淺析《一次函數》中如何求“點的坐標”

楊蘊芳

【內容摘要】本文通過例題講解，讓學生學會《一次函數》中求點坐標的四種常見方法：作垂線求點法、單線求點法、雙線求點法和設點法，為解反比例函數，二次函數中類似問題打下堅實的基礎。通過一題多解，試讓學生通過探索，思考，比較，靈活選用適當的方法求解，激發學生學習興趣，提升學生解題的靈活度和綜合解題能力。

【關鍵詞】求點的坐標 作垂線求點法 單線求點法 雙線求點法和設點法

《一次函數》中求點的坐標是初中數學的基礎知識，是學生必須掌握的基本技能。由點的坐標可求圖形的面積、周長，可求直線的解析式等等，故求點的坐標也是本章的重點。但是由于求點坐標的題目變化多，技巧多，題型多，故有的學生常常學完《一次函數》后，仍應用生澀，對如何求“點的坐標”望而生畏，故求點的坐標也是本章的難點。下面舉例說明此類題目的求解方法，希望能讓學生系統理解，從而提升學生的解題能力，并為今后解決反比例函數和二次函數中此類題目打下堅實的基礎。

方法一：垂線段法

根據點到x（y）軸的距離等于該點的縱坐標（橫坐標）的絕對值，就可以轉化為該點的坐標。為了好稱呼，可叫這種方法為“作垂線求點法”。這是最常規的求點方法之一。即把求點的坐標先轉化為求線段的長度，故這種求點方法滲透了轉化思想。以下題為例進行說明。

例1：一次函數y=43x+4的圖像分別交x軸、y軸于點A、B，在x軸上取一點C，使△ABC為等腰三角形，則這樣的點C有 個，C點的坐標為 .

【思路探尋】：本題滲透了分類思想和數形結合思想。先根據等腰三角形這一條件，可以分為3大類：第一類：AB=AC;第二類：BA=BC;第三類：CA=CB;然后確定圖形，在x軸上大體確定點C的位置。前面兩類都可以輕易求得相關線段的長度，輕松解決，但第三類求線段的長度，卻不能直接用幾何方法求得，而是設x列方程的代數方法求得。體現了求線段的方法的多樣性，提升學生的應變能力。

變式1：把“等腰三角形”改為“直角三角形”呢？

變式2：把“等腰三角形”改為△ABC的面積=4，求點C的坐標。

【歸納點評】這道題讓學生體會到：求點的坐標，首先能“定圖”先 “定圖”，圖形很直觀，通過數形結合，學生可以變抽象為具體，降低解題難度。接著優先考慮“作垂線求點法”三部曲求點。同時，通過變式題，學生能及時消化、及時鞏固，提升了學生的解題能力和靈活應用能力。

方法二：單線求點法

已知一個點的橫坐標或縱坐標，且該點所在的直線的函數解析式已知時，可以把已知坐標代入解析式求另一半坐標。由于只需知道該點所在的一條直線的解析式即可，故稱這種方法為“單線求點法”。同學們喜歡叫“代一半求一半”。

例2：已知直線y=2x-1上有一點A，到x軸的距離為2，求點A的坐標。（由條件可直接求的一半的坐標，代入直線的解析式，求另一半）

【思路探尋】這道題屬于易錯題，根據點到x軸的距離=點的縱坐標的絕對值，求得yA=±2，再根據點A在直線y=2x-1上，可代入yA求得XA.很多學生因為沒有看懂“距離”的含義，沒有分類導致失誤。這道題還可以改編為下面兩道變式題。從而開拓學生眼界，提升學生解題能力。

變式1：把“x軸”改為“y軸”呢？變式2：把“x軸”改為“坐標軸”呢？通過變式題讓學生得到充分的思考，能及時鞏固。

【思路探尋】“單線求點法”求點坐標的步驟可歸納為：第一步：根據條件求得點的一半坐標;第二步：求得點所在直線的解析式;第三步：代一半坐標求一半坐標。

方法三：雙線求點法

如果所求點為兩條直線的交點，兩直線的解析式已知或能求得，則可以利用直線的交點坐標即方程組的解，先解方程組，再轉化為點的坐標從而求得交點的坐標。

例3：如圖，矩形ABOC的頂點A的坐標為（-4，5），D是OB的中點，E是OC上的一點，當△ADE的周長最小時，E的坐標是（ ）

【思路探尋】（1）確定點的位置：因為定點A，D都在動點E運動的直線y軸上，所以要作D點關于y軸的對稱點D1，連接AD1，與y軸的交點就是E，此時，AE+DE最小;（2）求點的坐標：因為點E是直線AD1和直線y軸的交點，所以可用雙線法求交點的坐標。

【歸納點評】雙線法求點的坐標的步驟可歸納為：第一步：確認是兩條直線的交點;第二步：求得兩條直線的解析式;第三步：解方程組求交點的坐標。

方法四：設點法

當我們發現所求點用上面的三種方法都無法解決時，可以考慮先設點的一個坐標，然后看點在哪條已知直線上，代入表示出點的另一半坐標;接著，細心查找等量關系，利用代數方法（列方程）求解。

例4：如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知正比例函數y=34x與一次函數y=-x+7的圖像交于點A.

（1）求點A的坐標;

（2）設x軸上一點P（a，0），過點P作x軸的垂線（垂線位于點A的右側），分別交y=34x和y=-x+7的圖像于點B、C，連接OC，若BC=75OA求△OBC的面積。

變式：把“垂線位于點A的右側”這一條件去掉，仍求點P的坐標呢？

【解析】本題構造出直角三角形是解答此題的關鍵.（1）聯立兩一次函數的解析式求出 x、y 的值即可得出 A 點坐標;過點 A 作 x 軸的垂線，垂足為 D，在 Rt△OAD 中根據勾股定理求出 OA 的長，故可得出 BC 的長， 根據 P（a，0）可用 a表示出 B、C 的坐標，由BC=75OA可得出a的值即可得出結論;變式題加深了難度，垂線可以在交點A的左右兩側，所以本題可以分類。滲透分類思想、拓展學生思維的同時可及時鞏固求點的方法。

【歸納】設點法求點的坐標步驟：1設（設點的一個坐標）;2列（找到等量關系列方程）;3解（解方程）;4答（答出點的坐標）。

總之，求點的坐標常用方法有四種：垂線段法;單線求點法;雙線求點法和設點法。教學中，綜合考慮上面四種常見求點的方法，再根據題目的特點，選用恰當的方法解題，可以事半功倍。同時，能提升學生綜合應用能力，以及快速反應能力、綜合解題能力。學生通過系統科學的練習，提高求點、求線段、求面積的靈活性和技能，進一步滲透數形結合的思想，提升學生的邏輯思維能力、空間想象能力和合情推理能力。通過本文的學習，學生在今后的《反比例函數》，《二次函數》學習中可以類比對比學習，利用化歸思想可以使學習掌握的更快更好。

（作者單位：江蘇省昆山市第二中學）