基于數學計算的一種專用服裝模型分析

李曉寧

摘要：本文通過對數學進行一定的模擬與仿真算法，針對高溫防護服的特點進行分析，并結合熱力學的相應知識，得到了高溫防護服的溫度分布模型，并使用有限差分方法來求出該分布模型。針對材料厚度進行最優算法分析，使用拉格朗日乘子法將優化問題轉換成無約束的優化問題，在其中使用遺傳算法來搜索最優的解。

關鍵詞： 熱方程 制約條件 遺傳算法

1 背景概述

在高溫環境下工作時，人們需要穿著專用服裝以避免灼傷。專用服裝通常由三層織物材料構成，記為I、II、III層，其中I層與外界環境接觸，III層與皮膚之間還存在空隙，將此空隙記為IV層。

為設計專用服裝，在進行理論設計分析中，需要將體內溫度控制在37?C的假人放置在實驗室的高溫環境中，測量假人皮膚外側的溫度。為了降低研發成本、縮短研發周期，得通過建立數學模型來計算得到滿足不同條件下的最優厚度，并求出相應的溫度分布進行有關算法的求解與論述。

2 相關分析

2.1 求解特定條件下的服裝溫度的分布

對服裝溫度進行建模，由于該模型涉及到溫度傳導，故用了熱力學傳導方程。因為服裝具有四層不同屬性的層，因此建立了四個一維偏微分方程。熱力學傳導方程的求解，需要確定邊界條件，初始條件，將環境溫度設置成邊界條件，將初始溫度設置成與人體體溫相同的溫度。最后，通過有限差分方法來完成對偏微分方程的求解。

由于II層的厚度不固定，因此將引入一個決策變量來表示該層的厚度。根據偏微分方程可以得到人皮膚外側的溫度是一個與時間，II層厚度有關的一個函數。需要在該函數滿足特定的條件下，求得最優的厚度，這是一個具有約束條件的最優化問題，為此使用拉格朗日乘子法，使該問題變成一個無約束優化問題。最后，使用遺傳算法來對該最優化問題進行求解，從而得到最優的厚度。

2.2 使用有限差分方法求解熱力學方程

有限差分方法的思想如下： 基本思想是把連續的定解區域用有限個離散點 構成的網格來代替，這些離散點稱作網格的節點; 把連續定解區域上的連續變量的函數用在網格上定義的離散變量函數來近似：把原方程和定解條件中的微商用差商來近似，積分用積分和來近似，于是原微分方程和定解條件就近似地代之以代數方程組，即有限差分方程組，解此方程組就可以得到原問題在離散點上的近似解。然后再利用插值方法便可以從離散解得到定解問題在整個區域上的近似解。

最后可以使用遺傳算法來最優化II層厚度

有上式式子的結果與運算技巧以及所得有關參數的矩陣

2.3 遺傳算法部分

遺傳算法（Genetic Algorithm， GA）是模擬達爾文生物進化論的自然選擇和遺傳學機理的生物進化過程的計算模型，是一種通過模擬自然進化過程搜索最優解的方法。遺傳算法的基礎過程如下：

初始化：設置最大迭代進化次數T，隨機生成M個個體作為初始種群P（0）;

個體評價：計算當前種群P（t）中的個體適應度;

選擇：在個體評價之后，對群體進行選擇操作目的是將優秀個體的基因通過組合配對交叉遺傳到下一代種群中;

交叉：遺傳算法中的核心部分;

變異：在個體基因的基礎上進行變動，模擬自然界的基因突變，其變異結果的好壞不定;

3 模型的誤差分析與靈敏度分析

因為問題一中給出了真實的數據，因此將通過對仿真的結果與真實數據進行對比做誤差分析。問題一中給出了一個90分鐘的溫度變化表，通過將該表與我們生成的數據放入在同一張圖里面進行對比，如圖六所示

從圖中可以看出，兩條曲線在剛開始的時候趨勢十分接近，但是隨著時間的推進誤差趨于穩定。通過曲線對比最后部分的數據，可以得到仿真曲線與真實曲線相差為0.8度左右，是一個比較理想的誤差范圍。

總之，雖然仿真的模型具有一定的誤差，但是可以反映真實曲線的趨勢，因此體現了模型的合理性與正確性。

4 結語

本文中所設計的模型具有很好的通用性及其魯棒性。尤其是針對目前的高溫服裝設計具有很強的實用性，還可以適用于許多熱力學傳導方程的模型。若將本模型應用到科學實驗領域與生活領域，將能夠解決許多問題。

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