Lebesgue積分的概念與性質(zhì)的教學(xué)探討

楊元啟

摘 要：Lebesgue積分理論是實(shí)變函數(shù)論的中心內(nèi)容，是數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)學(xué)生的必修課。本文嘗試深入淺出的引導(dǎo)學(xué)生理解Lebesgue積分的概念與性質(zhì)，進(jìn)而掌握Lebesgue積分的思想和理論。

關(guān)鍵詞：Lebesgue測(cè)度;Lebesgue積分;絕對(duì)連續(xù)性;平均連續(xù)性

Lebesgue積分理論是建立在Lebesgue測(cè)度論基礎(chǔ)上的積分理論，是Riemann積分理論的升華，它不僅蘊(yùn)含了Riemann積分理論的成果，而且克服了Riemann積分理論的許多局限。比如黎曼積分過(guò)度依賴(lài)函數(shù)的連續(xù)性，在積分極限運(yùn)算中，交換極限次序的條件也非常苛刻，Lebesgue積分一定程度上彌補(bǔ)了黎曼積分的不足，較黎曼積分有更為廣泛的應(yīng)用。不過(guò)，盡管理論完美，但略嫌晦澀難懂，且計(jì)算不方便，這限制了Lebesgue積分理論的普及推廣。不過(guò)，作為數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)的學(xué)生，這是必修課，如何快速讓學(xué)生理解掌握Lebesgue積分理論，是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)。以下對(duì)Lebesgue積分概念和性質(zhì)的引入與討論，希望能給同學(xué)們提供幫助。

一、 Lebesgue積分的概念

（1）設(shè)f是可測(cè)集D上的非負(fù)簡(jiǎn)單函數(shù)，即存在D的分劃∑nSymbolcB@ n 使f（x）=∑Si=1aiχEi（x） x∈D，其中E1，E2，···，En是互不相交的可測(cè)集，定義f在D上的 Lebesgue積分為∫Df（x）dx=∑ni=1aim（Ei）。

（2）設(shè)f是可測(cè)集D上的非負(fù)可測(cè)函數(shù)，即存在D上的非負(fù)簡(jiǎn)單可測(cè)列fn，{fn（x）} 單增收斂于f（x），定義∫DSymboleB@ ∫Dfndx。

（3）設(shè)f是可測(cè)集D上的可測(cè)函數(shù)，則令f+（x）=max{0，f（x）}，f-（x）=max{0，-f（x）}，若∫Df+（x）dx和∫SymboleB@ ，則定義∫Dfdx=∫Df+（x）dx-∫Df-dx。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙慈庚，等譯.Rudin W.數(shù)學(xué)分析原理.高教出版社，1979.

[2]程其襄，等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)（第三版）.北京：高等教育出版社，2001.