回路.則其拉格朗日量可以寫為如下的矩陣形式[10,11]

把電荷 Qi當(dāng)成廣義坐標(biāo),則對應(yīng)的共軛動量為

它的逆表示

有了哈密頓量就可以把介觀電路量子化,此時的Pi,Qj量子化后應(yīng)滿足正則對易關(guān)系(約定 ?=1 )

下面利用IEO方法計(jì)算頻率,設(shè)不變本征算符為

t是待定的系數(shù),則對易子:

二階對易子:

即

考慮IEO方程

則有

即

把指標(biāo)形式換成向量-矩陣的形式:

這意味著 ω2是矩陣 M-1N 的本征值;這樣一來只要知道了多回路介觀電路的拉格朗日量,就能很方便地利用這個結(jié)論求解出介觀電路的本征頻率.下面舉幾個例子來驗(yàn)證我們的結(jié)論.

3 矩陣IEO方法計(jì)算兩回路L-C介觀電路特征頻率

首先考慮圖1所示的 L-C介觀電路[12-15].

圖1 兩回路 L- C 介觀電路Fig.1.Two-loop L- C mesoscopic circuit.

用IEO方法求解沒有耦合的頻率,圖1電路的拉格朗日量為

對應(yīng)IEO方法中的矩陣

套用IEO公式

解得

其中根號下的Δ具體形式為

對稱情形可以得到簡潔的解,令 l1=l2=l,c1=c2=c3=c,則

該結(jié)果不依賴回路電流的方向,因?yàn)榧幢闵鲜龌芈冯娏鞣聪?也僅僅是改變了矩陣兩個反對角元的符號(正號變負(fù)號),而求解本征值的時候,這兩個負(fù)號又恰好抵消.再來看圖2所示的電路[16,17].

圖2 無互感的 L- C 介觀電路Fig.2.L- C mesoscopic circuit without mutual inductance.

圖2電路的拉格朗日量為

對應(yīng)IEO方法中的矩陣

套用IEO公式計(jì)算本征值可得本征頻率

其中

同時我們發(fā)現(xiàn)拉格朗日量中的 I1±I2代表兩個回路電路方向一致或是相反,對應(yīng)M矩陣的非對角項(xiàng)的正負(fù).注意到矩陣的本征值跟矩陣的非對角項(xiàng)的正負(fù)無關(guān),所以這并不會影響本征頻率,這也是“本征”二字的體現(xiàn)——是電路的固有特征.

此外我們還考慮了存在互感的電路[18],如圖3所示,l1和l2的互感為 2m.它的拉格朗日量為

對應(yīng)IEO方法中的矩陣

同樣可得本征頻率

其中

同樣可以寫出對稱形式的頻率,令 l1=l2=l3=l,c1=c2=c 得

圖3 帶互感的 L- C 介觀電路Fig.3.L- C mesoscopic circuit with mutual inductance 2m.

此時要求 1 -c和l -m同號,ω-才有可能存在,否則只存在一個特征頻率.

4 結(jié) 論

不變本征算符方法不失為一種計(jì)算介觀量子電路特征頻率的好辦法,此外該方法在光-原子體系[19-21]以及固體物理[22]中也有很多應(yīng)用,而本文對該方法的改進(jìn)使得其中繁瑣的程式化的步驟變成了簡單的求解矩陣本征值的過程.考察的三個量子介觀電路能夠驗(yàn)證這種方法的方便快捷之處,也從這種形式中體現(xiàn)了“本征頻率”只與該介觀電路本身的屬性有關(guān).在該方法的基礎(chǔ)上,更多的關(guān)于量子介觀電路的研究得以順利展開.