楊元啟

摘 要:Lebesgue積分理論是實(shí)變函數(shù)論的中心內(nèi)容,是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的必修課。本文嘗試深入淺出的引導(dǎo)學(xué)生理解Lebesgue積分的概念與性質(zhì),進(jìn)而掌握Lebesgue積分的思想和理論。
關(guān)鍵詞:Lebesgue測(cè)度;Lebesgue積分;絕對(duì)連續(xù)性;平均連續(xù)性
Lebesgue積分理論是建立在Lebesgue測(cè)度論基礎(chǔ)上的積分理論,是Riemann積分理論的升華,它不僅蘊(yùn)含了Riemann積分理論的成果,而且克服了Riemann積分理論的許多局限。比如黎曼積分過(guò)度依賴(lài)函數(shù)的連續(xù)性,在積分極限運(yùn)算中,交換極限次序的條件也非常苛刻,Lebesgue積分一定程度上彌補(bǔ)了黎曼積分的不足,較黎曼積分有更為廣泛的應(yīng)用。不過(guò),盡管理論完美,但略嫌晦澀難懂,且計(jì)算不方便,這限制了Lebesgue積分理論的普及推廣。不過(guò),作為數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生,這是必修課,如何快速讓學(xué)生理解掌握Lebesgue積分理論,是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。以下對(duì)Lebesgue積分概念和性質(zhì)的引入與討論,希望能給同學(xué)們提供幫助。
一、 Lebesgue積分的概念
(1)設(shè)f是可測(cè)集D上的非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù),即存在D的分劃∑nSymbolcB@ n 使f(x)=∑Si=1aiχEi(x) x∈D,其中E1,E2,···,En是互不相交的可測(cè)集,定義f在D上的 Lebesgue積分為∫Df(x)dx=∑ni=1aim(Ei)。
(2)設(shè)f是可測(cè)集D上的非負(fù)可測(cè)函數(shù),即存在D上的非負(fù)簡(jiǎn)單可測(cè)列fn,{fn(x)} 單增收斂于f(x),定義∫DSymboleB@ ∫Dfndx。
(3)設(shè)f是可測(cè)集D上的可測(cè)函數(shù),則令f+(x)=max{0,f(x)},f-(x)=max{0,-f(x)},若∫Df+(x)dx和∫SymboleB@ ,則定義∫Dfdx=∫Df+(x)dx-∫Df-dx。
參考文獻(xiàn):
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