用函數方程的思想研究等差數列題

王剛 李林軒 閆玉齊

摘 要：當函數的自變量的取值范圍變為取一切正整數時，函數就演變成了數列。如等差數列的通項公式是由一次函數演變而來的，等差數列的前n項求和公式是由常數項為0的二次函數演變而來的等。由于數列與函數之間存在著這種“天然”的聯系，而函數與方程又是密不可分的，基于此條件下，本文對于用函數方程的思想研究等差數列題進行詳細論述。本文先論述了高中數學的函數與方程思想，然后列舉了很多例子對于此類利用函數方程思想來解析數列問題進行例證。

關鍵詞：函數方程;解題思維;數列

一、 高中數學的函數與方程思想

在高中數學中，函數是重要組成部分，也是主要內容之一，函數問題利用求解方程或者方程組，或者利用方程的自身性質去對問題進行轉化或者分析，將問題解決。在解函數問題時，不僅要理解方程的內容，更需要透徹理解方程的概念，并在實際問題解決中，能夠真正運用方程思想的精髓。理解函數中的變量并且以數學變量的基本形式劃分之間的相互關聯。應用函數知識與函數知識功能的基本功能思想去解決數學對象之間的關系問題，在豐富和改進數學問題方面有了很大的發展，產生了強大的數學問題解決修正能力，從而成為研究熱點。其中此處所討論的方程思想主要是分析數學變量中的直接關系，相互耦合關系。對于高考中函數問題，必須通過組建方程組（或方程）的分析或方程的構造來理解等價的概念，并直接分析方程組，或者根據題意構造方程，通過構造方程組或者方程的形式來深入理解函數方程，通過了解方程概念的基礎上完成函數的解決方法。

函數和方程是兩個不同的數學概念，但它們密切相關連。從高中數學的角度來分析，關于函數和方程在解決實際問題方面起著兩個主要作用：一方面，這與基本功能的特征有關，解出方程式的結果并討論參數值。另一方面是通過建立函數關系來解決與問題相關的工作的性質，從而降低問題的復雜性。

二、 函數與方程思想在數列中的應用

從函數和數列方面進行分析，可以有個比較容易理解的方程表達式，而這個數列是一個類型的函數的比較獨特的表達。其實，數列和函數功能非常相似，選擇函數思維能夠解決一些復雜數列不能解決的問題。

總結：這種解題方法運算非常少，比較注重題目的條件，將數列的函數特點結合起來，這種解題方法非常好。

本文只著重研究了函數與方程思想在解決等差數列含參問題中的應用，其實函數與方程思想在解決數列其他問題，例如，數列最值問題、數列通項公式等方面都非常有幫助，值得進一步挖掘。

數學中數列其實就是函數的一種特殊表達方式，與函數的最大區別在于，其定義域是屬于離散狀態，這讓一些學生對于接受數列是一種特殊函數存在疑惑，在實際解決數列問題當中，也很難從函數的角度入手，則對于數列題型就會存在不理解的誤區。本文所研究的主要為采用方程與函數等功能來解決數列問題，其實，在采用函數與方程來解決數列問題中產生的其他問題，比如，在數列最值問題的解決中，解決數列極值問題采用方程或者函數都非常有用。

三、 總結

綜上所述，數學思維是數學教學活動的指導思想和數學活動的泛化思想。這有助于學生從更高層次的整體思維中有效地理解數學的本質。它利用數學知識發現和改進數學知識結構，探索解決問題的方向。通過實例來總結和比較數學能力和數學思想的運用，教會學生早期的科學方法論，提高思維素質，提高思維能力。數學思維教學使中學數學教學更加現代化。數學思維仍然是隱含和暗示的，因此有必要明確強調其重要作用，使學生能夠清楚地認識到解決問題的方法只有在數學思想的監督下才是科學的問題解決方法，具有非常強大的推動力和創造力。

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作者簡介：

王剛，中一職稱，陜西省西安市，陜西省西咸新區黃岡涇河中學;

李林軒，閆玉齊，陜西省西安市，陜西省西咸新區黃岡涇河中學。