概率問(wèn)題解決能力微探

羅靜　徐文峰

摘 ? 要：文章以數(shù)學(xué)教學(xué)專(zhuān)業(yè)碩士的一道期末考試題作為研究材料，對(duì)學(xué)生概率問(wèn)題解決能力做一個(gè)初步的分析，得出學(xué)生習(xí)慣用弱方法解決概率問(wèn)題且忽略強(qiáng)方法的運(yùn)用是錯(cuò)誤率高的原因之一。文章從波利亞解題四個(gè)步驟分析，指出錯(cuò)誤集中在“理解題目”和“執(zhí)行方案”兩步，從而推斷出沒(méi)有很好執(zhí)行第四步“回顧”是學(xué)生未能糾正錯(cuò)誤最主要的原因。

關(guān)鍵詞：考試題;問(wèn)題解決策略;回顧

作者簡(jiǎn)介：羅靜，廣東省韶關(guān)市韶關(guān)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師，博士研究生，研究方向?yàn)閿?shù)學(xué)基礎(chǔ)教育、高等數(shù)學(xué)教育（廣東 ?韶關(guān) ?512005）;徐文鋒，廣東省廣州市華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院講師，研究方向?yàn)榘肴豪碚摷案叩葦?shù)學(xué)課程與教學(xué)。（廣東 ?廣州 ?510000）

基金項(xiàng)目：本文系廣東韶關(guān)學(xué)院第十八批教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)導(dǎo)向的‘高等數(shù)學(xué)教學(xué)探討與實(shí)踐”（課題編號(hào)：SYJY20171844）與廣東韶關(guān)學(xué)院2015年度科研項(xiàng)目“韶關(guān)學(xué)院高等數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀與調(diào)查研究”（課題編號(hào)：S201501021）;廣東韶關(guān)學(xué)院2016年度科研項(xiàng)目“雙循環(huán)半群上同余研究”（課題編號(hào)：SY2016KJ21）的研究成果。

中圖分類(lèi)號(hào)：G652 ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A ? ? ?文章編號(hào)：1671-0568（2019）23-0024-03

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》在基本理念中提出“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)，啟發(fā)思考，改進(jìn)教學(xué)”，這是對(duì)教師教學(xué)提出的新要求。現(xiàn)有的研究大多根據(jù)學(xué)生或教師的角度，用問(wèn)題解決的專(zhuān)用問(wèn)卷分析學(xué)習(xí)和教學(xué)情況，這些專(zhuān)用問(wèn)卷都是針對(duì)大范圍的能力水平測(cè)試，沒(méi)有面向教學(xué)中具體模塊，如概率問(wèn)題解決能力的小范圍測(cè)試問(wèn)卷，因此，合理應(yīng)用常規(guī)的測(cè)驗(yàn)對(duì)問(wèn)題解決能力進(jìn)行評(píng)估是很重要的。本文以2017級(jí)數(shù)學(xué)教學(xué)專(zhuān)業(yè)碩士的一道期末考試題的答題情況作為研究材料，從問(wèn)題解決策略的角度對(duì)學(xué)生答題情況進(jìn)行分析研究，并從波利亞解題四個(gè)步驟分析學(xué)生錯(cuò)誤的原因，為小范圍的概率問(wèn)題解決存在的問(wèn)題的初步評(píng)估和分析提供參考。

一、 試題與答題情況分析

參加本次考試的學(xué)生共57人，最終得到57份答卷。

試題為：一個(gè)酒鬼的鑰匙串上有k條看起來(lái)相同但實(shí)際上不同的鑰匙，其中只有一條可以打開(kāi)他家的大門(mén)。午夜回家，他一條鑰匙接一條鑰匙地嘗試開(kāi)自家的大門(mén)。

（1）如果每一次他都隨機(jī)地選擇沒(méi)有試過(guò)的一條鑰匙，那么在試到第n次（1

（2）如果每一次他都從k條鑰匙中隨機(jī)選擇一條，那么在試到第n次（1

解題情況如表1（P25）所示。從綜合情況看，共17個(gè)（其中完全正確有9人）學(xué)生能正確選擇分步乘法原理解決問(wèn)題，可見(jiàn)學(xué)生對(duì)這個(gè)方法是最熟悉的。結(jié)果表明，沒(méi)有學(xué)生用古典概型來(lái)解決問(wèn)題，正確使用分類(lèi)乘法的9位學(xué)生中，也沒(méi)有在解答過(guò)程中對(duì)“事件”進(jìn)行界定，只是直接給出算式和答案。

解題失敗的類(lèi)型集中在錯(cuò)誤一與錯(cuò)誤二：首先，關(guān)注“第n次打開(kāi)門(mén)的概率”這個(gè)條件的有21人，其中15人答案為，6人答案為。他們忽略了題目中的其他條件，屬于未理解題意;其次，有8位學(xué)生雖正確選擇了分步乘法原理，但是答案為，其原因是分步中的每一步概率均錯(cuò)寫(xiě)為開(kāi)門(mén)的概率，屬于理解題意并已得到解題方案，但是在執(zhí)行方案時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤。

第（2）問(wèn)的答題情況和第（1）問(wèn)基本相同。第（1）問(wèn)中屬于錯(cuò)誤一和錯(cuò)誤二的所有29個(gè)學(xué)生均用同一錯(cuò)誤方法;在正確的結(jié)果中，第（1）問(wèn)用解法一的學(xué)生用同樣的方法解決了第（2）問(wèn)。從以上分析可見(jiàn)，學(xué)生把兩問(wèn)看成密切相關(guān)的整體，毫不猶豫地延用解題模式解決第二個(gè)問(wèn)題。

答題情況并不理想。只有18位學(xué)生得到正確答案，且其中9位在解題過(guò)程中存在一些問(wèn)題，其余39位學(xué)生均出現(xiàn)明顯的錯(cuò)誤。從答題者對(duì)概率知識(shí)掌握情況分析，他們對(duì)“基本事件”和“古典概型”均未達(dá)到理解的層次。對(duì)問(wèn)題的基本事件進(jìn)行準(zhǔn)確的界定，是解決概率問(wèn)題的第一步，也是必不可少的關(guān)鍵步驟，確定基本事件及其發(fā)生的概率是理解問(wèn)題本質(zhì)屬性最有效的方法。從答題情況來(lái)看，缺乏對(duì)基本事件清晰的界定，是本題正確率低的重要原因之一。 基本事件的相關(guān)定義和古典概型均是教育部2003年頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《實(shí)驗(yàn)版》）中新加入的內(nèi)容，計(jì)數(shù)原理一直是高中數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容，在《實(shí)驗(yàn)版》中調(diào)整為必修2-3的內(nèi)容。由本次解題情況，可見(jiàn)新增加概率的知識(shí)雖然是必修課的內(nèi)容，但是此次答題的學(xué)生未真正理解和掌握。對(duì)比兩問(wèn)的答題結(jié)果，解題思維慣性也是犯錯(cuò)的一個(gè)重要原因，沒(méi)有深入思考兩個(gè)問(wèn)題的本質(zhì)區(qū)別，失去了糾正錯(cuò)誤的機(jī)會(huì)。

二、概率問(wèn)題解決研究視角

1. 從解題策略分析。解決問(wèn)題的策略一般有兩種類(lèi)型：強(qiáng)方法和弱方法，還有學(xué)者提出知識(shí)類(lèi)型法作為第三種解題策略。

弱方法是當(dāng)解決者并不知道怎么直接解決問(wèn)題時(shí)所求助的一種通用的問(wèn)題解決策略，這種一般性的啟發(fā)式稱(chēng)作差異遞減法，其中最著名的就是“爬山法”和“手段—目標(biāo)分析”。應(yīng)用分步乘法原理解決第（1）問(wèn)就是“爬山法”模式。“手段—目標(biāo)分析”這種啟發(fā)式和“爬山法”的不同在于問(wèn)題解決者能把一個(gè)問(wèn)題分解為若干個(gè)子問(wèn)題，典型的例子有解決河內(nèi)塔問(wèn)題的目標(biāo)遞歸策略，不完全歸納法也是這一問(wèn)題解決策略的應(yīng)用。用弱方法解決問(wèn)題是重新組合規(guī)劃已有的技能，并有可能進(jìn)一步概括出解決此類(lèi)問(wèn)題的強(qiáng)方法，有研究者認(rèn)為這對(duì)學(xué)習(xí)者而言是新的學(xué)習(xí)結(jié)果，是真正的問(wèn)題解決。而弱方法最大的缺點(diǎn)是很難判斷問(wèn)題是否得到正確地解決，其效率比較低且經(jīng)常會(huì)無(wú)功而返。從本題答題情況來(lái)看，38個(gè)用分步乘法的學(xué)生中的29人錯(cuò)誤理解題目信息而解題失敗。這恰恰驗(yàn)證了雖然弱方法可以解決很多非良構(gòu)問(wèn)題，但如果弱方法涉及的是來(lái)自記憶或情境中的不正確信息就會(huì)直接導(dǎo)致錯(cuò)誤。因此“講授這些方法是否應(yīng)該成為教育的首要目標(biāo)則是值得懷疑的”。