利用平面向量求最值

王永紅

[摘 ? 要]最值問題是中學數學中最常見的問題之一，也是中學數學的教學重點和難點，還是各位考試專家的掌上法寶，在各級各類考試中頻繁出現.最值問題多有技巧性強、難度大、解法靈活等特點.因此，最值問題也是學生學習數學的攔路虎，學生常由于最值問題而害怕數學.其實解決最值問題并不難，最重要的是要掌握解題的方法和技巧.平面向量法就是解決最值問題的一種有效方法.

[關鍵詞]平面向量;最值;不等式

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2019）26-0026-02

最值問題是中學數學中最常見的問題之一，也是各位考試專家的掌上法寶，在各級各類考試中頻繁出現.高考和各類競賽考試中出現的最值問題，常見的類型是數量積的確定、最值的求解等.它們有技巧性強、難度大、解法靈活等特點.因此，最值問題也是學生學習數學的攔路虎，很多學生由于最值問題而害怕數學.就連一線教師也常對最值問題感到頭疼.其實最值問題并不難，要有效破解最值問題，最重要的是掌握解題的方法和技巧.下面筆者就對利用向量法求最值進行探討.

一、不等式恒成立時參數的最值

[例1]已知正數使不等式[x+y≤ax+y]對于一切[x，y]恒成立，求[a]的最小值.

解：構造向量[a=x ?， ?y ?， ?b=1 ，1 ?，]由于[a?b≤] [a?b]，得[x+y≤2x+y]，當且僅當[a]與b共線時等號成立，得[a]的最小值為[2].

方法總結：解答本題的關鍵在于構造平面向量，利用絕對值三角不等式[a?b≤a?b]，當且僅當[a]與b共線時等號成立，得出不等式[x+y≤2x+y]成立，從而得到[a]的最小值.

二、變量的最值

[例2]已知[x+y+z=5，xy+yz+zx=3]，且[x，y，z]都是實數，求[z]的最大值.

解：由題可得 [x2+y2+z2=x+y+z2-2xy+yz+zx=19]，構造向量[a=x，y ，b=1，1 ，]由于[a?b≤a?b]得[（x+y）2≤2（x2+y2）]，即[（5-z）2≤2（19-z2）]，所以[3z2-10z-13≤0]，解得[1≤z≤133]，當且僅當a與b共線，即[x=y=13]時，[z]有最大值[133].

方法總結：本題考查變量的最值，巧妙應用[x，y，z]之間的關系[x+y+z=5，xy+yz+zx=3]，然后構造平面向量，利用絕對值三角不等式[a?b≤a?b]，當且僅當[a]與[b]共線時等號成立，得出[z]的取值范圍，進而求出[z]的最大值.

三、三角函數的最值

[例3]已知[0

解：由[y=2-cosxsinx]知[y>0]，則[cosx+ysinx=2]，構造向量[a=（cosx，sinx） ，b=（1，y）]，由[a?b≤a?b]得[cosx+ysinx≤cos2x+sin2x?1+y2]，即[1+y2≥2]，得[y≥3].

當且僅當a與b共線時等號成立，即[cosx1=sinxy]，解得[cosx=12]，即[x=π3]時等號成立.

故當[x=π3]時，[y]的最小值是[3].

方法總結：本題考查三角函數的最值，對函數[y=2-cosxsinx]變形后得到[cosx+ysinx=2]才能構造向量平面，再利用絕對值三角不等式[a?b≤a?b]，當且僅當a與b共線時等號成立，得出[y]的最小值及此時[x]的值.

四、數列的最值

[例4]給定正整數[n]和正數[N]，對于滿足條件[a21+a2n+1≤M]的所有等差數列[a1，a2，a3，…]，試求[S=an+1+an+2+…+a2n+1]的最大值.

解：設公差為[d]，則[S=an+1+an+2+…+a2n+1=（n+1）an+1+n（n+1）2d]，而[an+1=a1+nd]，所以[S=n+12（3an+1-a1） ].構造向量[a=（an+1，a1） ，b=（3，-1）]，由[a?b≤a?b]得

[3an+1-a1≤an+1+a1?10≤10M]，因此[S=n+12（3an+1-a1）≤n+123an+1-a1≤n+1210M]，當且僅當[an+13=a1-1]，

即[3an+1-a1>0，a2n+1+a21=M]時等號成立，解得[a1=-10M10，an+1=310M10，]

故[S]的最大值為[n+1210M].

方法總結：本題考查數列求和的最值，先將[S=an+1+an+2+…+a2n+1]用等差數列前[n]項和公式表示出來，然后構造平面向量[a=（an+1，a1） ，b=（3，-1）]，再利用絕對值三角不等式[a?b≤a?b]，當且僅當[a]與[b]共線時等號成立，得出S的最大值.

[ ?參 ? 考 ? 文 ? 獻 ?]

[1] ?孫文亮. 平面向量求最值 幾何坐標真給力[J]. 高中數理化， 2018（5）：5-6.

[2] ?胡敏， 劉元利. 構造平面向量求解無理函數的最值[J].中學數學， 2003（7）：26-27.

[3] ?胡秀偉.高中數學平面向量問題圖式的研究[D].濟南：山東師范大學， 2015.

[4] ?李鐵烽. 構造平面向量 巧解最值問題[J].數學教學研究， 2002（7）：36-39.

[5] ?高繼勇， 王興亮. 平面向量最值問題的破解策略[J].中學數學， 2018（11）：85-86.

（責任編輯 黃春香）