圓的巧用

郭健

[摘 ? 要]圓有很多幾何性質(zhì).巧妙應(yīng)用圓的性質(zhì)能快速解決很多問題.引入圓的常見方式有：三角形（內(nèi)切圓、外接圓）、定長（圓的定義）、線段之比（阿氏圓）、定角（圓弧）等.引入圓后轉(zhuǎn)化直線與圓的位置、點與圓的位置、圓與圓的位置關(guān)系、圓的參數(shù)方程等處理問題.

[關(guān)鍵詞]圓;三角形;定長;線段之比;定角

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標(biāo)識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2019）26-0015-02

圓是最美的圖形.以圓為背景的題目，常常用到圓的相關(guān)性質(zhì);不是以圓為背景的題目，也能引入圓，巧用圓的性質(zhì).那么，哪些問題能引入圓，應(yīng)用圓的性質(zhì)巧解問題呢？如何引入圓，體現(xiàn)新課標(biāo)中倡導(dǎo)的“創(chuàng)新意識”？

一、三角形引圓巧求角最大

任意一個三角形都有外接圓和內(nèi)切圓.當(dāng)題目中出現(xiàn)三角形時，可以考慮引入圓，應(yīng)用圓的性質(zhì)求解.其中，著名的足球射門問題，恰能體現(xiàn)圓的巧用.

[題1]（足球射門問題）在綠茵場上，足球隊員甲帶球沿邊線直線進攻.已知球門框A、B到足球場地邊線的距離分別為[a，b（b>a>0）]，問：球員甲在邊線的什么位置射門，進球的可能性最大（即對球門[AB]的張角[∠ACB]最大）？

分析：這道題常釆用兩角差的正切公式結(jié)合基本不等式來求解（跨模塊的綜合方法）.實際上，我們換個角度，完全可以從直線與圓的位置關(guān)系切入，選擇點到直線的距離和兩點間的距離公式求解.

解法一：以AB所在直線為y軸，以AB與足球場地邊線的交點為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，則A（0，a），B（0，b），設(shè)C（x，0）.△ABC的外接圓M與射線x軸正半軸有公共點C.當(dāng)圓M與射線x軸正半軸相切時，[∠ACB]最大，此時C為切點，點M在AB的垂直平分線[y=a+b2]上，所以圓M的半徑[r=a+b2=][x2+a-b22]，解得[x=ab].故隊員甲在距底線[ab]處射門，進球的可能性最大.

解法二：依題意知，過A、B的圓M與x軸正半軸有公共點C.圓心M在AB的垂直平分線[y=a+b2]上，設(shè)[Mm，a+b2]，則[a+b2][≤x2+a-b22]，即[m≥ab].

由正弦定理得[sin∠ACB=b-a2m2+a+b22≤b-ab+a]，當(dāng)且僅當(dāng)[m=ab]時取等號.∵∠ACB為銳角，∴當(dāng)[m=ab]時，∠ACB取最大值，此時CM⊥x軸，C為切點，∴C（[ab]，0）.故隊員甲在距底線[ab]處射門，進球的可能性最大.

評注：上述兩種解法都是應(yīng)用圓來求解，比用兩角差的正切公式計算更簡潔，體現(xiàn)了圓的巧用.

二、圓的定義引圓巧求線段長最小

到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓.當(dāng)題目中出現(xiàn)“距離相等”這一條件時，可考慮應(yīng)用圓的定義引入圓，再利用圓的性質(zhì)求解.

[題2][2019·新課標(biāo)模擬（理），16]如圖1所示，面積為[34]的等邊△[ABC]中，點[M，N]分別在線段[AB，AC]上，現(xiàn)將△AMN沿線段[MN]進行翻折，得到如圖2所示的圖形，翻折后的點[A]在線段[BC]上，則線段[AM]的最小值為 ? ? ? ? ? ? ? ? .

分析：這是一道以三角形為背景，以折疊為手段，考查解三角形的好題.集動靜于一題，集數(shù)形于一題，集抽象與具體于一題，是一道創(chuàng)新題.由對稱可以得到兩條線段相等，從而引入圓，再應(yīng)用圓的性質(zhì)求解.

解析：∵將△AMN沿線段[MN]進行翻折，翻折后的點[A]在線段[BC]上，∴MA=MA′，A在線段BC上，∴以M為圓心，以MA′為半徑的圓與線段BC有公共點.欲使AM最小，則該圓必與BC相切.此時，∠MAB=90°.

設(shè)AM=y，則BM=1[-y]，[y∈[0，1]]，由[∠B]=60°得[y=（1-y）sin60°=32（1-y）]，解得y=[23-3]，∴[AM]有最小值[23-3].

評注：題2的求解是運用圓的定義：到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓.題1是運用任意三角形必有唯一的外接圓.相同之處，都是轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系——直線與圓有公共點.

三、距離之比為常數(shù)引入阿氏圓求面積最大

滿足到兩個定點的距離之比為常數(shù)（常數(shù)為1）的點的軌跡是圓，即動點C滿足AC =[λ]BC（[λ>0]且[λ≠1]）時的軌跡是阿波羅尼斯圓.當(dāng)題設(shè)條件中有距離之比為常數(shù)時，可以引入圓，應(yīng)用圓的性質(zhì)求解.

[題3]（2008·江蘇）滿足條件AB = 2，AC = BC的△ABC的面積的最大值是____.

分析：滿足AC = BC的點C的軌跡是圓，從而將△ABC的面積的最大值問題轉(zhuǎn)化為C到直線AB的距離的最大值問題.

解析：以AB所在直線為x軸，以AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，則A （[-1]，0），B （1，0），設(shè)C [（x，y）]，則[（x+1）2+y2=2[（x-1）2+y2]]，即[（x-3）2+y2=8]，∴C到AB的距離的最大值為[22]，∴△ABC的面積的最大值[12×AB×yCmax][=22].

評注：應(yīng)用圓，很容易求得C到AB的距離的最大值，既有形的直觀，又有數(shù)的簡算.本題的求解方法有很多，但以圓的解法為最簡潔.

四、定線段的張角為定值引入圓求范圍

圓的同弧或同弦所對的圓周角處處相等.因此，當(dāng)題設(shè)中出現(xiàn)定角時，可以考慮引入圓，應(yīng)用圓的性質(zhì)求解.

[題4]在[△ABC]中，[∠C=45°]，[O]是三角形外心，若[OC=mOA+nOB（m，n∈R）]，則[m+n]的取值范圍為________.

分析：由[∠C=45°]可知點C的軌跡是圓弧.可通過圓的參數(shù)方程，巧求[m+n]的取值范圍.

解析：設(shè)AB=2，以AB所在直線為x軸，以AB的垂直平分線為y軸，原點記為[O′]，建立直角坐標(biāo)系，則A（[-1]，0），B （1，0），設(shè)C [（x，y）]，∵[∠C=45°]，∴點C的軌跡是以AB為弦，AB所對的圓周角為45[°]的圓弧（優(yōu)弧）.可求得圓心[O]（0，1），半徑為[2]，∴點C的軌跡方程為：[x2+（y-1）2=2 ? ? ? ? ? ， ? ? ?y≥0 ] .

設(shè)[C（2cosθ，1+2sinθ） ，-π4≤θ≤5π4]，由[OC=mOA+nOB]得[m+n=-2sinθ][∈][[-2，1）].

評注：圓的引入，為坐標(biāo)計算帶來方便，再結(jié)合三角函數(shù)的有界性，輕松解題.

通過以上幾道題目的求解，我們能體會到圓在解題中的巧用.圓的表現(xiàn)形式是多樣的，要根據(jù)題目的特點靈活選擇，而最關(guān)鍵的是想到圓.那么，哪些問題涉及圓呢？常見的有：①三角形——外接圓及內(nèi)切圓;②圓的定義——一個點到若干個點的距離相等;③一個點到兩個定點的距離之比為非1的正常數(shù)——阿氏圓;④一條線段所對角為定值——圓周角，從而是圓弧或圓（包括斜率乘積為-1，向量的數(shù)量為某常數(shù)等）.通過對知識的正確解讀，想到圓，就能應(yīng)用圓的性質(zhì)巧解題目了.

（責(zé)任編輯 黃春香）