一種單面瓦楞機新型壓力輥機構的振動分析

陳志君,杜群貴

(華南理工大學 機械與汽車工程學院,廣州 510640)

包裝行業中，具有綠色環保、紙材料可回收等優點的瓦楞紙箱得到了大力推廣與支持[1]。為了適應市場的需求，瓦楞機不斷向著高速化方向發展，而作為核心的壓力輥機構，新型機構也不斷出現，以適應這一需求。文獻[2]研究了一種快速換輥機構，當需要維護、保養時，可以很容易實現壓力輥的更換。但早期的壓力輥機構是采用氣缸、凸輪和限位桿的組合，通過生產人員基于經驗調整凸輪與限位桿的接觸位置使壓力輥保持合理的壓力，長期以來效果并不理想，難以滿足產品的性能要求，而且調整效率較慢[3]。為了克服以上缺點，出現了皮囊氣缸、電動推桿和頂桿的組合結構，通過控制電動推桿可快速實現對壓力輥位置的調節，但由于皮囊氣缸壓力及頂桿剛度不夠，造成壓力輥的振動過大，電動推桿容易損壞[4]。最近，市場發展出了一種新型的壓力輥機構，通過伺服電動缸、偏心輪調節壓力輥位置，并在皮囊氣缸與液壓缸的共同作用下，以減少壓力輥的振動。本文將對該新型機構展開振動特性的分析。

瓦楞紙板的黏合強度與壓力輥的振動有著密切的關系，若振動幅值過大，會使瓦楞紙板形成高低坑(壓痕深一條淺一條的現象)，嚴重影響了瓦楞紙板的黏合強度。針對瓦楞機的振動問題，眾多學者開展了相關研究。文獻[5]對瓦楞輥與壓力輥的中心距進行了分析，建立了中心距的數學方程，計算了中心距變動的加速度大小。文獻[6]研究了單面瓦楞機的共振情況，分析表明當線速度達到180 m/min時，共振非常劇烈，生產出的紙板質量很差。文獻[7]將上、下瓦楞輥簡化為單自由度振動系統，把上、下瓦楞輥嚙合過程中理想中心距的變動量作為位移激勵，求得了瓦楞輥的動態響應。文獻[8]對舊式的壓力輥機構進行了動力學建模，分析了機構產生共振的原因，但并沒有對振動響應作出定量的分析。本文對國內某種瓦楞機的新型壓力輥機構進行了動力學建模，求得了壓力輥的振動響應，通過振動測試進行驗證，并和舊式機構進行了對比。最后，對壓力輥機構進行改進，進一步減少了壓力輥的振動。

1 壓力輥機構振動系統建模

圖1是目前市場上新出現的一種壓力輥機構的工作原理圖，通過伺服電動缸、偏心輪組合結構可對壓力輥的位置實現快速、精準的調節，液壓缸的加壓作用則進一步減少了壓力輥的振動。壓力輥支架是與皮囊氣缸、液壓缸相連，可繞著固定鉸鏈擺動，以適應工作過程中壓力輥與上瓦楞輥周期性變化的中心距，這是造成壓力輥振動的主要原因。工作時，原紙經過上、下瓦楞輥的嚙合，形成帶有瓦楞的芯紙并包裹在上瓦楞輥上，在上漿輥的作用下，使波峰被均勻地涂上膠，最后與面紙在壓力輥合適的壓力下黏合成單面瓦楞紙板。

1-皮囊氣缸;2-導紙輥;3-壓力輥;4-壓力輥支架;5-偏心輪;6-伺服電動缸;7-液壓缸;8-上瓦楞輥;9-上漿輥
圖1 壓力輥機構工作原理圖
Fig.1 The principle graph of pressure roller mechanism

根據圖1工作原理圖可得到機構的彈簧-質量-阻尼模型，為4個轉動自由度，見圖2。壓力輥通過軸承與壓力輥支架相連，通過皮囊氣缸1、8(等效剛度為K1，阻尼為C1)的加壓，伺服電動缸4、11(等效剛度為K22，阻尼為C22)對偏心輪3、10(偏心輪與壓力輥支架的接觸剛度等效為K21，阻尼為C21)位置的調節，最后在液壓缸5、12(等效剛度為K3，阻尼為C3)的作用下，使壓力輥與上瓦楞輥之間保持合理的壓力，保證瓦楞紙板的黏合質量。上瓦楞輥為主動輥，圖1的局部放大圖顯示了上瓦楞輥與壓力輥的嚙合過程，并將上瓦楞輥與壓力輥的嚙合等效為接觸剛度K4。由于不符合漸開線齒廓嚙合原理，嚙合過程中的中心距是呈周期性變化的，使壓力輥產生振動沖擊。

1、8-皮囊氣缸;2、9-壓力輥支架;3、10-偏心輪;4、11-伺服電動缸;5、12-液壓缸;6-壓力輥;7-壓力輥與上瓦楞輥的嚙合
圖2 壓力輥機構彈簧-質量-阻尼模型
Fig.2 The spring mass damping model of pressure roller mechanism

本文只關注壓力輥的振動特性，可對壓力輥機構進行合理的簡化。將伺服電動缸、偏心輪看成一個整體結構，根據系統的能量守恒可得到等效后的剛度為

(1)

伺服電動缸的剛度由內部的滾珠絲桿所提供，阻尼系數C22很小，在此忽略不計，只考慮偏心輪與壓力輥支架的接觸阻尼C21，因此，簡化后的C2=C21。接觸阻尼的大小與兩接觸物體的相對速度和切入的深度有關[9]，為了提高上瓦楞輥和壓力輥的抗磨損能力，輥體材料采用具有超高硬度的48CrMo，振動過程中，其切入深度和相對速度都較小，所產生的阻尼力與接觸力相比可忽略不計，只需考慮兩輥之間的接觸剛度所產生的接觸力即可。簡化后的模型變成了兩自由度的振動系統，見圖3。

1.1 振動系統數學模型

簡化后的壓力輥機構的振動系統，一共具有兩個自由度，分別為θ1，θ2，根據拉格朗日的理論來建立系統的振動微分方程，考慮到阻尼引起的熱能耗散[10]，n自由度系統的拉格朗日方程可寫為

(2)

1、6-皮囊氣缸;2、7-伺服電動缸與偏心輪等效機構;3、8-液壓缸;4-壓力輥;5-壓力輥與上瓦楞輥的嚙合;9、10-壓力輥支架
圖3 壓力輥機構簡化模型
Fig.3 The simplified model of pressure roller mechanism

(3)

壓力輥的動能和勢能

其中，M1為壓力輥的質量，J1為壓力輥相對于質心的轉動慣量。

左端壓力輥支架的動能、勢能和耗散能

右端壓力輥支架的動能、勢能和耗散能

其中，J2為壓力輥支架相對鉸鏈的轉動慣量。

分別把壓力輥機構各部分的動能、勢能，以及耗散能代入L=T-U和D中，再代入式(2)中，可得到壓力輥機構系統標準的振動微分方程

(4)

式中：M為質量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣，以及P(t)和θ分別為

1.2 系統振動模型求解

(1)液壓缸等效剛度K3、等效阻尼C3的確定

剛度K3的大小與液壓油的體積彈性模量有關，可根據式K3=GA/L計算得到[12]，其中A為液壓缸的工作面積，L為液壓缸一端油液的液柱長度，G為液壓油的體積彈性模量，在一定范圍內會隨著工作壓力升高而增大[13]。C3為黏性阻尼，嚴格意義上來說與P、V、T都有關系，但P、V對它影響較小，且實際的動態過程可視為等溫過程，可把液壓缸的黏性阻尼視為常數，一般通過實驗測試得到，根據文獻[14]，相同尺寸型號的液壓缸阻尼可取C3=1.325 5×104Ns/m。

(2)接觸剛度K21、K4，接觸阻尼C21確定

根據廣義的Hertz接觸理論來計算接觸剛度[15]和接觸阻尼[16]的大小

(5)

(6)

式(5)中：R1和R2分別為兩個接觸體的曲率半徑；E1、μ1和E2、μ2分別是兩個接觸體的彈性模量、泊松比。式(6)中K為接觸剛度，e取值為0.5，為碰撞過程的恢復系數，v0為物體發生碰撞時的初始相對速度，δ為碰撞過程中的兩物體相對變形量，m為兩接觸體的綜合質量。對于本研究中接觸體材料的參數見表1。

表1 接觸物體材料具體參數Tab.1 The specific parameters of contact body

將數據代入式(5)和式(6)中，可求得K4=7.433×109N/m，K21=5.375×1010N/m，C21=4.292×105Ns/m。

壓力輥振動的過程中，偏心輪與壓力輥支架并不是一直接觸的，當伺服電動缸調整好后，在皮囊氣缸和液壓缸的加壓作用下，偏心輪會存在一定的預壓縮量，使得壓力輥支架向下轉動角度θe，當θ>θe時，偏心輪與壓力輥支架分離，當θ≤θe時，偏心輪與壓力輥支架接觸，因此，壓力輥機構是含有間隙的碰撞振動系統，具有很強的非線性和不連續性。含有非線性因素的振動系統求解會變得非常的困難，可根據線性平均法[17]對其進行線性化的處理，由于振動角位移引起的非線性因素如下所示

(7)

式(7)中A為壓力輥振動角位移幅值，為了便于對K21進行線性化的計算，這里設振動角位移θ=Acos(φ)，φ對應于偏心輪變形得到的角度，與偏心輪的靜剛度有關，因此，剛度K21可表示為

(8)

(3)微分方程的求解

壓力輥機構的固有頻率與阻尼沒有關系，只需令P(t)=0，就可以得到壓力輥機構系統的自由振動方程

(9)

令行列式|K-ω2M|=0，可求得系統的固有頻率

(10)

通過測量與計算，壓力輥機構的具體參數見表2。

表2 壓力輥機構參數Tab.2 The parameters of pressure roller mechanism

將上述參數代入方程，可以求得固有頻率，再代入式(9)，可以計算得到正則振型矩陣

式(4)的振動方程中，存在著慣性耦合和彈性耦合項，不能直接進行求解，可引進正則坐標和正則振型，使方程解耦，令：θ=Ψξ

那正則坐標下的系統振動方程可寫成

(11)

其中

由此，可把式(11)寫成兩個相互獨立的單自由度振動方程

(12)

(13)

對式(12)、(13)進行求解，可分別求得自由振動ξ1、強迫振動ξ2，再代入θ=Ψξ，可得到

對于自由振動ξ1，在穩態階段已衰減為0，因此系統穩態階段的響應為：θ1=θ2=ξ2，式(13)穩態階段的響應即為系統的解。

中心距是呈周期性變化的，周期T=2π/w0z，w0為上瓦楞輥的角速度，在一個周期內，中心距的表達式為O1O2=R2cosα1+R2cosα2，其中，R1為上瓦楞輥齒頂圓弧的圓心所在圓的半徑，R2為壓力輥的半徑與上瓦楞輥齒頂圓弧半徑之和，由于R1與R2非常接近，因此，α1≈α2=w0t，中心距的表達式可寫成

O1O2=(R1+R2)cosα1=(R1+R2)cosω0t

進一步可得到中心距變化量x0的表達式

x0=(R1+R2)-O1O2=

(R1+R2)(1-cosω0t)

(14)

把式(14)代入式(13)中，可以得到

K4L(R1+R2)(1-cosω0t)

(15)

式(15)的右邊并非簡諧函數的形式，需要對其進行諧波分析，將激振力轉為一系列不同頻率的簡諧函數相加的形式，再使用疊加原理求得系統的穩態響應。

式(15)右邊經諧波分析后可得

其中，ω1=2π/T=ω0z，此時令

可以得到系統的穩態響應為

(16)

上式的二階微分即為穩態響應的加速度

(17)

2 試驗與實例分析

2.1 試 驗

為了驗證所建模型的準確性，有必要對壓力輥進行振動測試。瓦楞輥(輥型為C坑，齒數z=194)的線速度為v=180 m/min=3 m/s，R=0.248 75 m，嚙合頻率為f=vz/2πR=372.4 Hz。瓦楞機工作時，壓力輥隨著上瓦楞輥轉動同時，還繞著壓力輥支架擺動中心作上下振動。受到瓦楞機結構和實驗設備的限制，難以直接測量壓力輥支架的振動角加速度信號。因為壓力輥支架變形極小，可看成是剛體，可以在壓力輥支架上安裝線加速度傳感器，測量該點的線加速度信號，如圖4所示(l=100 mm，為壓力輥支架上傳感器安裝位置與固定鉸鏈的距離)。根據ε=αl，將理論求解得到的角加速度轉化為線加速度，再與測試信號進行對比，以驗證模型的準確性。實驗中采用的是PCB壓電公司生產的NI數據采集器以及與之相配套的加速度傳感器。考慮到上瓦楞輥與壓力輥的嚙合頻率，取采樣頻率為6 400 Hz，當瓦機工作線速度穩定時，采樣1 s。

圖4 壓力輥機構振動測試實驗Fig.4 Vibration test on pressure roller mechanism

2.2 數據分析

通過數據采集器采集到的振動信號數據往往疊加了隨機噪聲信號，還會因為測試儀器溫度的變化造成零點漂移而使信號含有不規則的趨勢項[18]。本文采用多項式擬合最小二乘法去除信號中的趨勢項，再使用五點三次平滑法對信號進行預處理[19]，以消除原始信號中含有的高頻隨機噪聲，提高信號的平滑度，再將理論曲線與實驗曲線進行對比，見圖5。通過傅利葉變換對兩種方法得到的數據進行頻譜分析，得到了頻譜圖，見圖6。

(a)1 s內加速度曲線

(b)0.12 s附近放大圖圖5 振動加速度時域波形曲線Fig.5 The time domain waveform of vibration acceleration

從圖5可以看出，無論是波形還是幅值，實驗測試加速度曲線與理論曲線都非常接近。相比理論曲線，實驗測試的時域曲線波峰后半側有較為明顯的下降。這主要是因為在建立模型過程中，使用了線性平均法對偏心輪結構與壓力輥支架的接觸剛度進行了線性化的處理，計算到的剛度值是一個平均值。而在實際結構中，由式(7)可知，當壓力輥支架的振動角位移θ>θe，此時偏心輪結構的實際剛度應為零，在外部激勵作用下的實際加速度應較小一些。當機構繼續向下振動，使得壓力輥支架與偏心輪結構接觸時，會產生二次沖擊，使得實測加速度突然升高，然后再緩慢下降。但總體上，實測加速度曲線與理論曲線基本重合，兩者的誤差非常小，也由此證明了對模型進行線性化處理的合理性。

(a)理論加速度頻譜

(b)實驗加速度頻譜圖6 加速度頻譜Fig.6 Vibration acceleration frequency spectrum

由圖6可以發現，兩者的特征頻率成分幾乎是一致的，頻域上振動加速度的頻率成分主要包含了嚙合頻率(372 Hz)、兩倍頻以及三倍頻，更高次的倍頻成分幅值已接近于零。實驗數據的兩倍頻和三倍頻成分幅值有所增大，這主要是因為瓦楞機在工作一段時間后，壓力輥的表面和兩端的軸承會發生磨損，造成壓力輥偏心轉動，出現動不平衡，使得倍頻成分的幅值比理論頻譜有所變大。另外，由于條件的限制，測試現場的噪聲非常大，平滑處理只能消除高頻成分的隨機噪聲，對于低頻噪聲，尚沒有很好的算法進行消除。因此，測試信號疊加的低頻隨機噪聲會使實驗測得的幅值比理論解析求得的幅值有所變大。

3 分析與優化

瓦楞機實際工作過程中，其線速度并不是固定的，一般可在120～190 m/min進行調節，以適應不同工況的需要。新型壓力輥機構的振動情況與激振頻率緊密相關的，而激振頻率是與瓦楞輥的線速度成正比的。因此，瓦楞機的線速度是影響新型壓力輥機構振動的主要因素之一，需要分析壓力輥機構在瓦楞機常見的線速度范圍內的振動情況。因此，作出了新型壓力輥機構中壓力輥支架振動角加速度幅值、激振頻率隨著線速度變化的曲線，見圖7。

由圖7可以發現，隨著瓦楞機線速度的提高，振動會越來越劇烈，當線速度達到165 m/min時，此時的激振頻率為341.3 Hz，與機構的二階固有頻率非常接近，造成機構的共振，振動加速度顯著增大。因此，在為瓦楞機選擇合理的線速度時，應盡量避開壓力輥機構共振區所對應的線速度，以避免機構振動過大。

圖7 振動角加速度幅值、激振頻率隨工作線速度的變化Fig.7 The variation amplitude of angular acceleration and excitation frequency with the speed of working line

為了驗證新型壓力輥機構的減振性能，有必要和舊式壓力輥機構的振動特性進行對比。舊式壓力輥僅僅由皮囊氣缸加壓，使用電動推桿、偏心軸調節頂桿的位置來實現對壓力輥的調節，其振動方程具有與式(11)相同的形式，將相關參數代入，使用MATLAB作出新舊壓力輥隨線速度變化的振動幅值曲線，如圖8所示。在共振區，舊式壓力輥的振動幅值明顯較大，嚴重影響了瓦楞紙板的黏合效果。采用新型壓力輥機構，振動幅值由0.024 3 mm下降到了0.014 8 mm。

圖8 壓力輥振動幅值隨工作線速度的變化Fig.8 The variation amplitude of pressure roller with the speed of working line

為了避免壓力輥機構在常見的線速度范圍內發生共振，更好提升新型機構的性能，本研究對新型壓力輥機構進行了進一步的改進。由式(10)可知，壓力輥機構的固有頻率與剛度K2、K3有關。綜合考慮到結構尺寸的限制和成本，增大偏心輪半徑到135 mm，增加L22到380 mm，可將剛度K2增大到3.861×109N/m。選用有效直徑更大液壓缸，增大缸徑到120 mm，增大工作壓力到10 MPa，可將剛度K3增大到3.25×108N/m。作出了機構進一步改進后的壓力輥振動幅值曲線，見圖8。

從圖8可以發現，瓦楞機線速度在120～190 m/min之間變化時，新型壓力輥振動幅值顯著減少。并通過進一步的優化，提高了機構的固有頻率，使得瓦楞機工作頻率帶繞開了機構的共振頻率，并使振動幅值進一步降低。受到瓦楞輥，壓力輥，以及輥兩端軸承磨損的影響，為避免出現嚴重的動不平衡，目前，該型號瓦楞機的線速度一般不會超過200 m/min，該減振方案是可行的。

4 結 論

對單面瓦楞機一種新型的壓力輥機構進行了動力學建模，根據廣義Hertz接觸理論計算模型中的接觸剛度和接觸阻尼的大小，考慮系統中非線性因素的影響，對模型進行了線性化處理，求解得到了系統的振動響應，并與振動測試得到的加速度信號進行對比，驗證了模型的準確性。

最后對比了新舊壓力輥機構的振動特性，并對新型壓力輥機構進一步優化，通過增大剛度K2、K3提高了機構的固有頻率，避開瓦楞機正常工作線速度下的激振頻率，避免了共振的發生，進一步減少了壓力輥的振動幅值，提高了瓦楞紙板的成型質量。