從“微積分”的創立之爭看“數學江湖”

■河南省許昌高級中學 許昌市高中數學名師工作室 胡銀偉

數學巨擘陳省身大師曾說“數學好玩”,但數學的“江湖”可不僅僅是“好玩”,今天我們就來介紹數學界的一個“趣事”——有關“微積分”創立之爭的“恩怨”。

首先介紹的是大名鼎鼎的科學巨匠——站在了巨人肩膀上的牛頓,他著名的經典力學三定律深刻影響著、改變著我們今天的世界；再介紹另一位大咖,德國著名數學家——萊布尼茨,一位在哲學、邏輯學、倫理學、歷史學等領域都頗有建樹的歷史上少見的通才。

17世紀,有許多科學上的問題亟待解決,歸結起來主要有四種：一是研究運動時即時速度的問題；二是求曲線的切線問題；三是求函數的最大值、最小值問題；四是求曲線長、曲線所圍成的面積、曲面所圍成的體積。同時代的許多著名的數學家、天文學家、物理學家,如法國的費爾瑪、笛卡兒、羅伯瓦、笛沙格,英國的巴羅、瓦里士,德國的開普勒,意大利的卡瓦列里等人都為解決上述幾類問題進行了大量的研究工作,都提出許多很有建樹的理論,通過對這些問題的研究也逐漸促成了微積分的產生。17世紀下半葉,在前人工作的基礎上,牛頓和萊布尼茨分別在自己的國度里獨自研究和完成了微積分的創立工作。

1666 年,牛頓率先發現了微積分概念——流數術,但是牛頓并未將發現成果公布出來,只是記在自己的筆記本中。1671年,牛頓寫了《流數法和無窮級數》一書,但此書直到1736年才出版。在這本書里,牛頓提出了流數概念,在流數術中的中心問題是：已知連續運動的路徑,求給定時刻的速度(微分法)；已知運動的速度,求給定時間內經過的路程(積分法)。

1684年10 月,在英吉利海峽另一側的歐洲大陸的德國,萊布尼茨在《教師學報》上發表了現在世界上認為是最早的微積分文章,在這一篇具有劃時代意義的文章中,萊布尼茨定義了微分概念,且采用了微分的符號dx,dy。1686年,萊布尼茨再次發表積分論文,討論了微分與積分,使用了積分符號∫。從萊布尼茨的筆記本發現,1675 年11 月11日他便已完成一套完整的微積分學。

微積分學的創立,極大地推動了數學的發展,過去很多初等數學束手無策的問題,運用微積分可迎刃而解,顯示出微積分學的非凡威力。因此,牛頓(英國)和萊布尼茨(德國)兩個人所在的國家,都想各自“霸占”微積分的“創立權”,以便讓自己的國家和數學家能夠名垂數學史。

1699年初,有英國皇家學會成員率先指控萊布尼茨,認為他的微積分思想來自牛頓,只不過是換了牛頓的研究成果的幾個符號而已,微積分真正的發明者應該是牛頓,隨后英國科學界與歐洲大陸科學界爆發了激烈的爭論,爭論在1711年全面爆發。1713年初,英國皇家學會發布了一份調查報告(報告由牛頓本人撰寫),單方面宣布“牛頓為微積分發明第一人”,而斥萊布尼茨為騙子。1713年,萊布尼茨發表了《微積分的歷史和起源》一文,總結了自己創立微積分學的思路,說明了自己成就的獨立性。

這場爭論導致此后的100 年中,在英國和歐洲大陸的數學家間劃出了一道鴻溝,雙方的科學家,老死不相往來,從而造成了歐洲大陸和英國的數學家長期對立。囿于民族偏見,英國數學在一個時期里閉關鎖國,并最終讓英國的數學發展整整落后了至少一個世紀,直到1820年,雙方的關系才有所緩和。

由微積分的創立過程來看,牛頓在微積分方面的研究雖早于萊布尼茨,但萊布尼茨成果的發表則早于牛頓；萊布尼茨的筆記本記錄了他的思想從初期到成熟的發展過程,而在牛頓已知的記錄中只發現了他最終的結果。牛頓研究的微積分更多地結合了運動學,造詣高于萊布尼茨；而萊布尼茨卻是側重于幾何學來考慮的,運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則,其數學的嚴密性與系統性是牛頓所不及的。萊布尼茨認識到好的數學符號能節省思維勞動,運用符號的技巧是數學成功的關鍵之一。因此,他發明了一套適用的符號,如引入dx 表示x 的微分,∫表示積分,dnx 表示n 階微分等,這些符號進一步促進了微積分學的發展。

牛頓和萊布尼茨建立微積分的出發點是直觀的無窮小量,他們的最大功績是把兩個毫不相關的問題聯系在一起,一個是切線問題(微分學的中心問題),一個是求積問題(積分學的中心問題)。但一門科學的創立絕不是某一個人的業績,它必定是經過很多人的努力,在積累了大量成果的基礎上,最后由某個人或幾個人總結完成的,微積分同樣也是如此。

正如恩格斯所說：微積分“是牛頓和萊布尼茨大體上完成的,但不是由他們發明的。而那個富有爭議的微積分定理,也被折中地命名為“牛頓—萊布尼茨”定理。