解數(shù)學(xué)題要克服思維定式

文謝 倩

（作者單位：江蘇省無(wú)錫金橋雙語(yǔ)實(shí)驗(yàn)學(xué)校初中部）

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與數(shù)學(xué)解題中，同學(xué)們由于受已經(jīng)形成的經(jīng)驗(yàn)或者是已有模式的影響，往往會(huì)因思維定式而造成錯(cuò)誤。

一、思維定式造成的解題思路窄化

例1 如圖1，⊙O的弦AB、CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，且AB=CD。求證：PA=PC。

圖1

圖2

圖3

【思維定式】由于AB、CD是⊙O相等的弦，因此過(guò)圓心O分別作AB、CD的垂線，如圖2，然后朝著PA=PC的方向?qū)ふ覘l件。

【原因分析】由于受“垂徑定理”或“同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么可以得到這兩條弦上的弦心距相等”的思維定式的影響或制約，使解題思路受限。

【解題反思】根據(jù)圓心角、弧、弦之間的關(guān)系以及圓周角定理，再利用等腰三角形的判定即可得到解決問(wèn)題的有效方法。

二、思維定式造成的解題思路呆板

例2 如圖4，在正方形ABCD中，AB=2，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)速度相同，當(dāng)它們到達(dá)各自終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中線段AF、BE相交于點(diǎn)P，則線段DP的最小值為_______。

圖4

【思維定式】若點(diǎn)E、F分別運(yùn)動(dòng)到AD、DC 中點(diǎn)時(shí)，則時(shí)，線段DP的最小值為；若點(diǎn)E、F分別運(yùn)動(dòng)到AD、DC終點(diǎn)時(shí)，則AF=所以，線段DP的最小值為綜上所述，線段DP的最小值為或

【原因分析】從特殊情況考慮，不一定是問(wèn)題的答案。

【快速求解】由正方形ABCD得AB=AD，∠BAD=∠ADC=90°。

∵點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)速度相同，運(yùn)動(dòng)時(shí)間相同，∴AE=DF，

在△BAE和△ADF中，

∵BA=AD，∠BAE=∠ADF，AE=DF，

∴△BAE≌△ADF，

∴∠ABE=∠DAF，

∴∠ABE+∠BAP=∠DAF+∠BAP=90°，∴∠APB=90°，

∴點(diǎn)P在以AB為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng)，如圖5，當(dāng)圓心O、點(diǎn)P和點(diǎn)D在同一條直線上時(shí)，DP最小，為 5-1。

圖5

【解題反思】從特殊到一般盡管是解決問(wèn)題的一種思想方法，但是本題的思路與方法，同學(xué)們更應(yīng)該了解和掌握。

三、思維定式造成的解題思路固化

例3 如圖6，點(diǎn)A與點(diǎn)B的坐標(biāo)分別是A（1，0），B（5，0），P是該平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。

圖6

（1）使∠APB=30°的點(diǎn)P有_____個(gè)；

（2）若點(diǎn)P在y軸上，且∠APB=30°，求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在y軸上移動(dòng)時(shí)，∠APB是否存在最大值？若存在，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

【思維定式】題中給出的圖，只考慮點(diǎn)P在第一象限，造成漏解。

【原因分析】（1）中由∠APB=30°，很容易想到點(diǎn)P在某個(gè)圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)弦AB不變時(shí)相應(yīng)的圓周角大小不變，所以符合要求的點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè)；受（1）的啟發(fā)，可以斷定點(diǎn)P為該圓與y軸的交點(diǎn)，但此時(shí)我們又不擅長(zhǎng)補(bǔ)圓，以致無(wú)法求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，或者部分同學(xué)能確定圓心和半徑，進(jìn)而求出圓與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，但忽略點(diǎn)P在x軸下方的情形。

【快速求解】（1）線段AB=4，∠APB=30°確定時(shí)，角的頂點(diǎn)P在以AB為弦的

M和 M′上，其軌跡（除A、B點(diǎn)外）如圖7所示，故符合要求的點(diǎn)P有無(wú)數(shù)個(gè)。

圖7

（2）如圖8，由圓周角定理知，AMB=2∠APB=60°，

∴△MAB為等邊三角形，

∴r=MA=AB=4，M（3，23），

作MC⊥y軸，

圖8

（3）過(guò)點(diǎn)A，B的 M與y軸相切于點(diǎn)P時(shí)，∠APB最大。

作MN⊥x軸，如圖9，由垂徑定理知NA=NB，∴點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)為3。

圖9

∵⊙M與y軸相切，

∴r=MP=3，

在Rt△MAN中，由勾股定理得，

【解題反思】解本題若能想到“隱圓”，利用數(shù)形結(jié)合的方法，解決起來(lái)就不難了。