例談反證法在中小學數學中的應用

劉 磊

(南京師范大學附屬中學宿遷分校 江蘇 宿遷 223800)

在數學教學過程中，最重要的一種證明方法就是反證法，反證法作為當前數學解決問題的解決方法，能夠在一個命題無法進行證明，或者是感到非常困難時，就可以使用反證法，這種方法在中小學數學教學中應用非常廣泛，那么就需要教師在教學時，讓學生能夠熟練掌握這種方法，這樣才能夠幫助學生更好的進行學習，提升學生的數學成績。

1.反證法概念

反證法并不是獨立出現的，而是間接證明法中的一種，是以反方向為證明的一種方法，也就是在肯定下提出的否定，通過對其矛盾推理，進而驗證命題。再用反證法進行論證時，如果所證明的命題只有一種，那么就直接將這種命題駁回就可以，如果結論有很多反面，就需要將所有的反面全部駁倒，這樣才能夠證明原結論正確，這種證明方法還叫窮舉法[1]。

2.反證法原理和步驟

反證法作為一種論證方法，主要是根據所需要證明問題的反面證明，來論證原命題的正確，也就是說，在正常的思維下，從問題的反面入手，將所知道的內容進行判斷，然后根據邏輯學來進行嚴格推理，進而指導否定結論是錯誤，這樣就可以說明原命題是正確。在中小學數學中常常用到反證法。如果遇到的數學題從正面來解答較為困難，就可以從反面進行解決。

在對其中小學數學題目解答較為困難時，我們通常會使用反證法，步驟就是：第一，先根據數學題目提出假設，然后做出和題目對立的假設；第二，在提出假設后，進行驗證，從對立的命題出發，根據定義、題設等等方面進行謹慎的推理，進而來說明假設并不成立；第三，得到結論，因為推出假設不成立，就可以說明原命題是正確的。在這過程中需要注意的是，對于所提出的假設必須要是正確的，如果我們不知道如何針對原命題提出假設，那么就會使用互為否定的方法。

3.反證法在中小學數學中的優勢

當我們在解決某道數學題時，如果發現論題的條件不夠，那么就可以使用反證法，反證法可以從命題的反面進行入手，這樣就在一定程度上給予命題多個已知條件，那么這個就是反證法的優勢，能夠很好的解決問題，為問題提出相應的條件。還有就是反證法在一定程度上增加了已知條件，和原來的已知條件進行連接，能夠將所有信息進行匯總，有利于在這過程中找到矛盾所在[2]。

4.反證法在中小數學運用

因為中小學的數學題較多，種類豐富，所以大部分都能夠運用正常的解題方法進行解決，但是依然有很多數學題使用反證法，我們就需要考慮什么時候使用反證法才是正確的。

4.1 基本定理。在中小學數學中，利用反證法能夠很好的證明一些基本定理，因為這類命題本身能夠知道的公式、定理較少，所以在得出結論前，所能得到的公式也就相對較少，或者是因為題設本身能夠得出的結論較少，為了能夠得到基本定理，就會運用反證法，例如，“過平面外一點只有平面的一條垂線”這類定理，就是中小學所運用的基本定理[3]。

4.2 存在性問題的證明。在中小學數學中，數學問題中證明存在的有很多，在這過程中因為受到公式的約束，大多數情況下也會使用反證法進行證明。例如，“在論證三角形內角中，必須要有兩個銳角”時，就可以先提出假設，說出如果三角形中有兩個角為直角或者是大于直角，那么這個三角形就無法與勾股定理吻合，進而說明三角形中至少有兩個角是銳角。

4.3 無限性命題的證明。中小學生數學題中，還有很多論證存在無限性的問題，這個時候如果使用正常解答的話，將會非常復雜，那么我們就可以從反面進行論證。例如，證明“根號5是無理數”時，就可以通過假設，先列舉公式，然后在對其進行驗證，進而得出假設不成立，說明根號5是無理數。

4.4 否定和唯一性命題。如果在結論中出現否定形式的命題就是否定性命題，這類命題有一個特點就是不能夠直接進行證明，運用反證法能夠很好的解決這種問題。在中小學數學中，如果發現命題“唯一”，就可以使用反證法，這會簡化證明過程。

5.運用反證法注意的問題

因為反證法首先就要提出否定，這就要求最終的結果必須要正確，還有就是因為反證法是通過與命題相反的假設來論證原命題正確，所以在使用反證法時可能會出現很多矛盾，這個時候就需要保證要有明確的邏輯觀點，需要我們反證法所提出的論證要正確，這樣在進行推理時，才能夠保證結論的正確。

結語

總的來說，反證法是數學中一種重要的證明方法，同時也是一種解決邏輯，能夠幫助學生提升自身的數學水平，但是在這過程中，我們需要正確認識到，反證法并不能解決所有事情，還是需要我們根據具體情況來判斷，反證法根據不同學段還有著不一樣的要求，比如高中就需要用數學案例來認識反證法，能夠運用這些方法來證明相關問題，而初中就是要明確反例的作用，能夠有效的利用反例來進行證明，小學階段并沒有明確要求，但是作為一種思維，能夠出現在小學奧數中，這樣就需要我們在不同學段采取相應的方法。