多天線物理層網絡編碼的中斷概率分析

王長龍， 袁全盛， 胡永江， 李永科

(陸軍工程大學石家莊校區無人機工程系， 河北 石家莊 050003)

物理層網絡編碼(Physical-layer Network Coding,PNC)[1]將疊加和信號映射為伽羅華域(GF(2))的數據比特流，有效利用了中繼處的干擾，極大地提高了通信系統的吞吐量。多天線物理層網絡編碼將MIMO(Multiple-Input Multiple-Output)和PNC結合，在不增加系統帶寬的前提下大幅提高信道容量，同時增強系統在多徑衰落環境中的魯棒性，這是近期無線通信研究的一個熱點。UNNIKRISHNAN等[2]研究了多天線物理層網絡編碼中基于坐標交織正交設計(Coordinate Interleaved Orthogonal Design,CIOD)的空時分組碼(Space Time Block Code,STBC)方案，分析了所提方案的誤符號率(Symbol Error Probability,SEP)和復雜度。LEE等[3]也對空時編碼的多天線物理層網絡編碼進行了研究，與文獻[2]不同的是，其將雙用戶場景拓展為多用戶場景，通過邊信息學習機制對網絡中的用戶節點進行調度，提高了網絡的自由度(Degree of Freedom,DoF)?？紤]雙用戶多中繼場景下的多天線物理層網絡編碼，CHEN等[4]假設系統信道狀態信息(Channel State Information,CSI)過時，研究了最優單中繼選擇方案以及多中繼協作選擇方案，分析了系統的誤碼性能?？紤]發送端未知CSI的雙向中繼信道(Two Way Relay Channel,TWRC)模型，GUO等[5]研究了基于中繼節點處生成矩陣設計的線性向量多天線物理層網絡編碼，推導了平均錯誤概率的閉合表達式。

在衰落環境下的無線通信系統中，中斷概率是衡量系統性能的一個重要指標，為此，許多學者對不同無線通信系統的中斷性能進行了研究。JORSWIECK等[6]在發送端未知CSI的條件下詳細研究了點對點MIMO系統的中斷性能，對系統中的功率分配方案進行了優化設計。由于TWRC模型是中繼通信的基本模型，因此文獻[7-8]作者研究了不同條件下TWRC模型中的中斷性能。李世堂等[9]研究了衰落信道中網絡編碼系統的中斷系統，但沒有給出中斷概率的閉合表達式。PHAN等[10]假設發送端以及接收端可獲得理想CSI，研究了干擾受限環境下的多天線物理層網絡編碼，給出了系統中斷概率的閉合表達式，但是全局CSI可知的假設需要反饋信道，會造成系統資源的嚴重損耗。值得注意的是，文獻[9-10]得到的中斷概率閉合表達式只能計算某一種衰落信道環境下系統的中斷性能，因此需要進一步求取適用于不同衰落環境下的中斷概率閉合表達式。

考慮到實現復雜度的問題，目前針對中繼通信系統中斷性能的研究采用的中繼轉發策略多為放大轉發(Amplify-and-Forward,AF)模式[10-12]。與AF模式相比，譯碼轉發(Decode-and-Forward,DF)模式雖然復雜度較高，但具有較好的可靠性，對DF模式下的系統中斷性能進行研究具有重要意義。為此，筆者考慮一種DF模式下中繼波束成形的多天線物理層網絡編碼系統，假設發送端未知CSI且接收端可知理想CSI，通過反演定理推導出系統中各個節點的中斷概率閉合表達式，根據相應衰落環境下的信道矩陣特征值分布特性即可求出系統中斷概率。

1 系統模型

考慮網絡拓撲結構為不含直傳鏈路的TWRC模型，如圖1所示。圖中:節點A和B為端節點，節點R為中繼節點，節點A和B之間由于距離過遠或者存在障礙物無法直接通信，需要在節點R的協助下實現信息交互。系統中所有節點均為多天線配置，節點A與B的天線數目均為N，節點R的天線數目為M。假設系統中所有節點均工作在半雙工模式下，即所有節點均不能同時發送和接收信息，系統處于衰落環境下，中繼轉發策略為DF模式。

圖1 系統傳輸模型

信息傳輸過程分為2個階段：1)上行階段，節點A與B分別將各自的信息流發送至節點R，形成疊加和信息；2)下行階段，節點R對疊加和信息進行波束成形處理，形成網絡編碼信息，廣播到節點A與B，節點A(B)通過串行干擾消除方法獲得節點B(A)的信息。

基于貼近實際以及復雜度的考慮，假設接收端可知理想CSI，發送端未知全局CSI，即節點之間不存在反饋信道(反饋信道將造成較大資源損耗)，且系統參數以及信息均為復值向量。節點R接收到的疊加和信息可表示為

(1)

(2)

(3)

(4)

式中：GA與GB均為N×N的矩陣。

由式(2)-(4)可得

(5)

在下行階段，節點R將波束成形矩陣信息置于網絡編碼信息前綴，形成廣播信息發送給節點A以及節點B。節點A可通過下式得到節點B的信息：

。

(6)

節點B的操作與此類似。

2 系統中斷性能

定理1：圖1中，節點R處的中斷概率可表示為

(7)

證明：在上行階段，節點A到節點R鏈路或者節點B到節點R鏈路任一鏈路出現中斷，則節點R將無法實現疊加和信息的可靠接收，因此，可將節點R處的中斷概率表示為

(8)

式中：CAR為節點A到節點R鏈路的信道容量；CBR為節點B到節點R鏈路的信道容量;Rth為設定的傳輸速率閾值；1/2是因為系統信息傳輸時隙數為2。

將節點A到節點R之間的信道看作點對點信道，則CAR可以表示為

(9)

式中：IM為M×M的單位矩陣。

(10)

(11)

其中rA為矩陣HA的秩。不失一般性，可得CBR為

(12)

由式(8)、(11)、(12)可得

1-Pr[(CAR>2Rth)(CBR>2Rth)]=

1-(1-Fz1(q))(1-Fz2(q))，

(13)

式中：Fz1(q)、Fz2(q)為累積分布函數(Cumulative Distribution Function,CDF)，q=22Rth，且

(14)

(15)

不失一般性，可得到

(16)

將式(15)、(16)代入式(13)，可得式(7)表達式。

得證。

定理2：圖1中，節點A處的中斷概率可表示為

(17)

節點B處的中斷概率可表示為

(18)

證明：對于節點A，若上行階段節點R中斷或者下行階段節點R到節點A的鏈路中斷，則節點A無法可靠獲取節點B的信息，即節點A出現中斷，則節點A處的中斷概率可表示為

(19)

(20)

其中CRA為節點R到節點A鏈路的信道容量，可表示為

(21)

IN為N×N的單位矩陣。

(22)

式(21)可轉化為

(23)

式中：rRA為矩陣HRA的秩。

將式(23)代入式(20)，與定理1的推導類似，可得

(24)

將式(7)、(24)代入式(19),可得式(17)表達式，同理可得式(18)表達式。

得證。

3 數值分析

筆者利用蒙特卡羅仿真對系統中斷性能進行分析，并與理論推導進行比較，驗證所給出的中斷概率表達式的準確性。針對以下場景進行仿真分析：在Rayleigh衰落環境下，不同天線數目的系統中各個節點處的中斷概率以及理論推導值；在所有節點天線數目均為2的系統中，不同萊斯因子的Ricean衰落環境下節點R處的中斷概率。在蒙特卡羅仿真中，所取樣本點個數為106。

在Rayleigh衰落環境以及Ricean衰落環境下，信道矩陣中的所有元素均為服從復Gaussian分布的隨機變量，其中Rayleigh衰落中隨機矩陣HHH為中心復Wishart矩陣，Ricean衰落環境中隨機矩陣HHH為非中心復Wishart矩陣。此處應用定理1及定理2需要用到以下結論，即Wishart矩陣A的不排序特征值的聯合PDF為[14]

xi>0,i=1,2,…,m。

(25)

圖2 Rayleigh衰落環境下節點R處的中斷概率

圖2給出了Rayleigh衰落環境下節點R處的中斷概率曲線，且EA/σ2=EB/σ2=20 dB。圖中：“S”代表蒙特卡羅仿真值；“A”代表理論推導值。

從圖2可以看出：1)蒙特卡羅仿真結果與理論推導結果高度相符，驗證了定理1的準確性；2)隨著天線數目的增加，系統的中斷性能得到了改善；3)在2種MISO情形中，中繼節點多天線MISO比端節點多天線MISO系統中斷性能更好。

圖3給出了Rayleigh衰落環境下節點A處2種場景的中斷概率曲線。從圖3可以看出：1)蒙特卡羅仿真結果與理論推導結果相符，驗證了定理2的準確性；2)提高中繼節點的發射功率，大幅降低端節點(即用戶)的發射功率，可使用戶獲得更好的中斷性能；3)從用戶的角度考慮，中繼節點多天線MISO與端節點多天線MISO相比，系統中斷性能相差不大。

圖4為Ricean衰落環境下節點R及節點A處的中斷概率曲線，萊斯因子K=10 dB，可以看出：1)Ricean衰落環境下蒙特卡羅仿真結果與理論推導相符，證明了定理1以及定理2在不同衰落環境下的適用性；2)萊斯因子K=10 dB時，因為存在視距路徑，系統的中斷性能相比Rayleigh衰落環境下大大提高。

圖3 Rayleigh衰落環境下節點A處的中斷概率

圖4 Ricean衰落環境下系統中斷概率

此外，由圖2-4可知：隨著天線數目的增加，系統中斷性能得到極大提高。

4 結論

在TWRC模型中，筆者假設發射端未知CSI，研究了中繼波束成形的多天線物理層網絡編碼，通過反演定理以及隨機矩陣特征值分布特性等數學理論推導出各個節點處的中斷概率閉合表達式，通過仿真驗證分析了系統的中斷性能。仿真結果表明：1)在Rayleigh衰落以及Ricean衰落環境下，仿真結果與理論推導相符，證明了所給定理在不同衰落環境下的適用性；2)隨著天線數目的增加，系統中斷性能得到極大提高；3)考慮用戶的中斷性能，在中繼節點加大發射功率，用戶節點可以大幅降低發射功率。