用極限定義證明數列極限的幾種方法

摘 要：在高等數學中，極限是一個非常重要的概念，是研究微積分的必備工具，也是我們的教學中的重難點之一。本文簡單介紹了數列極限定義證明數列極限的四種方法：直接法、適當放縮法、適當放大條件法、反證法。

關鍵詞：極限;放縮;反證

我們知道初等數學的研究對象基本上是不變的量，而高等數學的研究對象則是變動的量。所謂函數關系就是變量之間的依賴關系，極限方法是研究變量的一種基本方法。極限概念是在探求某些實際問題的精確解答過程中產生的。我國古代數學家劉徽（公元3世紀）利用圓內接正六邊形的面積來推算圓面積的方法——割圓術[1]，就是極限思想在幾何上的應用。在本文中主要介紹了幾種不同的方法來加深對數列極限定義的理解和掌握.但在實際的教學中我們看到，學生在運用數列極限定義證明極限存在還是有一定的困難，這是由于學生對極限ε-N定義中的“任意”、“存在N”、“使得xn-a<ε”等術語及它們之間的關系了解的還不夠完整，深刻。

首先介紹數列極限ε-N的定義[2]：設xn為以數列，如果存在常數a，對于任意給定的正數ε（無論它多么小），總存在正整數N，使得當n>N時，不等式|xn-a|<ε都成立，那么就稱常數a是數列xn的極限，或者稱數列xn收斂SymboleB@ xn=aε>0， 正整數N，當n>N時，有|xn-a|<ε。

我們應該注意到：定義中的正整數N是與任意給定的正數ε有關的，它隨著ε的給定而選它。那么，要如何根據ε來確定N？N的取值是唯一的嗎？這些問題都將是在解題過程中遇到的。接下來簡單介紹幾種常用的解題方法。

一、直接法

對常見的一些簡單的極限問題可以直接由不等式|xn-a|<ε解出N。其過程如下：

首先對ε>0，從|xn-a|<ε分析出n>φ（ε），然后取N=[φ（ε）]。

SymboleB@ 1n2=0。

證明：對ε>0，由|1n2-0|=1n2<ε成立，解得n>1ε。取N=[1ε]，則當n>N時有|1n2SymboleB@ 1n2=0。

二、適當放縮法

很多時候，我們不能直接由不等式|xn-a|<ε得到N，此時我們可以采用適當的放縮，具體過程如下：首先將|xn-a|適當放大成f（n），即不等式|xn-a|0，分析出f（n）<ε成立時n所要滿足的條件n>φ（ε）;最后取N=[φ（ε）]。

例2.已知xn=（-1）n（n+1）2，證明數列xn的極限是0。

證明：對ε>0，欲使|xn-0|=|（-1）n（n+1）2|=1（n+1）2<（1）1n2<（2）ε成立，由不等式1n2<ε解得：n>1ε，由于上述式子中的等式和不等號（1）對于任意的正整數n都是成立的，因此取N=[1ε]，則當n>N時，不等號（2）成立，進而上述系列等式和不等式均成立，所以當n>N時，|xn-0|<ε。

注：在利用數列極限的定義來論證某個數a是數列xn的極限時，重要是對于任意給定的正數ε，要能夠指出定義中所說的這種正整數N確實存在。如果知道xn-a<ε當然也成立。若令這個量小于ε能推出符合定義要求的正整數N必定存在，就可采用這種方法。例2便是這樣做的。當然，在利用極限定義證明極限時，如果能夠具體找出一個滿足定義要求的正整數N，那么也就證明了這種N的存在。在例2中，若設ε<1，就可取N=1。在以后的證明中，多采取這種找出一個符合定義要求的正整數N的方法。

三、適當放大條件法

有時需要對n加以限制的條件下，對|xn-a| 進行適當的放大，叫做適當放大條件法。過程如下：首先把|xn-a|作為條件適當放大成f（n），亦當n>N1時，有|xn-a|

其次對任意的ε>0，分析出f（n）<ε成立時滿足的條件N2。最后：取N=maxN1，N2。

SymboleB@ n+4n2+n+1=0。

證明：當n>4時，

n+4n2+n+1-0=n+4n2+n+1

要使n+4n2+n+1-0<ε，只要使2n<ε成立，即n>2ε。故取N=max4，2ε，則當n>N時，SymboleB@ n+4n2+n+1=0。

注：對于一個有多項組成的代數式，可適當放大或者縮小為這個代數式的一部分。如：

n2+n+1>n2

n2+n+1>n

n2-n

n（n+1）2>n+1

四、反證法

在文章中反證法主要是為了解決關于數列發散的問題。但本質上還是利用極限的定義，只不過是從另一個角度來闡述數列極限的定義，鞏固我們對其定義的理解。

例4.證明數列xn=（-1）n+1，n=1，2，…，是發散的。

SymboleB@ xn=a，取ε=14。存在正整數N，當n>N時，|xn-a|<14成立。

即當n>N時，xn都在開區間a-14，a+14內。但這是不可能，因為n→

SymboleB@ 時，xn不斷的重復取得-1和1這兩個數，而這兩個數不可能同時屬于長度為12的開區間a-14，a+14內。所以數列xn=（-1）n+1是發散的。

以上是數列極限定義證明數列極限的幾種常用的方法，但對于不同的題目所用的方法不是唯一的，也不是一成不變的，有的題目可能需要結合幾種不同的方法，這需要我們做題時認真觀察，深入思考，通過不斷的做題總結，相信初學者一定能夠更好的掌握，運用。

參考文獻：

[1]同濟大學數學教研室，高等數學（第七版）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]華東師范大學數學系，數學分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

基金項目：國家自然科學基金（11626032），安徽省高校自然科學基金重點項目（KJ2016A426）

作者簡介：解曉娟，碩士，助教，環模理論。