幾種常見的有關圓的最值問題

文石愛英

（作者單位：山東省東營市勝利第六中學）

有關圓的最值問題，在中考中常常以選擇、填空的形式出現，這類試題“小而精”，但涉及的知識面廣，綜合性強。很多同學對解決這類問題常會感到束手無策。本文以常見的幾種類型入手，帶大家一起感悟解決這類問題的思路和方法。

一、利用垂線段最短求最值

例1 （2019·嘉興）如圖1，在⊙O中，弦AB=1，點C在AB上移動，連接OC，過點C作CD⊥OC交⊙O于D點，則CD的最大值為_______。

圖1

【分析】首先連接OD，因為OC⊥CD，根據勾股定理得CD2=OD2-OC2，因為OD是定值，所以當OC最小時，CD取到最大值。

解：連接OD，∴OC⊥CD，

根據勾股定理，有CD2=OD2-OC2，

∵OD是定值，

∴當OC最小時，CD最大，此時D與B重合，

【點評】本題考查了垂徑定理以及勾股定理，難度適中。掌握輔助線的作法，得到當OC⊥AB時，OC最短是關鍵。

二、利用對稱求最值

例2 如圖的直徑是AB上一動點，則CM+DM的最小值是cm。

圖2

【分析】如圖3，作點C關于AB的對稱點C′，連接C′D與AB相交于點M，根據軸對稱確定最短路線問題，點M為CM+DM最小時的位置，根據垂徑定理可得然后求出C′D為直徑，從而得解。

解：作C關于AB的對稱點C′，連接C′D，與AB相交于點M，如圖3，此時，點M為CM+DM最小時的位置，由垂徑定理得

圖3

∴C′D為直徑，

∴CM+DM的最小值是8cm。

【點評】本題考查了用軸對稱確定最短路線問題、垂徑定理，熟記定理并作出圖形，判斷出CM+DM的最小值等于圓的直徑的長度是解題的關鍵。

三、利用坐標求最值

例3 如圖4，在平面直角坐標系中，已知點A（1，0），B（1-a，0），C（1+a，0）（a＞0），點P在以D（4，4）為圓心，1為半徑的圓上運動，且始終滿足∠BPC=90°，則a的最大值是___。

圖4

【分析】首先得到AB=AC=a，根據條件可知PA=AB=AC=a，求出⊙D上的點P到點A的最大距離即可解決問題。

解：∵A（1，0），B（1-a，0），C（1+a，0）（a＞0），

∴AB=1-（1-a）=a，CA=a+1-1=a，

∴AB=AC，連接PA。

∵∠BPC=90°，

∴PA=AB=AC=a，

如圖4，延長AD交⊙D于P′，此時AP′最大，

∵A（1，0），D（4，4），

∴AD=5，

∴AP′=5+1=6，

∴a的最大值為6。

故填6。

【點評】本題重點考查了與圓有關的位置關系，抓住“過圓心與某點連接的直線的交點構成極值”是解決問題的關鍵。

四、構造相似三角形求極值

例4 問題提出：如圖5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CB=4，CA=6，⊙C半徑為2，P為圓上一動點，連接AP、BP，求AP+的最小值。

圖5

嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路。

如圖6，連接CP，在CB上取點D，使CD=1，

又∵∠PCD=∠BCP，

∴△PCD∽△BCP，

圖6

圖7

【分析】嘗試解決：連接AD，AP+最短為

圖8

拓展延伸：延長OA到點E，使CE=6，連接PE、OP，可證△OAP∽△OPE，得到 EP=2PA，得到 2PA+PB=EP+PB，當E、P、B三點共線時，得到EP+PB最小值。

圖9

解：

又∵∠PCD=∠ACP，

∴△PCD∽△ACP，

∴EP=2PA，

∴2PA+PB=EP+PB，

【點評】本題是一道綜合題，重點考查了勾股定理、相似三角形的判定和性質、極值的確定，還考查了同學們的閱讀理解能力，解本題的關鍵是根據材料構造出△PCD∽△ACP和△OAP∽△OPE，這也是解決本題的難點。