解讀函數的“零點”

張敏

【內容摘要】函數的圖像與橫軸的交點的橫坐標稱為這個函數的零點.由此知，從“形”的角度來理解，函數的零點就是函數的圖像與橫軸的交點的橫坐標;從“數”的角度來理解，函數f（x）的零點就是方程f（x）=0的解.

【關鍵詞】函數 解讀

一、函數的零點個數

因為函數f（x）的圖像與x軸的交點個數，就是方程f（x）=0的解的個數，也就是函數f（x）的零點個數，所以要確定函數f（x）的零點個數有如下兩個途徑：①結合函數f（x）的圖像與橫軸的交點個數確定結論;②借助方程f（x）=0的解的個數確定結論。

二、函數零點的存在性

若函數f（x）在閉區間[a，b]上的圖像是連續曲線，并且在區間端點的函數值符號相反，即f（a）·f（b）<0，則在區間（a，b）內函數y=f（x）至少有一個零點，即相應的方程f（x）=0在區間（a，b）內至少有一個實數解。

上述理論依據的內涵與外延：

1.由該判定方法可以得到函數f（x）在閉區間[a，b]上存在零點，但不能判斷具體有多少個零點。

2.反之不一定成立，即若函數y=f（x）在閉區間[a，b]上的圖像是連續曲線，且函數f（x）在（a，b）內有零點，但不一定滿足f（a）·f（b）<0。

3.若函數y=f（x）在閉區間[a，b]上的圖像是連續曲線，且f（a）·f（b）>0，則f（x）在（a，b）內可能沒有零點，也可能至少存在一個零點。

4.如果函數的圖像是連續的，那么在相鄰的兩個零點之間的所有函數值的符號相同。

三、與函數零點有關的規律和特點

1.函數f（x）有零點函數f（x）的圖像與x軸有交點方程f（x）=0有實數解。

2.函數F（x）=f（x）-g（x）有零點函數f（x）與g（x）的圖像有交點方程f（x）=g（x）有實數解。

3.函數的零點個數與函數的單調性、奇偶性、對稱性之間的關系。

（1）結合函數的單調性可確定唯一零點：若連續函數f（x）在[a，b]上是單調函數，且滿???? 足f（a）·f（b）<0，則方程f（x）=0在[a，b]內有唯一零點。

（2）結合函數的奇偶性可確定零點成對出現：若連續函數f（x）具有奇偶性，則函數f（x）在y軸左右兩側的零點成對出現。

（3）結合函數的對稱性也可確定零點成對出現：若連續函數f（x）的圖像關于直線x=a（或點（a，0））對稱，則直線x=a（（或點（a，0））左右兩側的零點成對出現。

4.借助函數的零點存在性理論，我們可解決如下問題。

（1）判斷或證明方程f（x）=0在閉區間[a，b]內有實數解.先求f（a）和f（b）的值，若滿足f（a）·f（b）<0，則有實數解。

（2）說明方程f（x）=0的根的分布情況.關鍵是找到函數f（x）的零點在哪些較小的區間內（即找到函數f（x）的圖像與橫軸的交點在哪些較小的區間內），這樣就可以解決具體問題中方程的根的分布問題。

（作者單位：安徽省肥東縣第二中學）