一道數學壓軸題的多解探究

周杰華

[摘 ? 要]探究一道壓軸題的多種解法，以喚醒學生的創新意識，激活學生的發散性思維，提升學生的解題能力.

[關鍵詞]壓軸題;多解;函數;導數

[中圖分類號] ? ?G633.6 ? ? ? ?[文獻標識碼] ? ?A ? ? ? ?[文章編號] ? ?1674-6058（2019）26-0005-02

數學壓軸題具有典型性、示范性和代表性的特征，通過對其進行一題多解教學，有利于培養學生的直觀想象能力，促使學生思維發散，提升學生的數學素養.

【題目】已知函數[f（x）=x2+2x+alnx]，記[f（x）]的圖像為曲線[C].

（Ⅰ）當[a=1]時，求曲線[C]在點[（1，f（1））]處的切線方程;

（Ⅱ）當[a≤4]時，記[f（x）]的導函數為[g（x）]，對任意兩個不相等的正數[x1，x2]，證明：[g（x1）-g（x2）>x1-x2] .

【多解探究】本題（Ⅰ）比較簡單，當[a=1]時， [f（x）=x2+2x+lnx]，求導得[f '（x）=2x-2x2+1x]，所以曲線[C]在點[（1，f（1））]處的切線斜率為[f '（1）=1].又由[f（1）=3]知切點坐標為[（1，3）]，故所求切線方程為[y-3=x-1]，即[x-y+2=0].

以下著重給出本題（Ⅱ） 的多解探究.

解法一：由題設得[g（x）=f '（x）=2x-2x2+ax，x>0]，所以[g'（x）=2+4x3-ax2] [=2x3-ax+4x3，x>0].

設函數[t（x）=2x3-ax+4，x>0]，當[a≤0]時，易知[t（x）>0];當[00]，所以[t（x）>0.]

于是，可知當[a≤4]時，[2x3-ax+4>0]在[（0，+∞）]上恒成立，從而可得[g'（x）>0]，所以函數[g（x）]在[（0，+∞）]上單調遞增.

不妨設[x1x1-x2]，即證[g（x2）-g（x1）>x2-x1]，即證[g（x2）-x2>g（x1）-x1]，亦即證函數[h（x）=g（x）-x]在[（0，+∞）]上單調遞增.

求導得[h'（x）=g'（x）-1=x3-ax+4x3，x>0].

設函數[m（x）=x3-ax+4，x>0]，當[a≤0]時，易知[m（x）>0];當[00]，所以[m（x）>0].于是，可知當[a≤4]時， [x3-ax+4>0]在[（0 ，+∞）]上恒成立，從而可得[h'（x）>0]，所以函數[h（x）]在[（0 ，+∞）]上單調遞增.故得證.

解法二：在解法一的基礎上，僅做兩處改進。

改進1：證明當[a≤4]時，[2x3-ax+4>0]在[（0，+∞）]上恒成立.

當[x>0]時，[2x3-ax+4>0]恒成立[?a<2x2+4x]恒成立[?a<2x2+4xmin=6]，所以當[a≤4]時，可得[2x3-ax+4>0]在[（0，+∞）]上恒成立.

改進2：證明當[a≤4]時，[x3-ax+4>0]在[（0，+∞）]上恒成立.

當[x>0]時，[x3-ax+4>0]恒成立[?a0]在[（0，+∞）]上恒成立.

解法三：由題設得[g（x）=f '（x）=2x-2x2+ax]，所以[g（x1）-g（x2）=2（x1-x2）+2（x21-x22）x21x22+a（x1-x2）x1x2=][（x1-x2）2+2（x1+x2）x21x22-ax1x2.]

于是，欲證[g（x1）-g（x2）>x1-x2]，

即證[x1-x2?2+2（x1+x2）x21x22-ax1x2>x1-x2]，又由[x1≠x2]知[x1-x2>0]，所以即證[2+2（x1+x2）x21x22-ax1x2>1].

接下來，給出兩種不同的證明.

證法1：由基本不等式及[a≤4]可得[2+2（x1+x2）x21x22-ax1x2≥2+4（x1x2）3-4x1x2] . ①

設函數[u（t）=4t3-4t2+2]，其中[t=1x1x2>0]，則因為[u'（t）=12t2-8t]，所以易知當[t∈0，23]時，[u'（t）<0];當[t∈23，+∞]時，[u'（t）>0].于是，函數[u（t）]在[0，23]上單調遞減，在[23，+∞]上單調遞增，所以[u（t）≥u23=3827>1].

從而，可得[2+4（x1x2）3-4x1x2>1]，進而結合①可知[2+2（x1+x2）x21x22-ax1x2>1]，所以[2+2（x1+x2）x21x22-ax1x2 ? ? >1].故得證.

證法2：由基本不等式可得[x1x2+2（x1+x2）x1x2>x1x2+4x1x2] .②

設函數[m（t）=t2+4t]，其中[t=x1x2>0]，則因為[m（t）=t2+2t+2t≥343>4]，所以[x1x2+4x1x2>4].于是，結合②及[a≤4]可得[x1x2+2（x1+x2）x21x22>a]，所以兩邊同除以[x1x2]得[1+2（x1+x2）x1x2>ax1x2]，所以再移項且兩邊同時加上1可得[2+2（x1+x2）x21x22-ax1x2>1]，所以[2+2（x1+x2）x21x22-ax1x2>1].故得證.

【反思】上述解法一先分析函數[g（x）]在[（0，+∞）]上的單調性，以便去掉目標不等式中的絕對值，再經過適當移項變形可發現結構特點，有利于構造函數求解目標問題;解法二改進的證明思路可敘述為：借助不等式恒成立的等價轉化策略（分離參數，等價轉化為求相關函數的最值），巧妙證明兩個不等式恒成立;解法三先將欲證不等式具體化，有利于等價轉化目標問題，然后給出兩種不同的思路，其關鍵都是將含有[x1+x2]和[x1x2]的混合表達式放縮為只含有[x1x2]的表達式，以便換元、構造函數，利用函數的單調性或基本不等式進行放縮處理（其中證法1先利用基本不等式對絕對值內部進行適當放縮，再構造函數，利用其單調性加以求解;證法2的書寫過程利用了綜合法，其思路是利用分析法獲得的，這是因為不等式[2+2（x1+x2）x21x22-ax1x2>1][?a

綜上，思考角度不同，呈現不一樣的解法，真正取得了“教一題，會一類，通一片”的教學效果.

（責任編輯 黃桂堅）