解答圓錐曲線問題的核心要點研究

馮霞

[摘 ? 要]圓錐曲線是高中數學的主干知識，是考查學生分析問題、解決問題能力的有效載體.問題求解的核心思想是幾何問題代數化.核心方法是坐標法、消元法、判別式法等.除此以外，還要注意結合平面幾何的性質.

[關鍵詞]圓錐曲線;核心思想;核心方法;幾何性質

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2019）26-0016-02

圓錐曲線是高中數學的重難點內容，對考生的思維能力、解題能力、計算能力要求較高，在高考中常以把關題或壓軸題的形式出現，問題求解中學生往往不知從何入手.基于此，筆者給出如下幾點建議.

一、明確核心思想

圓錐曲線屬于解析幾何的范疇，所謂解析幾何，簡言之就是用代數的方法解答幾何問題，因此解答圓錐曲線問題的核心思想，就是將幾何問題代數化.代數化的途徑就是坐標法，即利用點的坐標、向量的坐標等.

二、掌握核心方法

1.設點法.該方法是處理坐標條件的重要方法.具體步驟為：設點→將曲線上的點用其他點表示出來→將被表示的點代入方程，利用方程代換求解.

2.設直線方程法.即引入直線的斜率k，設出直線方程，將其與橢圓方程聯立，利用判別式法、根與系數的關系等求解.

[例1]過橢圓[x24+y23=1]的左焦點[F]的直線交橢圓于[A]、[B]兩點，若[AF=2BF]，求直線的斜率.

方法1（設點法）：設[A（x1，y1） ，B（x2，y2）]，由已知得[AF=2FB]，[F（-1，0）]，所以[（-1-x1，-y1）=2（x2+1，y2）]，[-1-x1=2x2+2，-y1=2y2]，即[x1=-2x2-3，y1=-2y2].代入橢圓方程得[（-2x2-3）24+（-2y2）23=1]，[4x224+4y223+12x2+94=1].將[4x224+4y223=4]代入上式得[12x2+94=-3]，得[x2=-74]，代入橢圓方程得[y2=±358]，故直線的斜率[k=][±52].

方法2（設直線方程法）：易知直線AB的斜率存在，設其方程為[x=my-1]，與橢圓方程聯立得[3（m2y2-2my+1）+4y2-12=0]，即[（3m2+4）y2-6my-][9=0]，

設[A（x1，y1） ，B（x2，y2）]，由根與系數的關系得[y1+y2=6m3m2+4 ，y1y2=-93m2+4 ].由已知得[AF=2FB]，[F（-1，0）]，所以[（-1-x1，-y1）=2（x2+1，y2）]，[-y1=2y2]，即[y1=-2y2]，所以[-y2=6m3m2+4，-2y22=-93m2+4]，聯立得[-2×36m2（3m2+4）2=-93m2+4]，解得[m=±25]，故直線的斜率為[±52].

三、充分利用平面幾何性質

處理解析幾何問題的核心思想及方法雖然均與代數有關，但并不能完全脫離平面幾何的性質.在解析幾何命題中涉及的平面圖形主要有等腰三角形、等邊三角形、圓、平行四邊形、菱形等.等腰三角形常利用“三線合一”的性質尋找思路，若等腰三角形的底與坐標軸平行或重合，則利用兩腰所在直線的斜率關系（互為相反數）進行求解.等邊三角形，除了可利用等腰三角形的性質求解外，還可利用高與邊長的關系求解.圓，可利用直徑所對的圓周角為直角，垂徑定理、切線性質等.平行四邊形，則常利用對邊平行、對角線互相平分.菱形則是四邊相等，對角線垂直平分.

[例2]已知橢圓[x2a2+y2b2=1]的一個焦點為[F（2，0）]，且離心率為[63].

（1）求橢圓方程;

（2）如圖1，斜率為[k]的直線[l]過點[F]，且與橢圓交于A，B兩點，[P]為直線[x=3]上的一點，若△[ABP]為等邊三角形，求直線[l]的方程.

解析：（1）[x26+y22=1].

（2）設直線[l]的方程為[y=k（x-2）].

聯立方程組[y=k（x-2） ? ? ? ?，x26+y22=1.]消去[y]并整理得[（3k2+1）x2-12k2x+12k2-6=0].易知判別式大于0.

設[A（x1，y1）]，[B（x2，y2）]，故[x1+x2=12k23k2+1]，[x1x2=12k2-63k2+1]，則[AB=1+k2x1-x2=]

[（1+k2）（x1+x2）2-4x1x2][=26（k2+1）3k2+1]，

[MP=1+1k2?x0-xP=k2+1k2?3（k2+1）（3k2+1）].

當△[ABP]為正三角形時，[MP=32AB]，可得[k2+1k2?3（k2+1）（3k2+1）=32×26（k2+1）3k2+1]， 解得[k=±1]，即直線[l]的方程為[x-y-2=0]或[x+y-2=0].

本題文字表述簡潔、清晰，考查了直線與橢圓的位置關系和學生的數據處理能力，深刻反映了解析幾何的數學本質，即將幾何問題轉化為代數問題，依據等邊三角形的性質，進行代數運算.

四、善于將問題進行等價轉化

數學問題雖然類型繁多，但有些問題的不同之處，往往只是形式上的不同，拋開形式外衣，問題的本質往往是相同的.因此，解題中，我們要善于將問題進行等價轉化求解.

[例3]已知橢圓[C]：[x2+2y2=9]，點[P（2，0）].過（1，0）的直線[l]與橢圓[C]相交于[M]、[N]兩點.

問題1：判斷[∠MPN]是鈍角、銳角還是直角.

問題2：判斷點P與以MN為直徑的圓的位置關系.

問題3：設[MN]的中點為[T]，判斷[TP]與[TM]的大小.

上述三個問題，從形式上看屬于不同的類型，但深究問題的本質不難發現，問題2、3與問題1是同一個本質，因此均可轉化為判斷[∠MPN]是鈍角、銳角還是直角，進而借助向量數量積公式進行判斷.下面以問題3為例進行解答.

解析：當直線[l]斜率不存在時，[l：x=1]，[TP=0

聯立 [x2+2y2=9 ，y=k（x-1） ，]整理得[（2k2+1）x2-4k2x+2k2-9=0]，

[Δ=（4k2）2-4（2k2+1）（2k2-9）=64k2+36>0]，

故[x1+x2=4k22k2+1]，[x1x2=2k2-92k2+1]，

[PM?PN=（x1-2）（x2-2）+y1y2][=（x1-2）（x2-2）+k2（x1-1）（x2-1）]

[=（k2+1）x1x2-（k2+2）（x1+x2）+k2+4]

[=（k2+1）?2k2-92k2+1-（k2+2）?4k22k2+1+k2+4][=-6k2+52k2+1] [<0].

故[∠MPN>90°]，即點[P]在以[MN]為直徑的圓內，故[TP

總之，在圓錐曲線的高考復習中，只要我們明確高考考什么，以什么形式出現，針對某一題型用什么方法求解，即可以不變應萬變.

（責任編輯 黃春香）