二維保修裝備可用度優化模型

程中華， 王 謙,2， 白永生， 趙汝東， 郭尚昆

(1. 陸軍工程大學石家莊校區裝備指揮與管理系， 河北 石家莊 050003； 2. 陸軍第九綜合訓練基地教研部，河北 張家口 075000)

當前,在裝備保修服務中，一般通過實施預防性維修來提高裝備保修期內的可用度和部隊的滿意度。因為通過預防性維修可降低裝備發生故障的概率，提高裝備性能，達到減少保修期內裝備故障次數、縮短停機時間、提高可用度的目的。目前，諸多學者均對預防性維修進行了研究報道[1-3]。相對而言，一維保修期內的預防性維修研究成果較多，二維保修期內的預防性維修研究成果相對較少，且多數研究是從裝備保修合同商的角度進行分析，對保修費用的相關研究較多，而對裝備使用方關注的可用度研究不足。二維保修是指同時采用使用時間和使用程度2個維度來決定保修終止期限的保修服務。二維保修裝備具有隨2個維度同時退化的特性。在裝備使用過程中，當達到任一維度的閾值時，保修服務都將終止。如：某軍用車輛的保修期為3 a、5×104km，即當使用時間達到3 a或行駛里程達到5×104km，保修服務均將結束。

二維保修裝備具有結構復雜、維修難度大等特點。保修期內通常不輕易更換整個裝備，只進行局部的維修或保養，可在一定程度上降低裝備故障率。為了滿足日常維修保養的需要，通常要求裝備所在部隊具備一定的維修保障能力，預防性維修工作通常由部隊自身來完成。但針對在保修期內的二維保修裝備，部隊很難快速形成較高的維修能力,與裝備生產廠家相比，對裝備的維修效果還存在一定的差距。因此，在二維保修期內，若只由部隊實施預防性維修，可能會存在裝備故障率恢復程度不高、故障頻發、停機時間長等問題。

按照預防性維修對裝備故障率λ的恢復程度，通常將預防性維修程度分為最小預防性維修、不完全預防性維修和完全預防性維修3種，并采用修復因子δ(0≤δ≤1)來表示不同維修程度對裝備故障率恢復程度的影響。在最小預防性維修情況下，維修后僅僅使裝備恢復到維修之前的水平(修復如舊)，則修復因子δ=1。在完全預防性維修情況下，維修后可使裝備恢復到如同新品一樣(修復如新)，則修復因子δ=0。在不完全預防性維修情況下，裝備恢復情況介于修復如新和修復如舊之間[4]，則修復因子0<δ<1。假設在時刻T對裝備進行了不同程度的維修，其對裝備故障率的影響如圖1所示。

圖1 不同維修程度對裝備故障率的影響

對于大型的軍用裝備，通常實施不完全預防性維修,因此不可能通過預防性維修使裝備恢復到與新裝備一樣。研究表明[5]：通過維修可以將裝備當前時刻的故障率降低到實際使用工齡前某一工齡的故障率，則之前的這一時刻稱為虛擬工齡。如:某汽車在使用100 d后，廠家對其進行了1次不完全預防性維修，維修后的汽車故障率恢復到與使用了80 d時的故障率一樣，則80 d為其虛擬工齡。通過對裝備實施不完全預防性維修，可假設按照一定比例縮減了此次維修之前的虛擬工齡，通常采用比例年齡倒退模型來表示不完全預防性維修對裝備虛擬工齡的影響[6-8]。不完全預防性維修對裝備虛擬工齡的影響程度不同，維修程度越高，維修所需時間越長，這與維修的實際情況相符。如：某軍用裝備若由廠家實施不完全預防性維修后，其虛擬工齡要比由部隊實施后的虛擬工齡更短。因此，對于這類二維保修裝備，筆者提出了新的保修策略：在保修期內，由廠家和部隊分別對裝備實施預防性維修，且廠家實施預防性維修的維修程度高于部隊的維修程度。

但在當前有關保修策略的文獻報道中，所實施的預防性維修多是單一維修程度，在進行預防性維修間隔期決策時鮮有相關模型可以借鑒。如：WANG等[9]從制造商的角度提出了對保修裝備實施周期性不完全預防性維修，研究不同使用率下裝備的最優保修策略；HUANG等[10]假設在保修期內實施不完全預防性維修，建立了保修費用模型，并給出最優保修方案；PARK等[3]提出在保修期內執行維修程度恒定的不完全預防性維修，對預防性維修期間的故障進行最小預防性維修或更換維修，確定了使保修成本最低的預防性維修間隔期;僅有LIAO[11]提到了將保修期內的預防性維修分為完全維修、不完全維修和預測性維修3種類型。且目前文獻報道的保修策略中預防性維修很少包涵2種或2種以上的維修程度。而這樣的保修策略，在二維保修服務中會有很大的應用價值。本文提出保修期內廠家和部隊分別對裝備實施不同維修程度的不完全預防性維修，并建立裝備可用度模型。

1 二維保修可用度模型

1.1 問題描述

設Tw、Uw分別為保修時間期限和使用度期限，(Tw,Uw)為裝備的二維保修期，rw=Uw/Tw，為裝備的設計使用率。保修期內以間隔期(T0,U0)實施周期性的不完全預防性維修，T0和U0分別為預防性維修的時間間隔期和使用度間隔期，即每當裝備使用時間間隔達到T0或使用程度間隔達到U0，就實施1次預防性維修，r0=U0/T0。實施預防性維修后，裝備的虛擬工齡會降低。當裝備出現故障后，由廠家負責維修，維修程度為最小預防性維修，由最小預防性維修導致的平均停機時間為TF。目前二維保修裝備的故障率表示方法主要有雙因素變量法、復合尺度法和使用率法3種，其中，使用率法應用比較廣泛，筆者采用該種表示方法。對于某一給定的用戶，假設裝備使用率r為定值[12-13]，則裝備故障率[14]

λ(t|r)=θ0+θ1r+θ2t2+θ3rt2，

(1)

式中：參數θ0、θ1、θ2、θ3的值可根據裝備歷史故障數據估算得到。但是，不同用戶其裝備的使用率不同。對于批次裝備而言，不同用戶的裝備使用率為服從某一分布的隨機變量。假設G(r)、g(r)分別為裝備使用率的分布函數和概率密度函數，裝備使用率服從雙參數威布爾分布，其概率密度函數為

g(r)=(β/α)×(r/α)β-1×e-(r/α)β，

(2)

式中:α為尺度參數；β為形狀參數。

當采用廠家和部隊分別實施預防性維修保修策略時，保修期內共執行Nw次預防性維修。為研究方便，筆者僅討論廠家實施1次預防性維修的情況，且假設廠家實施預防性維修后對裝備故障率的恢復效果更好。設m為不完全維修程度，其與修復因子的關系為[15-16]

δ(m)=(1+m)e-m，

(3)

m1和m2(m1

T+=δ(m)×T-，

(4)

相應的故障率

λ(T+)=λ(δ(m)×T-)。

(5)

在Nw次預防性維修中，假設第N(N∈[1,Nw])次維修由廠家實施，剩余Nw-1次全部由部隊實施。當廠家預防性維修的時機N發生變化時，裝備故障率的變化趨勢也隨之改變，進而影響保修期內故障發生的次數和停機時間。在保修期內，裝備停機時間由預防性維修造成的停機時間和修復性維修造成的停機時間2部分組成。

1.2 模型建立

設λk(t|r)為第k(k∈[0,Nw])次預防性維修后裝備的故障率。筆者將可用度模型分為r0≤rw和r0>rw兩種情況進行分析。在保修期內，隨著裝備使用率r取值范圍的變化，預防性維修間隔期和保修期限也隨之發生改變，一般分為6種情況，如表1所示。

當r0≤rw時，r0和rw的相對關系如圖2所示。

圖2 r0和rw的相對關系

筆者詳細地分析r≤r0時，裝備的停機時間和可用度計算過程。

由表1可以看出：

當r≤r0時，為表1中第1種情況，預防性維修總次數Nw=?Tw/T0」。在每次預防性維修后，裝備故障率λk(t|r)的變化如下：

1) 當k=0時，

λk(t|r)=λ(t|r)；

(6)

2) 當1≤k≤N-1時，

λk(t|r)=λ(t-kT0+(δ(m1)T0+

δ2(m1)T0+…+δk(m1)T0)|r)=

(7)

3) 當k=N時，

λk(t|r)=λ(t-kT0+(δ(m2)T0+

δ(m2)δ(m1)T0+…+

δ(m2)δk-1(m1)T0)|r)=

(8)

4) 當N+1≤k≤Nw時，

λk(t|r)=λ(t-kT0+((δ(m1)T0+

δ2(m1)T0+…+δk-N(m1)T0)+

(δ(m2)δk-N(m1)T0+

δ(m2)δk-N+1(m1)T0+…+

δ(m2)δk-1(m1)T0))|r)=

(9)

當廠家和部隊分別實施預防性維修保修策略，裝備故障后進行最小預防性維修時，則在2個相鄰預防性維修間隔期內,裝備故障服從非齊次泊松過程[17]。因此，在相鄰的預防性維修間隔期[Tl,Tu]內，最小預防性維修次數

(10)

式中：Tl和Tu分別為2個相鄰預防性維修的時間。

由此可知：保修期中修復性維修造成的總停機時間

(11)

預防性維修造成的總停機時間

DP=Tp1(Nw-1)+Tp2。

(12)

因此，保修期內總停機時間

D=DP+DF=Tp1(Nw-1)+Tp2+

(13)

裝備的期望可用度

(Tp1(Nw-1)+Tp2+

(14)

同理，可得其他5種情況下的裝備停機時間和可用度，具體計算公式分別如下：

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

對于使用率服從分布函數為G(r)的二維保修裝備，當r0≤rw時，由式(14)-(16)可得保修期內裝備可用度

(20)

當r0>rw時，由式(17)-(19)可得保修期內裝備可用度

(21)

2 模型求解與算例

2.1 模型求解

1) 在二維保修期(Tw,Uw)內，T0以ΔT0為步長在[0,Tw]內取值，U0以ΔU0為步長在[0,Uw]內取值，生成有限組(T0,U0)。

2) 在每組(T0,U0)中，確定預防性維修總次數Nw，并使N在[1,Nw]內遍歷取值，得到不同的組合(T0,U0,N)。

2.2 算例分析

2.2.1 算例

已知某新型裝甲運輸車為二維保修裝備，保修期Tw=5 a，Uw=16×104km。為減少該型裝備的故障次數、降低停運時間、提高可用度，采用廠家和部隊分別實施預防性維修的保修策略。經專家評估，部隊和廠家對該型裝備實施預防性維修的程度分別為1級和3級，其對應的修復因子δ(m1)=0.74，δ(m2)=0.2。其他參數TF=1.5 d，Tp1=7.5 d，Tp2=10 d，α=3，β=0.72，θ0=0.7，θ1=0.5，θ2=0.6,θ3=1.0。

T0以步長ΔT0=0.03Tw在[0,Tw]內取值，U0以步長ΔU0=0.03Uw在[0,Uw]內取值，共生成1 089組(T0,U0)。計算每組(T0,U0)中N取不同值時，裝備最大可用度A(T0,U0)。不同T0、U0的最大可用度A(T0,U0)如圖3所示。

圖3 不同T0,U0的最大可用度A(T0,U0)

在新保修策略下，二維保修裝備可用度具有如下規律：

1) 當U0較小時，裝備可用度受T0變化的影響較大；當U0較大時，裝備可用度受T0變化的影響較小；當U0=0.13Uw、0.4Uw時，可用度受T0變化的影響如表2所示。由表2可知：當U0=0.13Uw時，裝備可用度隨T0的變化較大。因此，在預防性維修使用度間隔期確定的情況下，可根據U0的大小，并結合裝備可用度的需求情況來調整預防性維修間隔期的長短。

表2 U0固定、T0變化時裝備最大可用度 %

2) 當T0較小時，裝備可用度受U0變化的影響較小；當T0較大時，裝備可用度受U0變化的影響較大。因此，在預防性維修間隔期確定的情況下，可根據U0的大小，并結合部隊對裝備可用度的需求情況調整預防性維修使用度間隔期。

由此可知：當廠家和部隊分別實施預防性維修的保修策略時，T0、U0和N中任一參數的變化均影響保修期內裝備的可用度。

2.2.2 敏感性分析

由于新保修策略提出了保修期內由廠家和部隊分別實施不同維修程度的預防性維修，則2種程度預防性維修的修復因子之比δ(m1)/δ(m2)直接影響裝備可用度。為了分析δ(m1)/δ(m2)對裝備可用度的影響，將δ(m2)作為變量進行敏感性分析，其他參數保持不變。當0.2≤δ(m2)≤0.6時，對比分析新保修策略和傳統保修策略對裝備可用度的影響，結果如表3所示。

表3 不同δ(m2)下2種保修策略對裝備可用度的影響對比

3 結論

筆者以二維保修裝備保修期內可用度為研究對象，提出了包含2種維修程度的不完全預防性維修保修策略，建立了相應的裝備可用度模型。通過算例表明：該保修策略可提高二維保修裝備的可用度，滿足部隊對裝備具有更高可用度的需求，也為廠家和部隊制定保修決策方案提供了依據。通過敏感性分析可知：廠家實施預防性維修的程度越高，該策略的優勢越明顯。但是，筆者只考慮了保修期內廠家實施1次預防性維修的情況，下一步研究中一方面考慮廠家實施多次預防性維修；另一方面，由于在新保修策略中，裝備可用度越高，保修費用也會隨之升高，因此進行保修決策時，需要將裝備可用度和保修費用進行綜合權衡。