脆性材料矩形截面構件偏心受壓問題分析

郝文斌 劉科元

摘 要：針對脆性材料偏心受壓構件的力學強度性能安全分析，本文分別研究了受拉、受壓兩種破壞狀態。針對受拉破壞，主要通過減小偏心距來控制，并通過計算得到了小偏心受壓區域;針對受壓破壞，主要通過減小荷載來控制，并通過計算得到了許用荷載與偏心距的關系。本文研究結果對工程有一定的參考價值。

關鍵詞：脆性材料;小偏心;強度;許用荷載

偏心受壓是各類工程中常見的受力形式，特別是工業廠房中的牛腿、偏心受壓柱，機械行業中的夾具等。脆性材料由于其良好的受壓力學性能和低廉的價格被廣泛應用于受壓構件中。由于脆性材料受拉力學性能較差，受壓力學性能有限，其強度問題不容忽視。本文主要以矩形截面為例研究偏心受壓構件的強度問題，確保構件的安全。

1 偏心受壓與偏心距

偏心受壓是指荷載（壓力）合力的作用線不經過構件截面形心的受壓狀態，偏心受壓的本質是軸心壓縮與彎曲的組合變形。偏心距e為荷載作用線距離截面形心的距離。

2 偏心壓縮內力分析

根據力線平移定理，偏心受壓構件的荷載可以等效為軸心壓力和力偶矩，其中軸心壓力等于壓力，力偶矩等于荷載與偏心距的乘積。相對應的，其產生的截面內力包括軸力和彎矩，其中軸力N=F，彎矩M=Fe。

3 偏心壓縮應力分析

由偏心受壓構件的內力可知偏心受壓構件的應力主要為正應力σ，由兩部分產生，一部分是由軸向壓力N產生的軸向壓應力σN，另一部分為彎矩產生的彎曲正應力σM。

軸向壓應力的確定比較簡單：

σN=NA=FA（1）

式中，F為荷載壓力，A為截面面積。

彎曲正應力的確定首先要確定中性軸，中性軸為通過截面形心且與偏心距垂直的直線m。則截面上某點M處的彎曲正應力為：

σM=MeIm=FenIm（2）

式中，e為偏心距，n為截面M點到中性軸的垂直距離，Im為截面對中性軸m的軸慣性矩。

根據疊加原理可得M點處的正應力為：

σ=-σN±σM=-FA±FenIm（3）

4 小偏心壓縮條件

小偏心受壓是指由于構件材料受拉力學性能較差，要保證構件截面任意處均不能處于受拉狀態。即：

σ=-σN±σM=-FA±FenSymbolcB@ 0（4）

對于矩形截面，彎曲正應力最大的點在荷載作用點對立象限的頂點處。因此為保證上述條件，只要保證荷載作用點對立象限的頂點處的正應力滿足上述條件，則其他各點均能滿足。

為進一步確定頂點處的應力，可將上述彎曲正應力的求解分解到Y軸和Z軸，偏心距e用坐標ey，ez表示，軸慣性矩分別用IY和IZ表示，則頂點處的正應力為：

σ=-σN±σM=-FA±FenIm=-FA+Feyb2IZ+Fezh2IY（5）

式中，b為截面寬度，h為截面高度，IZ=hb312=Ab212為截面對Z軸的慣性矩，IY=bh312=Ah212為截面對Y軸的慣性矩。

將慣性矩公式代入式（5）并考慮到公式（4）的條件，有：

-FA-6FeybAb2-SymbolcB@ 0

整理可得：

-1+6eyb+6ezhSymbolcB@ 0（6）

即偏心距滿足公式（6）時，截面正應力無拉應力。

進一步分析可知，上述不等式所包含的是由-b6，0，-h6，0，b6，0，h6，0四個點所形成的矩形區域。只要荷載作用點在該區域，不論荷載多大，構件均不會發生受拉破壞，即小偏心受壓條件;而荷載作用點超出該區域，不論荷載多小，均會產生拉應力，可能發生受拉破壞。

5 小偏心受壓強度條件

構件受壓時還要考慮構件的受壓破壞，結合公式（3）和（5），可得荷載作用點對應象限頂點處的正應力為：

σ=-σN-σM

=-FA±FenIm

=-FA-Feyb2IZ-Fezh2IY

=-FA-6FeybAb2-6FezhAh2

SymbolcB@ σ（許用壓應力）可得：

SymbolcB@ Aσ

整理可得，構件的許用荷載為：

F=Aσ1+6eyb+6ezh=FN1+6eyb+6ezh（7）

式中，FN為構件許用軸心壓力。

由公式（7）可知，隨著偏心距坐標分量的增加，構件的許用荷載逐漸減小。結合公式（6）小偏心受壓區域，許用荷載的最小值為區域邊界處取得：

Fmin=FN2（8）

即在小偏心受壓邊界處，構件的許用荷載為許用軸心壓力的一半。

6 小結

本文從矩形截面構件偏心受壓問題入手，系統研究了脆性材料偏心受壓構件正常工作所需要的條件：（1）小偏心受壓。（2）許用荷載計算，對工程生活具有一定的參考意義。

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項目：本文為寧夏回族自治區教育廳高校科研項目（NGY2016233）項目研究成果