借助幾何直觀 提高計算能力
——以《乘法和除法復習》一課教學為例

江蘇省蘇州工業園區景城學校 李沛璇

幾何直觀主要是指用圖形描述問題和分析問題，幫助學生把復雜的數學問題變得簡明和形象，促進學生獲得探索解決問題的思路和預測結果。低年級學生數學知識的形成更多地依賴于直觀，怎樣用直觀的方式表現抽象的數學知識是教師需要思考的。許多數學內容、概念，不僅具有“數的特征”，也有“形的特征”。對于數學計算教學而言，不妨利用圖形的幾何直觀，以數形結合的方式，幫助學生理解和學習抽象的內容與方法，把握計算的本質，進行數學思想方法的滲透，促進學生的數學思維發展。本文以《乘法和除法復習》為例，談談幾何直觀在教學中的運用。

一、由數到形，結合幾何直觀體會算式本質

片段一：由算式編題。

同學們，今天我們來復習乘法和除法（出示板貼：乘法和除法復習），大家拿出課前的學習單，一起交流，你是怎樣認識乘法和除法的。

出示學習單：

1.2×6 12÷3

（1）上面的乘法算式是（ ），你能畫圖表示這道算式并編一道題目嗎？

畫圖：

題目：

（2）上面的除法算式是（ ），你能畫圖表示這道算式并編一道題目嗎？

畫圖：

題目：

反思：在乘法和除法已經學過的情況下，本節復習課最需要做的就是整合乘法和除法的知識點，把乘法和除法還原到最本質的含義，建立乘除法的知識關聯體系，使學生在理解形與數的基礎上，有效提取并建構抽象數的算理與規律。在課的一開始以學習單的形式出現，由算式想到畫圖形編題目，結合幾何直觀和數學表達，整合乘法和除法的知識，這個知識正是本課需要讓學生理解的核心部分。教學過程中，學生經歷了畫一畫、編一編、說一說的表征過程，體驗了從算式到圖形，再到設計題目的過程，這個過程由數到形，借助幾何直觀，化抽象為具象，在交流和比較中激活學生的主觀能動性，讓學生能真正理解算式的本質，意識、體會到結合幾何直觀的作用，滲透數形結合的思想。

二、多層次對比，借助幾何直觀建構知識體系

片段二：復習乘法。

1.2個6。

第1題，誰先來。一生上前，作業投影匯報。

生1：我畫的圖是有兩份，每份6個，一共有12個圓片。

師：聽出來了，他用了2個6（在作業紙上標注6，6）來表示算式2×6。

故事呢？生繼續匯報。

師：他的故事能不能用2×6來表示？打√。（小組加星）設疑：這位同學用2個6表示2×6，有沒有其他不一樣的想法的？

2.6個2。

生2：我畫的圖有6份，每份2個，一共有12個。

師：剛才那位同學畫的是2個6，他畫的是？（在圖上標注 2，2，2，2，2，2）畫了幾個 2？你的故事是？能用2×6表示嗎？打√。（小組加星）

3.對比小結。

這2個圖，我們來比比看，有什么相同，有什么不同？（放在一起）

生3：都是12個，不同的是一個是2個6，另一個是6個2。

師：不管是2個6還是6個2，都是用（板書：幾個幾）來表示一共有多少個？（板書：一共）

換一種說法，知道了幾個幾要求一共有多少個？（板書：弧線）可以用什么方法來算？（板書：×）

設疑：知道幾個幾合起來求一共多少用乘法計算，那什么時候用除法呢？

片段三：復習除法。

1.包含除。

還是來看學習單。生匯報。

△△△ △△△ △△△ △△△

師在作業紙上寫：每份3個。他的故事可以用12÷3表示嗎？有不同想法嗎？（把除數3與其中一圈連起來）（小組加星）

2.等分除。

一生上前，展示作業。

△△△△ △△△△ △△△△

師：他怎么理解這個除數3的？（板書在作業上：3份）（把除數3與三個圈分別連起來）（小組加星）

3.對比小結。

師：兩份作業放一起對比。他們對3有了不同的理解，一個是？一個是？每份是3個也好，還是3份也好，都在把誰，怎么樣？是呀，不管是分蘋果，分梨……只要每份同樣多，都可以用除法表示，在這里除法就表示（平均分）。

師：現在知道什么時候用除法嗎？生答。（小組加星）

師：結合黑板上的圖，就是把一共的個數？（弧線向左）平均分成了？（幾個幾）（板書：÷）

4.總結。

師：通過剛才的學習，你來說說什么時候用乘法？什么時候用除法？看來，乘法和除法之間還是有關系的。正過來想是乘法，反過來想就是除法。同桌兩人互相說說自己的學習單，看對方會給你提出什么好的建議。大家真是學習的小主人。

反思：

第一層對比：兩種除法含義的對比。在教學除法的過程中，發現學生對于包含除和等份除理解不到位，不能區分出兩者的不同，所以在本節復習課上，筆者著重強調了兩種除法含義的區別，借助幾何直觀，從除數3的兩個不同含義（即表示有3份或每份有3個）入手，用箭頭來強調區別，幫助學生來比較和區分。

第二層對比：兩種乘法含義的對比。其中，乘法算式2×6可以有兩種理解，一個是2個6，一個是6個2，借助幾何直觀，學生對比兩幅圖可以明確區分并且表達出兩種不同的含義。

第三層對比：乘除法的對比。借助幾何直觀，學生發現乘法是把幾個相同數合起來，而除法是把總數平均分，通過展示交流學生畫的圖，直觀清楚地解釋了其間的關聯與區別，建構乘法和除法的知識體系，使學生在這個過程中體驗到幾何直觀的作用，感受數形結合的數學思想，體會數學學習的樂趣。

三、由形到數，運用圖形演繹發散思維

片段四：圖形→算式。

師：現在我們來看看每個小組得了幾顆星？（每個組都是5顆星）同學們，你們表現得真棒！看到這個圖你能想到什么算式？

生匯報：5×3＝15，3×5＝15，15÷5＝3，15÷3＝5（師板書）。

生補充：5+5+5=15。

師：你說的是加法，你覺得和上面誰可以做朋友？

預設：

生：加和乘是把一個東西合起來，減和除是把一個東西分下來。

師：（在黑板上“×”旁邊寫上合）加法和乘法你更喜歡哪個？為什么？

生：乘法，求幾個相同加數的和用乘法比較簡單。

師：你還想到什么？

生：15-5-5-5＝0。

師：寫在哪？

生：除法算式的下面。

師：每次減5，減了3次5等于0，說明15里面有3個5，像這樣從一個數里連續減去相同的數，就可以用除法算式來表示。你們喜歡哪種表示方法？

生：除法，因為更簡潔。

（在黑板上“÷”旁邊寫上分）

小結：大家表現真棒，由圖形想到乘，想到除，還想到加，想到減。剛剛兩組同學回答特別積極，分別加上一顆星。現在圖片發生了什么變化？你會列算式嗎？

大家在作業本上列一列算式。

誰來匯報，并說說你是怎樣想的？

生：2×6+5＝17；3×6-1＝17。

反思：利用分組評價得星的圖，就地取材，結合幾何直觀創設情境，用同一圖形給出一個問題，引發學生思考，鼓勵學生發言交流，再對圖形進行一些變化，把加減乘除、乘加乘減等算式都聯系起來，有利于直觀呈現學生感知的數學事實，有助于學生感知其中的內在聯系。從學生的答案中來看，借由數形結合與比較辨析，溝通了除法和減法之間的關系，突破了難點。此間，可以幫助學生進行發散性思維的培養——舉一反三、逆向思維等，學生通過這樣的課程教學，思維得以拓展，學習能力會顯著提升。?