模型思想在小學數學教學中的應用

王雪

【中圖分類號】G623.5 ? ? ? 【文獻標識碼】A

【文章編號】2095-3089（2019）22-0246-02

數學模型是用數學語言概括地或近似地描述現實世界事物的特征、數量關系和空間形式的一種數學結構。從廣義角度講，數學的概念、定理、規律、法則、公式、性質、數量關系、圖形、圖表、程序等都是數學模型。如自然數“1”是“1個人”、“一件玩具”等抽象的結果，是反映這些事物共性的一個數學模型;方程是刻畫現實世界數量關系的數學模型等。

數學的模型思想是一般化的思想方法，數學模型的主要表現形式是數學符號表達式、圖形和圖表，因而它與符號化思想有很多相同之處，同樣具有普通的意義。如果說符號化思想更注重數學抽象和符號表達，那么模型思想更注重數學的應用，即通過數學結構化解決問題，尤其是現實中的各種問題;當然，把現實情境數學結構化的過程也是一個抽象的過程。

《標準（2011版）》在課程內容部分中明確提出了“初步形成模型思想”，并具體解釋為“模型思想的建立是幫助學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現實生活或具體情境中抽象出數學問題，用數學符號建立方程、不等式、函數等表示數學問題中的數量關系和變化規律，求出結果并討論結果的意義。這些內容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數學的興趣和應用意識。”并在教材編寫建議中提出了“教材應當根據課程內容，設計運用數學知識解決問題的活動。這樣的活動體現‘問題情境——建立模型——求解驗證的過程，這個過程要有利于理解和掌握相關的知識技能，感悟數學思想、積累活動經驗;要有利于提高發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，增強應用意識和創新意識”。

由此可見，在小學階段，從課程標準的角度正式提出了模型思想的基本理念和作用，并明確了模型思想的重要意義。這不僅表明了數學的應用價值，同時明確了建立模型是數學應用和解決問題的核心。

一、小學數學中的常見模型

1.總量模型。

這種模型講述的是總量與部分量之間的關系，其中部分量之間的地位是平等的，是并列的關系，因此在這種模型中，部分量之間的運算要用加法。這種模型具體表現為：總量=部分量+部分量。

顯然，模型中的部分量不局限于兩個。可以用這個模型來解決現實生活中一類涉及總量的問題，這樣的問題在小學低年級的數學教學中是屢見不鮮的。比如，計算圖書室中各類圖書的總和是多少，計算在商店中買幾種商品的總花費是多少等。也可以在總量那里講一些故事，把加法運算變為減法運算：部分量=總量-部分量。

2.路程模型。

這種模型講述的是距離、速度、時間之間的關系，如果假設速度是均勻的（或者平均速度），可以得到模型的形式：路程=速度×時間。

雖然所說的是路程問題，但這個模型可以適用于一類現實中的問題，比如，解決“總價=單價×數量”的問題，解決“總數=行數×列數”的問題等。因為這種模型強調的是乘法，因此單純從數學計算的角度考慮，還可以稱這種模型為乘法模型。在具體使用這類模型的時候，可以用距離講一些故事，把乘法變為除法：時間=路程/速度;速度=路程/時間。

3.植樹模型。

植樹問題是現實生活中一類相似問題的總結，并非僅僅適用于植樹一種情況。在建立“棵數=間隔數+1”的模型后，可讓學生完成類似練習，達到舉一反三的效果。還可適當的拓展延伸，建立起“兩端都不栽”的模型“植樹棵數=間隔數-1”和“只栽一端”的模型“植樹棵數=間隔數”。

4.工程模型。

這類模型的問題背景是：有一個工程，甲工程隊和乙工程隊單獨完成分別需要A天和B天，兩個工程隊合作需要多少天。解決這樣的問題，一個簡便的方法就是設工程為1，那么甲隊和乙隊一天分別完成工程的1/A和1/B。這樣的問題也成為歸一問題。這種模型還包括傳統的注水問題。

二、模型思想的教學策略

數學在各個領域有著廣泛的應用，不但促進了科學和人類的進步，也使得人們對數學有了新的認識：數學不僅僅是數學家的樂園，它也不應是抽象和枯燥的代名詞，它是全人類的朋友，也是廣大中小學生的朋友。因此，廣大教師在教學中結合數學的應用和解決問題的教學，要注意貫徹課程標準的理念：一方面要注重滲透模型思想，另一方面要教會學生如何建立模型，并喜歡數學。

學生學習數學模型大概有兩種情況：第一種是基本模型的學習，第二種是利用基本模型去解決各種問題。數學建模也是一個比較復雜和富有挑戰性的過程，這個過程大致有以下幾個步驟：（1）理解問題的實際背景，明確要解決什么問題，屬于什么模型系統;（2）把復雜的情景經過分析和簡化，確定必要的數據;（3）建立模型，可以是數量關系式，也可以是圖形;（4）解答問題。下面將結合實例作簡要分析。

1.學習的過程可以經歷數學模型的再創造過程。

現實生活中已有的數學模型基本上是數學家們研究創造出來的，使得我們能夠享受現有的成果。而根據課程標準的理念，學生的學習過程有時是一個探索的過程，也是一個再創造的過程。例如利用若干個相同的小正方體拼擺成一個長方體，探索長方體中含有小正方體的個數與長方體的長、寬、高的關系，進而歸納出長方體的體積公式，建立模型V=abc，這就是一個模型化的過程，也是一個再創造的過程。

2.學習的過程可以改編教材習題，加強建模教學。

構建數學模型的目的是讓學生運用數學模型思想解決實際問題，讓學生體會到數學模型的應用價值，體會數學的實際應用帶來的樂趣。因此教材中有些問題需要改編，使其成為建模的有效素材。如：“圖中正方形面積是8平方厘米，求圓的面積。”可以利用它開展以下的建模活動：設圓的半徑是r，探討出圓的面積與正方形面積之間的關系后，建立起關系模型，進而解決問題。也可以另辟蹊徑，先通過“正方形面積是6平方厘米，求圓的面積”這一問題的解決，建立關系模型“圓的面積是正方形面積的π倍”，從而使原問題獲得解決。

3.應用已有的數學知識分析數量關系和空間形式，經過抽象建立模型，進而解決各種問題。

傳統上應用題的編排結構是與四則混合運算、混合運算相匹配，包括有連續兩問的應用題、相似應用題的比較、多個問題構成的問題串，這些都是很好的傳統做法和經驗，是知識結構的基礎。但是這種結構往往是線性的。如果以數學模型為核心進行問題解決的教學，構建問題鏈，可構成網狀結構，從而最大限度的整合豐富多彩的問題。例如上面提到的植樹問題、路程問題等。

總之，在教學中滲透數學模型思想是一個長期的過程，我們要從低年級抓起，常抓不懈。這就需要老師們在教學中提供大量的感性素材，創設生活情境，并在探究學習中積累經驗，并運用模型思想解決問題，提高學生學習數學的興趣。