信息安全專業離散數學課程的教學探討

張艷群 汪楚嬌

摘要：信息安全是一門新興的交叉學科，其核心技術是密碼技術，而密碼技術的基礎是數學，離散數學是信息安全數學基礎和密碼學的先修課程。離散數學對信息安全專業課程體系具有重要作用，從專業培養的角度提出以離散數學為先導的專業課程教學體系。

關鍵詞：離散數學;信息安全專業;信息安全數學基礎;密碼學

中圖分類號：G642.0? ? ?文獻標志碼：A? ? ?文章編號：1674-9324（2019）41-0179-02

中國礦業大學計算機學院信息安全專業成立于2004年，為國內較早設立該專業的高校之一，授予工學學士學位，2012年設立碩士點，擁有計算機科學與技術一級學科博士點和博士后流動站。信息安全專業按照“厚基礎、寬口徑、重創新、高素質”的原則，培養具有較強信息安全工程實踐能力，系統掌握信息安全的基本理論和關鍵技術，能夠從事各類信息安全的設備應用、產品研發、信息系統安全設計與分析、信息安全技術咨詢與評估服務、信息安全規劃管理等工作的高素質人才。

一直以來，信息安全專業注重學生實踐能力和創新能力的培養，而這兩種能力的培養除課外的社會實踐、認識實習和實驗環節外，在課堂教學環節中，教師在傳授創新思維的同時，也要將知識和技能傳授給學生并提高學生解決實際問題的能力。我校制定的2016版課程質量標準制中，各個課程都非常重視實踐能力和創新能力，其中數學課程就發揮了至關重要的基礎作用，只有數學基礎扎實，后續專業課程的教學才能順利進行。

信息安全本科專業設置了高級語言程序設計、離散數學、數據結構、計算機網絡、計算機組成原理、操作系統、信息安全數學基礎、密碼學、網絡安全、信息內容安全、操作系統安全、軟件安全以及相應的系列實驗實踐課程。其中，離散數學是信息安全數學基礎的先修課程，信息安全數學基礎是密碼學的先修課程，即離散數學和信息安全數學基礎是信息安全專業的數學基礎。

一、信息安全專業中離散數學的特點

離散數學在第二學期開課，共48學時、3學分，線性代數為其先修課程。離散數學課程的主要內容有四部分：集合論、代數系統、圖論、數理邏輯，其中集合論主要介紹集合的基本概念、關系的基本概念、關系的性質、偏序關系、等價關系和容斥原理;代數系統主要介紹代數系統的基本概念、代數系統的性質、同構和同態、半群和半群的基本性質、群和群的基本性質、子群、循環群和拉格朗日定理;圖論主要介紹圖的基本概念、通路回路和連通性、歐拉圖、哈密頓圖、圖的矩陣表示法、樹、平面圖、兩步圖;數理邏輯主要介紹命題邏輯和謂詞邏輯，重點是命題邏輯的基本蘊含式和推理規則以及謂詞邏輯推理。

信息安全數學基礎課程是信息安全專業的專業主干課程，其先修課程是離散數學。信息安全是一門新興的交叉學科，涉及通信學科、計算機學科、數學、物理、生物、法律和管理等多個學科，其核心技術是密碼技術。密碼技術的基礎是數學，主要是數論，代數和橢圓曲線等數學理論，其中的代數就對應離散數學的第二部分即代數系統。信息安全數學基礎以模運算為主，主要內容均涉及代數理論和方法，主要是群、環、域及Calois理論。除信息安全專業對代數系統這部分的要求較高之外，計算機學院的其他專業后續課程均不涉及代數系統內容。因此，離散數學的教學要針對性地介紹信息安全數學基礎課程涉及的一些基礎概念和重要定理。

二、調整離散數學教學內容

信息安全專業的核心課程密碼學在第5學期下半學期開課，其先修課程信息安全數學基礎在第5學期上半學期開課，共48學時、3學分，該課程對抽象思維能力和邏輯推理能力要求特別高，在48學時內要掌握整除、同余、一次同余式和高次同余式、二次同余式和平方剩余、原根與指標以及素性檢測六章內容，學時非常緊張，這就要求學生提前熟練掌握離散數學特別是代數系統部分的內容。結合信息安全專業對數學課程的要求，離散數學教學內容作了如下調整：集合論、圖論和數理邏輯三部分內容不變，代數系統在介紹基本概念的基礎上增加子群、群以及循環群的內容，強調逆元、同態、同構以及拉格朗日定理，有針對性地選擇和信息安全相對應的實例和素材，使離散數學的相關理論知識得以具體應用，使學生對離散數學知識點的應用有直觀認知。

三、實例教學，強調專業應用

在實際教學過程中，離散數學的理論性強、定義定理多以及方法性強等特點使課堂教學質量一直不理想，如何吸引學生的注意力并激發學生的學習興趣是整個教學的關鍵問題。數學的理論體系源于實踐，數學的教學也要和實踐相結合，實例教學使理論學習應用實踐中，理論指導實踐，學生通過實踐可以更好地理解和應用理論，從而形成良性循環，提高學生分析問題和解決實際問題的能力。

實例一：在整數集I上定義模5同余關系R，R滿足自反、對稱、傳遞三個性質，所以R是等價關系，等價關系對整數集進行劃分，得到5個等價類，即得到整數據I的5個互不相交的子集，記為[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，用Z5表示商集I/R，有

Z5={[0]，[1]，[2]，[3]，[4]}

在集合Z5上定義+5運算，證明（Z5，+5）是個周期為5的循環群。

證明思路：先列出（Z5，+5）的運算表。

從表1可以看出運算滿足的封閉性和結合律表，表中第一行和列頭元素對應相等，表中第一列和行頭元素對應相等，即[0]是（Z5，+5）的單位元，目前為止（Z5，+5）是一個單元半群，如果Z5中每個元素都有逆元且逆元屬于集合Z5，則（Z5，+5）滿足群的條件。

對于Z5中任意元素[x]求逆元，根據定義，其逆元[x]-1滿足[x]+5[x]-1=[0]，即[x]-1=[（5-x）mod 5]，因為（5-x）mod 5∈{0，1，2，3，4}，故[x]-1∈Z5，則（Z5，+5）是群。如果能在Z5中找出一個元素使得其他元素都由這個元素運算得到并且最大運算次數為5，則（Z5，+5）就是周期為5的循環群。

考慮到基本運算為加運算，所以很容易看出[1]為生成元，且：

[1]=[1]1

[2]=[1]2=[1]+5[1]

[3]=[1]3=[1]+5[1]+5[1]

[4]=[1]4=[1]+5[1]+5[1]+5[1]

[0]=[1]5=[1]+5[1]+5[1]+5[1]+5[1]

即（Z5，+5）是周期為5的循環群。

同理，（Zm，+m）是周期為m的循環群。

再根據代數系統同構的定義，得出周期為m的循環群均同構于剩余類加群（Zm，+m），周期無限的循環群均同構于整數加群（I，+），至此對循環群的研究就歸結為對剩余類加群（Zm，+m）和整數加群（I，+）的研究。

后續課程信息安全數學基礎中由模m的原根g對應求模m的簡化剩余系這一問題就要求學生熟練掌握循環群的定義和相關應用，利用原根求解高次同余式為Elgamal密碼算法提供了對應的數學基礎。不僅如此，信息安全數學基礎中很多章節需要在模運算中求逆元，該知識點也屬于代數系統部分，在離散數學課堂教學中必須進行重點講解。

四、結論

離散數學不斷進行課程改革和建設，根據信息安全專業特色的實例教學將離散數學理論與后續課程知識點和專業實際相結合，注重方法論，加強了課程之間的聯系。較于傳統教學，實例教學能較大程度地提升學生的學習興趣，使其逐漸構建理論與實踐的關系，真正使理論與實踐互相促進，使學生更好地掌握信息安全數學基礎知識，為后續的專業課程提供必要的數學工具和數學思想，奠定堅實的數學基礎，提高離散數學課堂的教學效果和教學質量，從而達到教學目標。

參考文獻：

[1]徐潔磐.離散數學導論（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2005.

[2]陳恭亮.信息安全數學基礎（第2版）[M].北京：清華大學出版社，2017.

[3]吳偉.淺析離散數學課程中的案例教學法[J].科技風.2018，（34）：42.