使用Matlab對布朗運動的模擬

王富帥 陳正昊 孫琦

摘 要：根據朗之萬方程，通過對朗之萬方程的數值推導，得到單個布朗粒子布朗運動下的位移方程，位移方程可以反推至愛因斯坦平均差位移方程。本文利用位移方程寫出數值模擬下的布朗運動的軌跡。通過Matlab軟件編程，得到了布朗運動隨機軌跡三維圖。

關鍵詞：布朗運動;朗之萬方程;Matlab模擬仿真

2.2 軟件模擬

為了便于模擬我們不妨令步長Δt=1，無單位，僅僅是作為數學處理的單位。ψ（0，）是平均值為0，方差為的正態分布，若僅僅考慮單個粒子，可以考慮為符合正態分布一組數據中的一個。我們可以使用Matlab軟件中的normrnd函數來產生一個隨機正態分布數組。由于所取得的正態分布數為隨機數，因此使用Matlab軟件得到的軌跡每次都不一樣，這也正好反映了布朗運動的隨機性。

2.3 主程序

以迭代1000次的程序為例：

a=500;n=1.003;T=300;

k=1.380649e-23;r=6*pi*a*n;

D=k*T/r;d=sqrt（2.*D）;

a=normrnd（0，d，[1 1000]）;

b=normrnd（0，d，[1 1000]）;

c=normrnd（0，d，[1 1000]）;

x=[];y=[];z=[];o=0;p=0;q=0;

for i=1：1000

{o=o+a（1，i）;p=p+b（1，i）;q=q+c（1，i）;

x（1，i）=o;y（1，i）=p;z（1，i）=q;}

end

plot3（x，y，z）

3 結論

通過對朗之萬函數的數值化處理，我們得到了具有統計學規律的位移函數，導出了位移關系式，并且，經過推導可以得到愛因斯坦的平均矢量位移關系式，并且得出布朗粒子布朗運動的軌跡是一個具有一定統計學規律的隨機方程。然后利用Matlab軟件進行編譯，通過已推導出的關系式，模擬布朗運動的軌跡，將其軌跡畫出。

參考文獻：

[1]Einstein A.Investigations on the Theory of the Brownian Movement[M].New York：Dover Pulieation Inc，1956.

[2]Smoluchowski M von.Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen[J].Annalen der Physik，1906，326（14）：756-780.

[3]Langevin P.Sur la théorie du mouvement brownien[J].CR Acad Sci Paris，1908，146：530-533.