以圓為背景的比值問題

文洪高峰

（作者單位：江南大學附屬實驗中學）

圓具有軸對稱性、中心對稱性以及旋轉不變性，有很多性質隱藏其中，千變萬化。在圓背景下，解決比值類問題具有一定難度，需要同學們具備綜合分析和靈活運用的能力。縱觀近年中考試題，多地考查“以圓為背景的比值問題”，不少問題作為壓軸題呈現，能較好地考查同學們的綜合素養。下面結合具體問題，談一談如何解決此類問題。

例1 （2019·蘇州）如圖1，AB為⊙O的直徑，D是弧BC的中點，BC與AD、OD分別交于點E、F。

圖1

（1）求證：DO∥AC；

（2）求證：DE·DA=DC2；

【分析】第（1）問根據直徑所對的圓周角是直角以及等弧所對的圓心角相等、等腰三角形三線合一定理即可求解；第（2）問利用等弧所對的圓周角相等及相似形知識求解；第（3）問三角函數值作為求解的條件和結論，本質是運用和探求比值。因為初中數學中三角函數的定義與運用都是借助直角三角形，所以尋找、構造直角三角形就顯得尤為重要。我們通過補齊圖形，把問題放在等腰三角形和直角三角形中，先利用比值設輔元，再利用等面積法、勾股定理求線段長，最終問題得以解決。

（1）證明：如圖2，連接OC，

∴∠COF=∠BOF。

又∵OC=OB，

∴OD⊥BC，即∠OFB=90°，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB=90°，∴∠OFB=∠ACB，

∴DO∥AC。

圖2

（3）解：如圖3，連接BD并延長，交AC的延長線于點G。

圖3

【點評】三角函數值作為條件和求解結論，相當于知道一個比值，求另一個比值。根據三角函數的定義，要將問題放置在直角三角形中解決，所以首先想到的是尋找直角三角形或構造直角三角形。比值作為條件，可以利用比值設輔助未知數；比值作為求解結論，可以在某一直角三角形中求相關邊長，然后再求比值。

例2 （2019·連云港）如圖4，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以點C為圓心作⊙C與直線BD相切，點P是⊙C上一個動點，連接AP交BD于點T，則的最大值是 ____。

圖4

【分析】此題求比值的最大值，難度偏大。如圖5，如果作P雖可以轉化，但于事無補。所以嘗試將問題轉化，將求如圖6，作PG∥AD，將比值轉化成，由于AD是定值，則比值的最值問題就最終轉化為線段的最值問題，再作PQ⊥BD，進一步將問題轉化為⊙C上的點到直線BD上的點的最大距離問題。

圖5

圖6

解：如圖6，作PG∥AD，交BD于點G，

作PQ⊥BD，垂足為Q，

作CE⊥BD，垂足為E，

【點評】此題是將比值的最值問題，通過構造平行線，轉化為其他線段的比值問題。利用已知條件中線段長，進一步將比值的最大值問題轉化為線段的最大值問題，最后通過作垂線轉化為圓上的點與已知直線上的點之間的最大距離問題。同樣，我們可以過點P作AB的平行線進行轉化，請同學們自行完成。

在圓的背景下探求比值，雖說有一定難度，但是問題本身指向非常明確，主要使用轉化思想將復雜問題轉化為常規問題。上面兩個典型例題或通過設輔助未知數，將問題轉化為求未知數之間的關系問題，或化動為定，將求比值的最值問題轉化為求線段的最值問題。轉化思想是解決數學問題的重要思想，包含了數學特有的數、形、式的相互轉換，同學們要善于運用轉化的思想與方法化繁為簡，化難為易。