含磁電彈夾層的壓電/壓磁層合納米梁彎曲的研究

朱炳任， 劉世倫， 陳紅遷

(1. 陸軍裝甲兵學院車輛工程系， 北京 100072； 2. 陸軍裝甲兵學院裝備保障與再制造系， 北京 100072)

壓電和壓磁材料及其復合結構因具有優越的力磁和力電耦合性能被廣泛應用于便攜電子設備的制造中[1]。與其他復合方式相比，壓電和壓磁材料的層狀復合結構在室溫下的磁電性能更為突出[2]。盡管諸多研究者對壓電和壓磁材料的層狀結構的力學行為進行了大量研究[3-8]，但他們主要關注壓電和壓磁材料的單層結構或通過理想方式結合的層合結構的力學行為。在工業生產中，熱壓法是加工PE/PM層狀復合材料常用的工藝[9]，這種加工方法制得的層合材料會在壓電層和壓磁層之間形成同時含有2種材料顆粒的夾層，稱之為磁電彈(Magneto-Electro-Elastic，MEE)夾層，其同時具有力、電、磁耦合性能[10-11]。在納米尺度上，該夾層對層合材料的力學性質的影響十分明顯[12]。因此，筆者考慮了熱壓法對層合梁界面層的實際影響，基于正弦剪切型變形梁與非局部理論理論，建立了含MEE夾層的層狀復合梁的力學模型，通過哈密頓原理推導出層合梁的平衡方程與邊界條件，并分析了MEE夾層對層合梁中點彎曲撓度的影響規律，以期為工程中壓電材料和壓磁材料的層狀復合結構的應用提供理論參考。

1 理論模型

1.1 幾何模型

圖1為橫向載荷qm(x)作用下含磁電彈夾層的壓電/壓磁層狀復合納米梁理論模型。層狀復合納米梁受簡支約束，圖中：L、b分別為納米梁的長度和寬度；h(j)(j=1,2,3)為第j層高度，且有h(1)+h(2)+h(3)=h，h(1)=h(2)，h(3)=h0。建立直角坐標系，x軸正方向沿MEE夾層中心線水平向右，z軸沿層合梁的左端垂直向下，y軸方向由右手螺旋法則確定。

圖1 橫向載荷qm(x)作用下含磁電彈夾層的壓電/壓磁層狀復合納米梁理論模型

1.2 非局部本構模型

由于層合納米梁的力學行為存在尺寸效應，為提高計算精度，采用非局部理論來描述其尺寸效應[12]。假設層合納米梁中應變、磁場強度、電場強度沿納米梁高度方向連續變化，應力、電位移、磁感應強度沿高度方向的變化不連續[13]，層合納米梁沿z軸極化。因此，壓電和壓磁材料的非局部本構關系為[14]

(1)

為廣義位移，其中εxx和γzx為應變分量，Ex和Ez為電場強度分量，Hx和Hz為磁場強度分量；Λ(j)為本構矩陣，其具體形式為

1.3 層合納米梁模型

采用正弦剪切變形理論對層合納米梁的彎曲進行分析。電勢與磁勢的分布滿足麥克斯韋方程。基于此，WANG[15]首先假設電勢是一個余弦函數加上一個線性函數；此后，這一假設在壓電和壓磁梁、板的彎曲、屈曲和振動分析中得到了廣泛應用[16-17]。在此，也采用上述假設。由于電場與磁場的相關物理量關系式形式相同，因此對磁勢也采用相同形式的表達式。層合納米梁的電勢、磁勢和橫向位移、縱向位移可依次表示為

(2)

式中：φ0(t,x)、?0(t,x)、w0(t,x)、u0(t,x)、ψ0(t,x)分別為層合梁中面的電勢、磁勢、橫向位移、縱向位移以及繞y軸的轉角；Δφ、Δ?分別為層合納米梁上下表面電勢和磁勢差，由于層合梁無外加電勢，也并不處于磁場之中，因此Δφ=0，Δ?=0。下標中的逗號表示對相應坐標的偏導數。

層合納米梁廣義的幾何關系為

(3)

將式(2)代入式(3)可得

(4)

1.4 載荷模型

在層合納米梁的上表面沿z軸正方向加載單位面積為qm(x)的橫向外力，將其按傅里葉級數展開為

(5)

式中：

(6)

層合納米梁所受載荷為均布載荷q0，此時

Qn=4q0/(nπ)，n=1,3,5,…。

(7)

2 求解運動方程

(8)

因此，廣義應力τ(j)所做的虛功為

(9)

式(8)中的廣義虛應變δε由式(4)通過變分獲得。將式(8)代入式(9)并進行分部積分處理，可得

(10)

式中：

橫向力所做虛功

(11)

根據虛功原理可知：廣義應力與橫向外力所做虛功相同[12]。即

(12)

將式(10)、(11)代入式(12)并化簡，即得到層合納米梁平衡方程

(13)

以及相關邊界條件

(14)

為方便求解平衡方程(13)，且滿足層合納米梁的邊界條件(14)，將廣義位移u0，w0，φ0，?0和繞y軸的轉角ψ0用如下三角級數表示：

(15)

式中：Un、Ψn、Wn、Φn、Θn均為無量綱待定系數。

結合式(1)、(13)、(15)，并利用三角函數的正交性對方程組進行化簡，可得

(16)

將式(17)化為矩陣方程式的形式，即

PE=Q。

(17)

式中：P為系數矩陣；E=[UnWnΨnΦnΘn]T，Q=[0 -α(4q0/nπ) 0 0 0]T。

3 數值計算與討論

將層合納米梁平衡方程賦值，求解平衡方程非零解Wn。通過式(2)、(15)求得層合納米梁彎曲撓度w，為便于對比分析，將彎曲撓度通過

(18)

進行無量綱化處理

3.1 退化驗證計算

為驗證本文對層合梁彎曲控制方程的推導是否正確，通過

(19)

將層合梁退化為各向同性單層彈性梁,并按文獻[18]的參數設定進行計算，結果見表1。可以看出：本文計算結果與文獻[18]一致，證明本文理論推導的正確性。

表1 各向同性單層彈性納米梁無量綱梁中點彎曲撓度

3.2 重要參數對彎曲影響規律

令層合納米梁長度L=10 nm，長高比L/h=5、7、10式(15)中x=L/2。壓電材料選用BaTiO3，壓磁材料選用CoFe2O4，相關材料材料參數見表2。

表2 材料參數[19]

根據混合律理論[20]，MEE材料的相關材料參數Pmee與壓電材料Pe和壓磁材料Pm參數滿足

Pmee=PeVe+PmVm。

(20)

圖隨Ve的變化曲線

圖隨r的變化曲線

圖隨(e0a)2的變化曲線

4 結論

為研究含MEE夾層的PE/PM層狀復合納米梁的彎曲規律，基于非局部理論與正弦剪切型變形梁理論建立了相應力學模型,并應用虛功原理和正弦剪切變形理論推導出層合梁的平衡方程與邊界條件，最后通過數值計算，求解出了層合梁中點的彎曲撓度，分析了其隨MEE夾層重要參數的變化規律。主要結論如下：

1) 壓電材料體積分數和層厚比為磁電彈夾層的重要參數，二者對層合梁抗彎剛度的影響效應互逆：前者對抗彎剛度起弱化作用，后者起強化作用。

2) 壓電材料體積分數和層厚比都對層合梁的抗彎剛度的影響效果較為明顯，二者均隨長高比增大而變明顯。

3) 非局部參數對層合梁的抗彎剛度有弱化作用。當長高比變大時，非局部參數對層合梁的弱化作用隨之變小。

附錄A

βNxx,x、βMxx,xx、βPxx,x、βQzx、βRx,x、βRx,x、βSz、βTx,x、βUz均為控制方程中具有相似形式的表達式，具體形式如下：

(h/π)(nπ/L)2sin(zπ/h)Ψn]+

(A-1)

z(nπ/L)4Wn+(h/π)(nπ/L)3sin(zπ/h)Ψn]-

(A-2)

(nπ/L)2Un+z(nπ/L)3Wn-

(h/π)(nπ/L)2sin(zπ/h)Ψn]+

(A-3)

(A-4)

(A-5)

(nπ/L)Un+z(nπ/L)2Wn-

(h/π)(nπ/L)sin(zπ/h)Ψn]-

(A-6)

(A-7)

(nπ/L)Un+z(nπ/L)2Wn-

(h/π)(nπ/L)sin(zπ/h)Ψn]-

(A-8)