談一類遞推數列通項公式的求法

王小龍

[摘 ? 要]數列因容易與函數、不等式等知識綜合，已成為高考命題的好素材，是考查函數與方程、轉化與化歸、分類討論等重要思想，以及配方法、換元法、待定系數法等基本數學方法的理想載體.文章主要研究利用待定系數法構造輔助數列求解遞推數列通項公式的方法.

[關鍵詞]遞推數列;通項公式;等差數列;等比數列

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2019）26-0022-01

遞推數列通項公式的求解在高考中屢見不鮮，其豐富的內涵對培養學生思維的邏輯性具有較高的價值，同時對培養學生的邏輯推理能力也具有十分重要的意義.

構造輔助數列是求遞推數列通項公式的常用方法，本文主要研究利用待定系數法求一類遞推數列通項公式的問題.

[例題]已知數列[an]滿足：[a1=1，an+1=3an+2]，求數列[an]的通項公式.

分析1：觀察遞推關系式[an+1=3an+2]，發現兩邊同時加1，即可得到[an+1+1=3（an+1）]，所以數列[{an+1}]是以1為首項、3為公比的等比數列，即得[an+1=3n-1]，所以[an=3n-1-1].

分析2：由遞推關系設[an+1+λ=3（an+λ）]，即[an+1=3an+2λ]，對照已知遞推關系式可得[λ=1]，所以有[an+1+1=3（an+1）]，即數列[{an+1}]是以1為首項、3為公比的等比數列，即得[an+1=3n-1]，所以[an=3n-1-1].

由上面的例題我們還可得到如下一般性結論：

結論一：對于數列[an]，若[a1=a（a≠0）]，[an]滿足：[an+1=pan+q]（[p，q]都為非零常數，且[p≠1];注：當[p=1]時，[an]為等差數列），則數列[an+qp-1]是以[a1+qp-1]為首項、[p]為公比的等比數列.

證明：[∵an+1=pan+q]，①則可設[an+1+λ=p（an+λ）]，整理即得[an+1=pan+λ（p-1）]，對照①式，則[λ（p-1）=q]，解得[λ=qp-1]，

[∴an+1+qp-1=pan+qp-1]，

[∴]數列[an+qp-1]是以[a+qp-1]為首項、[p]為公比的等比數列.

類比結論一可得到結論二：

結論二：對于數列[an]，若[a1=a（a≠0）]，[an]滿足：[an+1=pan+qn]（[p，q]都為非零常數），則

（Ⅰ）當[p=1]，[q≠1且q≠0]時，數列[an]的通項為[an=q（1-qn-1）1-q+a].

（Ⅱ）當[p=q]時，數列[anpn]是以[a1p]為首項、[1p]為公差的等差數列.

（Ⅲ）當[p≠q]時，數列[an+1p-q?qn]是以[a1+qp-q]為首項、[p]為公比的等比數列.

證明：

（Ⅰ） 當[p=1]，[q≠1且q≠0]時，已知條件為[an+1=an+qn]，[∴an+1-an=qn]，

[∴an-an-1=qn-1an-1-an-2=qn-2?a2-a1=q]

相加得：[an-a1=q+q2+…+qn]，

[∴an=q（1-qn-1）1-q+a].

（Ⅱ）當[p=q]時，原式即為[an+1=pan+pn]，等式兩邊同除[pn+1]得[an+1pn+1=anpn+1p] ，[∴]數列[anpn]是以[a1p]為首項、[1p]為公差的等差數列.

（Ⅲ）當[p≠q]時，對于[an+1=pan+qn]， ?①

設[an+1+λ?qn+1=p（an+λ?qn）]，

整理后得[an+1=pan+λ?qn（p-q）]，

對照①式得[λ?qn（p-q）=qn]，得[λ=1p-q]，

[∴][an+1+1p-q?qn+1=pan+1p-q?qn]，

[∴]數列[an+1p-q?qn]是以[a1+qp-q]為首項、[p]為公比的等比數列.

本文介紹了用待定系數法構造輔助數列求解遞推數列通項公式的方法.當然此法并不是唯一的方法，還有方程組法等，在此不再贅述.本文中構造輔助數列這一思想方法尤為重要.高中學段所研究的遞推數列是以兩類特殊的遞推數列——等差數列和等比數列為基礎，將一般遞推數列構造成等差數列、等比數列，進而解決問題.

（責任編輯 黃春香）