基于Matlab的飛機機翼結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化設計

王飛 張晶輝

摘 ?要： 為達到飛機機翼結(jié)構(gòu)的最優(yōu)設計要求，文中提出一種智能化的飛機機翼結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化改進設計方法。該設計方法在經(jīng)典的變密度法的基礎上，選用RAMP模型作為材料插值模型，改進了相應的數(shù)學模型，最終提出了對飛機機翼結(jié)構(gòu)進行優(yōu)化的設計方法。文中使用Matlab語言對該設計方法進行了仿真驗證，仿真結(jié)果證明了該設計方法的可行性和正確性。

關鍵詞： 拓撲優(yōu)化; 飛機機翼; 數(shù)學模型改進; RAMP模型; 設計方法; 仿真驗證

中圖分類號： TN03?34; TP391 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼： A ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文章編號： 1004?373X（2019）20?0119?04

Matlab?based topological optimization design of aircraft wing structure

WANG Fei， ZHANG Jinghui

（Xian Aeronautical University， Xian 710077， China）

Abstract： An intelligentized topology optimization design method of aircraft wing structure is proposed to meet the optimal design requirements of aircraft wing structure. On the basis of the classical variable density method， the RAMP model is selected in the design method as the material interpolation model， and the corresponding mathematical model is improved. Finally， the optimization design method of aircraft wing structure is proposed. The simulation verification for this design method is carried out with Matlab. ?The simulation results prove the feasibility and correctness of the design method.

Keywords： topology optimization; aircraft wing; mathematical model refinement; RAMP model; design method; simulation verification

在現(xiàn)代科技發(fā)展中，一個國家的飛機設計制造水平，既是科研與創(chuàng)造能力的重要體現(xiàn)，也是國防和軍隊現(xiàn)代化水平的重要指標。所以，大多數(shù)國家均對飛機設計進行著深入的研究與改進，不斷地推出性能更加全面和先進的飛機。機翼是飛機的關鍵部件，負責為飛機提供大部分的升力，所以機翼的結(jié)構(gòu)和質(zhì)量直接關系到飛機的多種飛行性能指標。而如何設計出同時具有較輕的質(zhì)量、較強的強度與剛度的機翼，成為了所有飛機設計師共同面臨的問題[1?3]。

在傳統(tǒng)的飛機設計過程中，飛機設計師通常是基于經(jīng)驗確定飛機機翼的原始設計。隨后通過具體的實驗結(jié)果，來驗證該設計是否達到了相應的性能要求，若不能達到要求，則設計師需要反復修改其設計方案，重復進行實驗。由此造成設計工作繁瑣、復雜，缺少設計的統(tǒng)一標準，嚴重依賴飛機設計師的判斷能力和經(jīng)驗水平。為實現(xiàn)飛機模塊的優(yōu)化設計與快速裝配，研究者們提出了飛機機翼的結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化技術[4?6]，利用力學的基本原理和計算機程序語言，在計算機上建立數(shù)學分析模型，從而完成飛機機翼結(jié)構(gòu)布局設計和具體分析[7?8]。本文使用該設計方法，在連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化算法的基礎上，選用變密度法和RAMP（Rational Approximation of Material Properties）材料插值模型。并通過引入約束因子對原有的優(yōu)化方法進行必要的改進，最終提出了智能化的飛機機翼結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化改進設計方法。仿真結(jié)果表明，該設計方法性能良好。

1 ?拓撲優(yōu)化方法

在數(shù)學上，結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化問題是一種特殊的0?1規(guī)劃問題。因為飛機機翼是連續(xù)體結(jié)構(gòu)，所以本文研究的問題可以歸納為一個連續(xù)體結(jié)構(gòu)的拓撲優(yōu)化問題，即在確定范圍內(nèi)尋找飛機機翼結(jié)構(gòu)的最優(yōu)布局。連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化方法可分為均勻化法、獨立連續(xù)映射法、漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法、變厚度法和變密度法等。本文選用變密度法，主要是因為：

1） 均勻化法是一種基于嚴謹數(shù)學理論推導的優(yōu)化方法，在拓撲優(yōu)化理論領域具有無可替代的作用。然而，該種算法也存在變量繁多和計算復雜的缺點，實用性較差。

2） 獨立連續(xù)映射法是一種將離散變量映射到連續(xù)變量，且求解速度較快的優(yōu)化方法。然而，該方法的計算結(jié)果數(shù)值通常均不穩(wěn)定，限制了該方法的應用。

3） 漸進結(jié)構(gòu)優(yōu)化法是一種通過刪除低效結(jié)構(gòu)單元來實現(xiàn)拓撲優(yōu)化的方法。因該方法回避了多變量規(guī)劃問題的求解，所以該方法具有簡單、實用的特點。然而，此方法的迭代次數(shù)較少，導致其計算效率偏低，同時該方法的收斂性仍未被證明。

4） 變厚度法是將單元的幾何尺寸設為變量的優(yōu)化方法，回避了組成微結(jié)構(gòu)的計算過程，在解決二維平面的優(yōu)化問題中具有良好的性能。然而，該優(yōu)化方法難以求解三維平面的優(yōu)化問題。

5） 變密度法充分利用了偽密度和懲罰因子的概念，與其他方法相比，其具有原理清晰和實現(xiàn)簡單等多重優(yōu)點，卻沒有明顯的缺點。所以，本文選用了該方法作為拓撲優(yōu)化的基本方法。

2 ?變密度法

變密度法是一種引入偽密度和懲罰因子概念的優(yōu)化方法。假設自然界中存在一種密度可變的材料，其彈性模量、允許用應力與密度成非線性關系。然后建立材料插值模型，根據(jù)密度的大小確定材料的分布情況，由此便可將0?1離散取舍問題轉(zhuǎn)化為取值在[0，1]之間的連續(xù)變量優(yōu)化問題。同時使用懲罰因子衡量材料的中間密度值，從而逼近傳統(tǒng)的拓撲優(yōu)化模型，具體為：

3 ?RAMP模型

在確定變密度法為基本優(yōu)化方法之后，還需要選取相應的材料插值模型。一般而言，適用于變密度法的模型主要有SIMP模型和RAMP模型兩種。其中，SIMP（Solid Isotropic Microstructures with Penalization）模型的基本原理為：假定有限元單元中的材料密度是常數(shù)，設定這一常數(shù)為設計變量。然后使用有限元法，利用材料屬性隨單元密度變化的指數(shù)函數(shù)，建立材料屬性的總體剛度矩陣及其相應的函數(shù)關系。該模型的計算效率較高，且不會出現(xiàn)較大的計算誤差。其基本原理與RAMP 模型類似，但由于RAMP模型加入了一個懲罰因子，這導致材料的柔度函數(shù)由凸函數(shù)變成了凹函數(shù)，從而使RAMP模型具有更加優(yōu)良的穩(wěn)定性。此外，其計算結(jié)果也趨向于收斂，所以本文選用RAMP模型作為材料插值模型[9?10]。RAMP模型的基本優(yōu)化原理與SIMP模型類似，其模型的數(shù)學表達式如下：

3.2 ?模型求解

為了保持模型求解的穩(wěn)定性，本文在模型的求解過程中添加了一個設計變量改變常數(shù)m，其取值范圍為[0.1，0.3]。保證設計變量的下降速度不會過快，則優(yōu)化模型的數(shù)學求解迭代過程如下：

4 ?仿真與分析

為驗證優(yōu)化模型的可行性，本文使用Matlab對該模型進行仿真驗證。在仿真中，將飛機機翼的肋板大小設為500 mm×200 mm，其單元數(shù)量n=50×20，其彈性模量[E=2.5×109]，泊松比常數(shù)[υ=0.33]，體積因子[f=0.5]，同時，假設該機翼僅受山字載荷影響。使用這些參數(shù)，本文對該模型進行了多次仿真，得到相應的計算結(jié)果，如圖1和圖2所示。

圖1 ?Matlab的模型優(yōu)化結(jié)果

圖2 ?優(yōu)化效果與迭代次數(shù)關系

圖1展示了本文模型的優(yōu)化結(jié)果。從圖中可以看出，其結(jié)果的孔洞布局隨機翼結(jié)構(gòu)類似，即其孔洞分布符合機翼結(jié)構(gòu)的設計要求，飛機設計師在設計過程中可以參考這些優(yōu)化結(jié)果完善飛機機翼的設計。圖2展示了該模型的優(yōu)化效果隨迭代次數(shù)的變化規(guī)律。由圖可知，本文的優(yōu)化效果隨著迭代次數(shù)的增加而逐漸趨于穩(wěn)定，且具有較好的穩(wěn)定性。同時，模型的迭代次數(shù)處于可以接受的范圍內(nèi)。

5 ?結(jié) ?論

基于經(jīng)典的變密度法和RAMP材料插值模型，本文通過引入懲罰因子和約束因子，提出了一種飛機機翼結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化的改進設計模型及其求解方法。同時，還進行了必要的仿真和分析，結(jié)果表明，該設計方法性能良好。然而，該模型的收斂速度仍有提升的空間，這也是下一步的主要研究方向。

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