卡登圓行星機構動力學分析

王冰冰 李美求 羅競波 付芳琴

(1. 長江大學機械結構強度與振動研究所，湖北 荊州 434023； 2. 大慶油田天然氣分公司，黑龍江 大慶 163000)

隨著計算機技術的發展，工業設計技術的提升，機械產品以高效率、高壽命、高精度、低噪音為目標發展迅速。齒輪傳動以其優異的傳動特點成為了機械傳動中最重要的傳動方式之一[1]，工程機械多為齒輪組成的機械多體機構，對其動力學特性的研究有助于保障其工作安全可靠，運行平穩高效，對多體機構的動力學分析受到國內外研究人員越來越的關注[2-4]。卡登圓行星機構是一種將旋轉運動轉化為往復直線運動的裝置[5]，廣泛應用于農業、醫療、城建及簡易機械設備中[6-7]。如食品分揀機械手在抓取傳送帶上的榨菜包裝袋時，榨菜包裝袋位置姿態雜亂不唯一，通過結合準確的目標跟蹤程序，機械手抓取和上提過程運作精準，且由于機構具有急回特性，有利于提高效率[8]。在食品包裝機械上，機構的性能高效穩定，具有較高的壽命。

隨著PackML技術的發展，對機構的設計和應用提出了標準化要求[9]。卡登圓行星結構緊湊、精度高，與普通曲軸連桿機構相比，其最大的優勢在于輸出端桿件受力與運動方向保持一致，避免了耗散力造成的能量損失，工作效率大大提升。對于多機構動力學分析，普遍利用牛頓—歐拉方程(Newton-Euler equations)、拉格朗日(Lagrange)法，而拉格朗日法因其形式簡潔、結構緊湊、方程形式統一獲得更多研究者[10-11]的青睞。

文章擬從能量角度出發，利用第二類Lagrange方程建立卡登圓行星機構動力方程，分析機構運動規律。對比仿真與理論分析結果，驗證理論分析的可靠性，為卡登圓行星機構的設計和應用提供理論依據。

1 機構理論分析

1.1 卡登圓機構運動方程

卡登圓行星機構(圖1)主要由行星架內齒廓、行星輪、機架連桿、導桿組成。卡登圓行星機構的運動規律：行星輪圓心O1處通過機架連桿與行星架相連，機架連桿長度lH為行星輪與行星架內齒廓嚙合節圓半徑，行星架內齒廓H與行星輪內嚙合，行星輪與導桿鉸接在一起，機構的主動件為機架連桿，電機為機架連桿提供扭矩帶動行星輪圓周運動，行星齒輪節點處有一個鉸接柱腳，鉸接柱腳的旋轉中心線與行星齒輪的齒輪節點重合。r1為行星輪節徑，rH為行星架內齒廓節徑，導桿為輸出端，其長度為行星輪節圓直徑的兩倍，在行星齒輪的帶動下在一條直線上往復運動。

圖1 卡登圓行星機構運動簡圖

(1)

式中：

X——導桿位移，m；

r1——行星齒輪節徑，m；

θ1——初始角度，rad；

θ2——安裝角度，rad；

ω——機架連桿角速度，rad/s；

t——時間，s。

將導桿位移方程對時間求一階導可得導桿速度方程，繼續對導桿速度方程求導，得導桿的加速度方程。

(2)

(3)

1.2 卡登圓行星機構的動力學方程

卡登圓行星機構屬于剛性多體系統，采用拉格朗日法研究其動力學規律是采用相對坐標法對整個系統建立數學模型，具有動力學方程少，便于轉化為常微分方程組，不需要考慮多體系統、未知的約束反力、減少計算量等優點[12]。

在行星架內齒廓的圓心建立坐標系如圖1，系統具有一個自由度，故只有一個廣義坐標，可取機架連桿的角位移φ為廣義坐標，系統的動能為機架連桿的動能與行星齒輪的動能及導桿的動能之和。

行星齒輪作平面運動，其動能和勢能為：

(4)

Ep1=gm1lHsinωHt。

(5)

機架連桿繞定軸OH轉動，其動能和勢能為：

(6)

(7)

導桿做平面運動，其動能和勢能為：

(8)

Eps=2gmsr1sinωHt。

(9)

故系統的總動能和總勢能為：

(10)

(11)

根據卡登圓行星機構的運動學特性和傳動規律[5]，機架連桿長度與行星輪節徑等長：

lH=r1，

(12)

ωHrH=ω1r1。

(13)

化簡后：

(14)

(15)

利用虛功原理，計算系統在平穩工作時，作用在系統上所有主動力的虛功之和：

(16)

(17)

化簡式(16)、(17)可得廣義坐標φ的廣義力為：

(1)灌漿料的本構模型可參考混凝土的本構模型進行模擬，經過對比分析，試驗結果與數值分析結果吻合較好，驗證了模型參數選取的合理性。

(18)

將式(14)、(15)、(18)代入第二類Lagrange方程：

(19)

得卡登圓系統的動力學方程：

(20)

式中：

m1——行星齒輪質量，kg；

ml——機架連桿質量，kg；

ms——導桿質量，kg；

φ——機架連桿運動角度，rad；

g——重力加速度，m/s2；

F——施加在導桿上的負載，N。

φ=ωt為機架連桿相對于初試位置θ1的角度。從理論計算可知，主動件的轉速決定機構工作周期，負載和驅動力矩呈正比關系。根據生產的需要，通過改變行星輪的運動周期、模數、負載的行程，可以得到機架連桿的受力變化規律，進而選擇合適的驅動力矩。

2 機構的動力學仿真分析

2.1 卡登圓機構的特征參數

研究采用大節距漸開線20°齒輪，行星輪齒數Z1=20，內齒廓齒數Z2=40，內齒廓外徑100 mm，齒厚B=10 mm，模數m=2 mm，機架連桿長度lH=20 mm。

2.2 卡登圓機構的理論計算

機構的材料為合金鋼，密度7 700 kg/m3，機架連桿的角速度ωH=0.8π rad/s，行星齒輪質量m1=0.09 kg，機架連桿質量ml=0.02 kg，導桿質量ms=0.04 kg，初始角度θ1=180°，安裝角度θ2=0°代入式(20)。

M=40Fcos(0.8πt)+0.01sin(0.8πt)cos(0.8πt)+0.44。

(21)

根據式(21)，利用計算機輔助計算得到機構的驅動力矩在兩個周期內隨載荷的變化規律，如圖2。

圖2 機構動力關系理論計算結果

2.3 卡登圓機構的仿真分析

根據卡登圓機構的特征參數建立模型如圖3，利用Solid Works Motion仿真分析，由卡登圓行星機構的特點，機構平穩運行時，導桿與殼體上的凹槽不存在摩擦。機架連桿與行星齒輪鉸接接觸面、導桿與行星齒輪鉸接接觸面動態摩擦系數μK=0.25，靜態摩擦系數μS=0.3，選擇合金鋼材質，彈性模量E=210 GPa，泊松比μ=0.3。選擇Motion分析中的實體接觸，避免錯誤的零件載荷傳遞路線[13]。重力加速度方向垂直于安裝角度方向，g=9 806.65 mm/s2，分別選擇載荷為20，60，100 N，采用GSTIFF積分器進行求解，得驅動力矩的變化規律如圖4所示。

1. 下殼體 2. 行星架內齒廓 3. 導桿 4. 機架連桿 5. 行星輪

圖4 機構動力關系模擬分析結果

分析理論計算結果可知，當負載為常數時，輸入扭矩以周期T=2.5 s做正弦(余弦)的變化規律，隨著負載的增大，輸入扭矩振幅增大，與實際工作狀態相符。載荷與輸入力矩呈線性關系，隨著載荷的增大，輸入力矩增大，其斜率與初始角度及機架連桿角速度有關。初始角度θ1=0，在t=π/2ω+nπ/ω時，斜率取最大值，在t=nπ/ω時，斜率最小。φ=ωt=nπ時，系統啟動載荷較小，故選擇初始角度θ1=nπ有利于系統平穩啟動。

根據試驗結果分析可知，在卡登圓行星機構正常工作一個周期內，大齒輪內齒廓和行星齒輪嚙合載荷周期變化，如果選擇初始角度θ1=nπ，則轉角φ=nπ+π/2處的嚙合齒輪受載較大，為齒輪傳動主要失效部位，也是系統的危險姿態。

提取在特征值載荷下機構的驅動力矩的峰值如表1所示，對比理論計算和模擬分析結果可知，吻合度較大，模擬分析很好地證明了理論計算的可行性，為卡登圓行星機構的設計和應用提供了理論依據。

表1 理論分析和模擬分析結果對比

考慮到齒輪加工成本較高，對卡登圓行星機構的優化設計以提高其壽命、互換性為目標，可考慮進行雙排雙導桿設計，設計鉸鏈呈nπ/2角度，此時兩個鉸鏈的工作載荷波峰波谷呈現半個周期交替出現，有效地提升了機構的穩定性。圖5為卡登圓機構在典型內燃機活塞上的模擬應用。載荷為角度的函數，對比單個導桿裝配下的機構與優化設計后的雙排雙導桿機構的動力響應，優化前后機構的動力響應趨勢相同。優化后的機構驅動力矩的波動范圍小于優化前的，有利于機構運作的穩定、降噪、安全，從理論上證明了機構優化的可行性。

圖5 卡登圓機構的模擬應用

3 結論

研究建立了卡登圓行星機構的動力學方程，并通過動力學仿真得到以下結論：

(1) 通過拉格朗日第二類方程建立了卡登圓機構的動力學方程，聯立了載荷和驅動力矩隨廣義坐標的變化規律，用模擬仿真結果驗證理論計算，得到計算卡登圓行星機構動力關系的方法，為此類機構提供了設計和應用依據。在對比理論計算和模擬分析發現，機構耗散能較小，優于常規曲柄滑塊機構。

(2) 分析了機構的危險姿態，為機構的裝配及初始角度的設計提供了依據。提出結構優化設計方案，通過模擬仿真證明優化的可行性，為提高機構的壽命、互換性提供了可行性方案。

(3) 在機構實際運轉過程中，傳動誤差和齒輪變形導致的齒輪嚙合沖擊引起振動噪聲，對于機構的沖擊摩擦模型建立有待進一步研究。