羅爾定理與導函數f′(x)“零點”求解探析

劉朝軍，鄒坤發

（黔南民族師范學院數學與統計學院，貴州都勻 558000）

引言：17世紀是“數學天才的世紀”，變量數學由此走進數學王國。導數是標志性的研究成果之一，現今導數仍是變量數學的基本概念。探析導函數的性質，尤其是零點求解，為描述物質運動具有重要作用，而羅爾定理就是探索導函數零點的利器。

1 . 羅爾定理[3]假定函數f( x)對于以下條件都滿足：

(i)f( x)在閉區間[a, b]上連續；(ii)f( x)在開區間(a, b)上可導；

(iii)f( a) = f( b),則在(a , b)上至少存在一點ξ,使得 f ′(ξ) = 0.

注：定理中的三個條件缺少任何其中一個,結論可能會被推翻(如圖，依次缺少條件(i)(ii)(iii)).

圖1

2 . 泛羅爾定理[4]

羅爾中值定理是一元微分學的基礎定理，其它的中值定理都與它密不可分。結合羅爾定理在一元微分學中的地位，細細品研定理中的條件、結論、幾何意義，從可能中尋求必然。敢于猜想，慎密求證，這樣就能精準掌握該定理的應用。同時，培養了獨立善思、開拓思路的良好習慣。