巧用圓的知識合理解題

文方智娟

（作者單位：安徽省合肥市北城力高學(xué)校）

圓的對稱性給人以美的感受，而與圓相關(guān)的知識點卻比較多，對初學(xué)者來說易產(chǎn)生困惑。有關(guān)圓的求解問題一般可轉(zhuǎn)化為求角、邊（或線段）以及最值問題，下面以幾組經(jīng)典題目幫助同學(xué)們有效學(xué)習(xí)與掌握。

一、求角

例1 如圖1，菱形ABOC的邊AB、AC分別與⊙O相切于點D、E，若點D是AB中點，則∠DOE= 。

【分析】由切線性質(zhì)可知OD⊥AB，OE⊥AC，又結(jié)合中點得OD為AB的中垂線，再根據(jù)題意，可得OA=OB=AB=AC=OC，得到兩個等邊三角形。

解：連接OA，如圖2，

圖2

∵AB、AC分別與⊙O相切于點D、E，

∴OD⊥AB，OE⊥AC。

又點D為AB的中點，

∴OA=OB=AB=AC=OC，

∴△AOB與△AOC都是等邊三角形，

∴∠BAO=∠CAO=60°，

∴∠BAC=∠BAO+∠CAO=120°，

∴∠DOE=180°-∠BAC=60°。

故答案為60°。

【點評】本題巧妙地將特殊的平行四邊形與圓相結(jié)合，考查基本圖形、基本概念及相關(guān)性質(zhì)。理解切線的性質(zhì)，厘清垂直平分線、等腰三角形“三線合一”以及等邊三角形的知識點是解決問題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。

例2 如圖3，⊙A過點O（0，0），C（ 3，0），D（0，1），點B是x軸下方⊙A上的一點，連接BO、BD，則∠OBD=（ ）。

圖3

A.15° B.30° C.45° D.60°

【分析】如果連接CD，根據(jù)在同一圓中，同弧所對的圓周角相等，得∠OBD=∠OCD，由DO⊥OC，結(jié)合平面直角坐標(biāo)系和解直角三角形知識得到解決。

解：連接CD，如圖4，易得∠OBD=∠OCD。

圖4

∵DO⊥OC，OC=3，OD=1，

∴在Rt△COD中，

∴∠OCD=30°，∴∠OBD=30°。

故選：B。

【點評】解題的核心與關(guān)鍵是“轉(zhuǎn)化思想”的運用，一是將∠OBD轉(zhuǎn)化為與它相等的角（圖中的∠OCD），二是將∠OBD所在的非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形（構(gòu)造直角三角形）。通過連接CD，有效利用同一圓中同弧所對的圓周角相等、直角所對的弦是直徑以及銳角三角函數(shù)進(jìn)行解題。

二、求邊或線段

例3 如圖5，AB是⊙O的直徑，AB⊥CD于點E，AB=10，CD=8，則BE的長為（ ）。

A.2 B.3 C.4 D.3.5

圖5

【分析】連接OC，如圖6，根據(jù)勾股定理，求出OE。

圖6

解：連接OC，

∵AB=10，AB為⊙O的直徑，

∴OB=OC=5，

∵AB⊥CD，CD=8，

在Rt△OCE中，

∴BE=OB-OE=2。

故選：A。

【點評】本題是根據(jù)垂徑定理構(gòu)造直角三角形。垂徑定理、勾股定理等是解決很多問題的有效途徑和方法。

例4 如圖7，在△ABC中，∠ABC=90°，以BC為直徑作⊙O，交AC于點D，E為?CD的中點，連接CE、BE，BE交AC于點F。若AB=3，BC=4，求CE的長。

圖7

【分析】可以通過證明∠ABE=∠AFB得AB=AF，接下來通過△BEC∽△CEF，得到BE=2CE，然后再利用勾股定理即可。

解：∵∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠CBE=90°，

∵BC為⊙O直徑，∴∠BEC=90°，

∴∠EFC+∠ECF=90°。

又∠EFC=∠AFB，

∴∠AF?B+∠ECF=90°。

∵E為CD的中點，

∴∠CBE=∠ECF，

∴∠ABE=∠AFB，∴AB=AF。

在Rt△ABC中，AB=3，BC=4，

∴AC=5，由AF=AB=3，

∴CF=AC-AF=2，

∵∠CBE=∠ECF，∠BEC=∠CEF=90°，

∴△BEC∽△CEF，

∴BE=2CE，

又BE2+CE2=BC2，

【點評】本題方法不唯一，還可以通過連接BD來解決，同學(xué)們可自己嘗試。

三、求最值

例5 如圖8，在△ABC中，∠ABC=90°，∠A=30°，BC=2，點Q是AC的中點，則點Q到以AB為直徑的圓上任意一點的距離中，最大值為_____ ，最小值為_____。

圖8

【分析】題目條件將本來已經(jīng)存在的圖“隱”起來了。如果有了圖9，不僅看起來直觀了，而且解決問題的思路也明了了。

解：如圖9，以AB為直徑作⊙O，過點O、Q作直徑與⊙O交于點P1，P2，

圖9

在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=2，

【點評】讓“隱圓”顯現(xiàn)出來，問題迎刃而解。分析問題，添加輔助線，應(yīng)朝著有助于解決問題的方向努力。