基于RVM-AFOSM模型的邊坡可靠度分析

高 杰，馬春輝，王建娥，楊 杰

（1.陜西省水資源與河庫調度管理中心，陜西西安710004；2.西安理工大學 水利水電學院，陜西西安710048；3.西安理工大學省部共建西北旱區生態水利國家重點實驗室，陜西西安710048）

邊坡工程包含有大量的不確定因素，常規的確定性方法難以準確評估其安全性態。而可靠度運用概率論和數理統計等方法，將各種不確定因素作為隨機變量，分析邊坡失穩的可能性［1］，能夠更合理地反映邊坡的實際安全狀況。

傳統的邊坡可靠度分析方法主要有一階可靠度方法（FORM）、二階可靠度方法（SORM）、響應面法（RSM）、蒙特卡羅模擬（MCS）等［2］。 其中 FORM 又分為均值一次二階矩（MVFOSM）與改進一次二階矩（AFOSM），AFOSM精度較高，但計算量大，且要求邊坡的功能函數為顯式，工程中常常難以滿足［3］。隨著智能算法的發展，將新型算法與傳統可靠度相結合的計算方法，可避免傳統功能函數計算的不足，已取得了良好的應用效果。眾多學者將人工神經網絡（ANN）應用于可靠度計算，但ANN存在所需訓練樣本大、計算結果不穩定、易陷入局部極小和“過擬合”等問題，且仍不能將功能函數顯式表達［4］。Tan等［5］采用智能算法與MCS相結合計算邊坡失穩概率，將SVM與徑向基函數神經網絡（RBFN）進行對比。此外，趙洪波［6］利用SVM將極限狀態函數顯式表達，并求解其偏導數，隨后結合MVFOSM分析了邊坡可靠度，為邊坡可靠度計算提供了新的思路。Pijush等［7］對RVM代替極限狀態函數進行探索，但同樣與MVFOSM結合對邊坡可靠度進行計算。雖然RVM能夠精確地估算安全系數，但由于MVFOSM自身缺點，因此RVM-MV-FOSM可靠度計算誤差明顯。

相較于SVM，RVM具有模型結構稀疏性、計算復雜度低、提供方差、所需參數少等優勢［8］。而相較于MVFOSM，AFOSM的設計驗算點一般在極限狀態面上，其計算精度有明顯的提高。因此，筆者提出將RVM與AFOSM結合，對邊坡可靠度進行計算。采用RVM對邊坡極限狀態函數進行擬合，實現邊坡安全系數的快速、準確估算；同時，RVM將功能函數顯式化，便于求解極限狀態函數的一階導數；隨后采用AFOSM計算設計驗算點，得到更加精確的可靠度結果。

1 RVM模型的原理

SVM與RVM均適用于小樣本、非線性問題的預測與分類，但SVM是基于結構風險最小原理的決策模型，RVM是基于貝葉斯框架的概率學習模型。因此，SVM僅能得出計算值，RVM可得出計算值及其概率。同時，RVM結構更具稀疏性，其計算所需樣本數量更少，從而降低了模型運算復雜度。此外，RVM還具有所需參數少、核函數無須滿足Mercer條件等優勢［8］。

RVM通過定義受超參數控制的Gaussian先驗概率，在貝葉斯框架下進行機器學習，并利用主動相關判定理論（ARD）移除不相關的點，從而得到稀疏化模型［9］。RVM不僅可以定量預測，而且能夠提供方差［10］。

設訓練樣本 ｛xn，tn｜n ＝ 1，2，…，n｝，N 為樣本總數，xn為輸入值，tn為目標值，y為中間變量，則tn為

式中：εn為誤差，服從均值為0、方差為σ2的高斯分布；ωn為權重；ω0為基礎量；K（x，xn） 為核函數。

設tn為獨立分布，則似然函數可表示為

式中：t為目標向量，t＝（t1，t2，…，tN）T；w 為參數向量， w＝（ω0，ω1，…，ωN）T；σ 為先驗分布的超參數；Φ 為基函數矩陣，Φ＝ ［Φ（x1），Φ（x2），…，Φ（xN）］，其中Φ（xn）＝ ［1，K（xn，x1），K（xn，x2），…，K（xn，xN）］T。

在利用最大化似然函數估計參數w的過程中，因參數過多可能導致“過學習”，因此假設參數ωi服從均值為0、方差為αi-1的ARD高斯分布，故：

式中：α為決定權值w先驗分布的超參數，只與其對應權值w相關。

假定α、σ2均服從Gamma先驗概率，根據定義的似然分布和先驗分布，可得w的后驗分布：

式中：Σ ＝（σ-2ΦTΦ +A）-1，為后驗協方差矩陣，A＝diag（α0，α1，…，αN） ；μ ＝ σ-2ΣΦTt，為后驗均值； M為相關向量的個數。

通過對訓練樣本的似然函數式中的w進行積分，可得到由超參數α、σ2控制的邊緣分布：

式中：Ω ＝σ2E+ΦA-1ΦT，其中E為單位向量。

采用迭代的方法對上式求偏導，得到使邊緣分布最大化的α和σ，由于權值最優估計的不確定性，給定任意一個輸入值x?，則可得出描述預測不確定度的均值yRVM和方差σRVM，其中σMP為超參數的最優值，計算公式如下：

2 基于RVM的可靠度計算模型構造

本文RVM模型選用徑向基函數作為核函數，可表示為

式中：η為核函數參數，通過試錯法確定。

訓練完成后的RVM可代替Bishop，對邊坡安全系數進行快速、準確計算。因此，極限狀態函數值Z可表示為

采用AFOSM求解可靠度時，需求解極限狀態函數的一階導數。RVM的一階導數為

將式（10）代入AFOSM計算，即可完成可靠度求解。RVM-AFOSM的計算流程見圖1。

（1）明確各影響因子 Xi（i＝ 1，2，…，k） 的分布形式，構建樣本的輸入因子。隨后，采用傳統的邊坡穩定安全系數計算方法計算樣本安全系數，作為樣本的輸出因子。樣本可分為訓練樣本與測試樣本。

（2）選定RVM核參數值，使用訓練樣本對RVM進行訓練。

圖1 RVM-AFOSM計算流程

（3）使用訓練完畢的RVM對測試樣本的安全系數進行估算，并計算與傳統方法結果的平均絕對誤差（MAE）。當MAE滿足誤差要求時，核參數確定，RVM訓練完成。否則，轉步驟（2）。

（4）在采用AFOSM計算可靠度中，初始設計驗算點采用各因子的均值。使用RVM代替傳統方法，計算設計驗算點的邊坡穩定安全系數及一階導數，由此可計算出新設計驗算點。

（5）若新設計驗算點滿足迭代終止條件，則終止迭代，得出可靠度β，否則轉步驟（4）。

因此，RVM-AFOSM可充分發揮RVM的快速計算能力，實現對邊坡安全系數的估算，可避免常規安全系數計算耗時較多的問題。將訓練完成的RVM用于AFOSM可靠度計算過程中，可快速得出設計點相應的安全系數及其一階偏導數。通過上述過程，即可建立基于RVM-AFOSM的邊坡可靠度計算模型。

在生成樣本時，選用極限平衡法中的Bishop法［11］計算邊坡穩定安全系數，其他邊坡穩定計算方法（如極限平衡法、塑性極限分析法、有限元法等）的計算結果均可作為RVM-AFOSM的訓練樣本。訓練RVM時，將安全系數值減 1作為模型的理論輸出值。AFOSM迭代終止準則為兩次計算的設計驗算點各變量差值小于誤差允許值。

3 基于RVM-AFOSM的邊坡可靠度分析

為驗證模型計算精度，對經典的多層土質邊坡算例進行可靠度計算，土質邊坡形態見圖2［12］。邊坡分為3層，各層材料參數見表1，假定自變量均為非相關正態分布。

圖2 多層邊坡形態

表1 多層邊坡物理參數

36組訓練數據的平均絕對誤差為0.059 4，平均相對誤差僅為5.17%，擬合效果見圖3（其中12組測試數據的平均絕對誤差為0.075 4，平均相對誤差僅為5.71%），預測效果見圖4。由圖4可知，RVM的多層邊坡算例擬合精度、預測精度較高，能夠準確地估算邊坡的安全系數，有良好的預測能力，為邊坡可靠度計算打下了扎實的基礎。

圖3 多層邊坡RVM訓練樣本擬合效果

圖4 多層邊坡RVM測試樣本擬合效果

單獨采用AFOSM法進行可靠度計算時，在每一次迭代中均采用Bishop法計算邊坡安全系數，雖耗時較長，但其可靠度計算結果準確，可以作為衡量其他算法準確性的標準。表2為各算法對多層邊坡可靠度的計算結果。

表2 多層邊坡可靠度計算結果

（1）SVM-FOSM與點估計法（PEM）的計算結果相近，但與AFOSM相比，有明顯偏差。主要原因是SVM-FOSM采用了傳統的一次二階矩法。陳祖煜［13］指出PEM與FOSM的計算結果十分接近，本文計算結果符合此規律。

（2）相比于AFOSM，Geosudio軟件的蒙特卡洛法計算結果存在明顯誤差。

（3）AFOSM、RVM-AFOSM 計算結果相近。 以AFOSM為標準，RVM-AFOSM的絕對誤差為0.045，相對誤差為1.19%；RVM-AFOSM 計算平均耗時為4.8 s，其計算結果雖有一定誤差，但結果偏小，整體偏于安全。因此，針對多層問題，RVM-AFOSM計算速度極快，且計算結果較為準確，能夠滿足實際工程需要。

RVM-AFOSM計算所得的設計驗算點：φ1＝32.57°、c1＝ 5.21 kN／m2、φ2＝ 18.34°、c2＝ 7.20 kN／m2、φ3＝10.69°，其安全系數為 1.047，位于邊坡穩定的極限狀態面附近，從側面證明RVM-AFOSM對邊坡安全系數估算和可靠度計算的準確性。

4 結 論

本文將 RVM與 AFOSM相結合，采用 RVMAFOSM模型對邊坡穩定進行可靠性分析。模型充分發揮了RVM在處理非線性、小樣本、高維數方面計算速度快、準確率高等優勢；采用RVM對邊坡安全系數進行估算，避免了傳統極限狀態函數不能顯式表達、難以求解導數的問題；采用AFOSM代替MVFOSM計算邊坡可靠度，其設計驗算點位于極限狀態面上，可靠度計算結果更加準確。通過對多層邊坡進行分析，將計算結果與其他方法進行比較，充分證明了采用RVMAFOSM對邊坡穩定進行可靠度計算的可行性。因此，RVM-AFOSM具有計算效率高、計算結果準確、簡單易用等優勢，在實際工程中具有廣泛的應用前景。